Gruppentheorie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 18.12.2007 | | Autor: | Sunsh1ne |
| Aufgabe | Übung 1. Sei (G, [mm] \circ_G) [/mm] eine Gruppe und X eine Menge mit einer Abbildung m: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] X. Wir schreiben m(x,y) = x [mm] \circ_X [/mm] y, für alle x, y [mm] \in [/mm] X. Sei weiter [mm] \lambda [/mm] : G [mm] \to [/mm] X eine surjektive Abbildung, für welche die Gleichung [mm] \lambda(a) \circ_X \lambda(b) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (a [mm] \circ_G [/mm] b) für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt.
Beweisen Sie, dass dann die Abbildung m die Struktur einer Gruppe auf der Menge X definiert.
Übung 2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
1. Beschreiben Sie alle Gruppenhomomorphismen [mm] \lambda [/mm] : [mm] \IZ \to \IZ.
[/mm]
2. Welche der Gruppenhomomorphismen sind injektiv, welche surjektiv, welche Isomorphismen? |
Hallo :)
Ich habe folgende Aufgaben bis Donnerstag zu lösen.
Bei Aufgabe 1 weiß ich leider nur, dass ich beweisen muss, dass X eine Gruppe ist, aber leider verwirren mich die ganzen Ausdrücke, so dass ich da nicht weiter komme.
Wäre hier für jeden Ansatz bzw Tipp sehr dankbar!
Die Aufgabe 2 fällt mir auch ziemlich schwer, da ich zwar weiß, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element der einen Gruppe auf das neutrale Element der anderen abbildet. und dass
[mm] \lambda [/mm] (x [mm] \circ [/mm] y) = [mm] \lambda(x) \circ \lambda(y) [/mm] ist, hab ich auch rausgefunden, aber ich habe keine Ahnung, wie ich alle Gruppenhomomorphismen zeigen soll.
Bin für Hilfe sehr Dankbar und freue mich auf eure Antworten. :)
Liebe Grüße, Sunny
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Di 18.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Übung 1. Sei (G, [mm]\circ_G)[/mm] eine Gruppe und X eine Menge mit
> einer Abbildung m: X [mm]\times[/mm] X [mm]\to[/mm] X. Wir schreiben m(x,y) =
> x [mm]\circ_X[/mm] y, für alle x, y [mm]\in[/mm] X. Sei weiter [mm]\lambda[/mm] : G
> [mm]\to[/mm] X eine surjektive Abbildung, für welche die Gleichung
> [mm]\lambda(a) \circ_X \lambda(b)[/mm] = [mm]\lambda[/mm] (a [mm]\circ_G[/mm] b) für
> alle a,b [mm]\in[/mm] G gilt.
>
> Beweisen Sie, dass dann die Abbildung m die Struktur einer
> Gruppe auf der Menge X definiert.
>
> Übung 2. Lösen Sie die folgenden Aufgaben:
>
> 1. Beschreiben Sie alle Gruppenhomomorphismen [mm]\lambda[/mm] : [mm]\IZ \to \IZ.[/mm]
>
> 2. Welche der Gruppenhomomorphismen sind injektiv, welche
> surjektiv, welche Isomorphismen?
> Hallo :)
>
> Ich habe folgende Aufgaben bis Donnerstag zu lösen.
> Bei Aufgabe 1 weiß ich leider nur, dass ich beweisen muss,
> dass X eine Gruppe ist, aber leider verwirren mich die
> ganzen Ausdrücke, so dass ich da nicht weiter komme.
> Wäre hier für jeden Ansatz bzw Tipp sehr dankbar!
hier musst du nur die gruppenaxiome nachrechnen. zum beispiel, dass es ein neutrales element gibt. da $G$ ein gruppe ist, gibt es dort ein neutrales element $1 [mm] \in [/mm] G$. sei $e := [mm] \lambda(1) \in [/mm] X$. nun kannst du dir überlegen, dass diese $e$ das neutrale element von $X$ ist. sei dazu ein beliebiges $x [mm] \in [/mm] X$ gegeben. da [mm] $\lambda$ [/mm] surjektiv ist, wird dies von einem element aus $G$ getroffen, es gibt also ein $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $\lambda(g) [/mm] = x$. dann ist $e [mm] \circ_X [/mm] x = [mm] \lambda(1) \circ_X \lambda(g) [/mm] = [mm] \lambda(1 \circ_G [/mm] x) = [mm] \lambda(x) [/mm] = x$. überlege dir, warum jedes der einzelnen gleichheitszeichen gilt. zeige dann mit einem ähnlichen argument, dass auch $x [mm] \circ_X [/mm] e = x$. damit ist $e$ dann das neurale element von $X$. was musst du noch zeigen, damit es sich um eine gruppe handelt? probiere doch mal eines der axiome nachzurechnen und deine rechnung hier aufzuschreiben.
> Die Aufgabe 2 fällt mir auch ziemlich schwer, da ich zwar
> weiß, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element
> der einen Gruppe auf das neutrale Element der anderen
> abbildet. und dass
> [mm]\lambda[/mm] (x [mm]\circ[/mm] y) = [mm]\lambda(x) \circ \lambda(y)[/mm] ist, hab
> ich auch rausgefunden,
das ist sogar die definierende eigenschaft, das was du weiter oben geschrieben hast, ist nur eine folgerung. überlege dir mal, in wie weit die gruppenhomomorphismen durch das bild der $1$ schon festgelegt sind. sei also $f: [mm] \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}$ [/mm] ein gruppenhomomorphismus. sei $a := f(1) [mm] \in \mathbb{Z}$. [/mm] dann ist zum beispiel (die verknüpfung auf [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] ist ja die addition, also schreibe statt [mm] "$\circ$" [/mm] jetzt "$+$"): $f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = a + a = 2a$. also ist das bild der $2$ auch schon fetgelegt. gilt das nun für alle natürlichen zahlen? kannst du das zeigen (vollständige induktion)? wie sieht es mit negativen zahlen aus?
schau mal, wie weit du mit diesen ansätzen kommst und melde dich dann wieder.
grüße
andreas
|
|
|
|
