Gütefunktion bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 04.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Die Zeitdauer zwischen zwei Anrufen, die in einer Telefonhotline eingehen, sei exponentialverteilt. Es soll die Hypothese getestet werden, dass die erwartete Dauer zwischen 2 Anrufen höchstens 1 Minute ist, gegen die Alternative, dass sie größer als 1 Minute ist. Formulieren Sie das Testproblem. Die Hypothese soll verworfen werden, wenn die Summe zweier gemessener Zeitdauern zwischen Anrufen größer als 5 ist. Berechnen Sie die Gütefunktion des Tests, wobei Sie annehmen können, dass die beiden gemessenen Zeitdauern unabhängig voneinander sind. Ist dies ein Test zum Niveau 0.05 ? |
Liebes Forum,
ich bin mir noch unsicher bei der Bearbeitung von Testproblemen und weiß nicht, wie ich die Gütefunktion konkret bestimmen kann.
Ich habe mir überlegt:
X:= Zeitdauer zwischen zwei Anrufen wobei X [mm] \sim Exp(\lambda)
[/mm]
Der "wahre" Parameter [mm] \nu=\bruch{1}{\lambda}
[/mm]
Dann Hypothese [mm] H=\{\nu | \nu\le1 \} [/mm] und Alternative [mm] K=\{\nu | \nu>1 \}
[/mm]
Jetzt soll das Testproblem formuliert werden.
Meines Wissens ist ein Test eine Abbildung [mm] \phi [/mm] die jedem Element [mm] x_{i} [/mm] aus dem Stichprobenraum entweder den Wert 1 oder den Wert 0 zuordnet, wie folgt:
[mm] \phi(x_{i}) [/mm] = 1 wenn "verwerfe die Hypothese"
[mm] \phi(x_{i}) [/mm] = 0 wenn "verwerfe die Hypothese nicht"
Hier hieße das dann doch
[mm] \phi(x_{i}) [/mm] = 1 wenn [mm] \overline{x_{i}}>5
[/mm]
[mm] \phi(x_{i}) [/mm] = 0 sonst
mit [mm] \overline{x_{i}}:=x_{i}+x_{j} [/mm] oder ?
Die Gütefunktion wäre nun
[mm] \beta(\nu):=p_{\nu}(\phi [/mm] = [mm] 1)=p_{\nu}(\overline{x_{i}}>5)= [/mm] ? [mm] \lambda e^{-\lambda\overline{x_{i}}}>5 [/mm] ?
Über jede Hilfe freue ich mich wie immer sehr!
Viele Grüße!
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Hallo,
> Die Zeitdauer zwischen zwei Anrufen, die in einer
> Telefonhotline eingehen, sei exponentialverteilt. Es soll
> die Hypothese getestet werden, dass die erwartete Dauer
> zwischen 2 Anrufen höchstens 1 Minute ist, gegen die
> Alternative, dass sie größer als 1 Minute ist.
> Formulieren Sie das Testproblem. Die Hypothese soll
> verworfen werden, wenn die Summe zweier gemessener
> Zeitdauern zwischen Anrufen größer als 5 ist. Berechnen
> Sie die Gütefunktion des Tests, wobei Sie annehmen
> können, dass die beiden gemessenen Zeitdauern unabhängig
> voneinander sind. Ist dies ein Test zum Niveau 0.05 ?
> Ich habe mir überlegt:
>
> X:= Zeitdauer zwischen zwei Anrufen wobei X [mm]\sim Exp(\lambda)[/mm]
>
> Der "wahre" Parameter [mm]\nu=\bruch{1}{\lambda}[/mm]
> Dann Hypothese [mm]H=\{\nu | \nu\le1 \}[/mm] und Alternative
> [mm]K=\{\nu | \nu>1 \}[/mm]
Das ist richtig.
Allerdings ist es "schöner", wenn du nur einen Parameter hast. Daher betrachte doch besser die Familie $X [mm] \sim \IP_{\lambda} [/mm] = [mm] Exp(1/\lambda)$.
[/mm]
Dann ist: [mm] $\IE [/mm] X = [mm] \lambda$, [/mm] und somit die Hypothesen
$H: [mm] \lambda \le [/mm] 1$
$K: [mm] \lambda [/mm] > 1$.
> Jetzt soll das Testproblem formuliert werden.
>
> Meines Wissens ist ein Test eine Abbildung [mm]\phi[/mm] die jedem
> Element [mm]x_{i}[/mm] aus dem Stichprobenraum entweder den Wert 1
> oder den Wert 0 zuordnet, wie folgt:
>
> [mm]\phi(x_{i})[/mm] = 1 wenn "verwerfe die Hypothese"
> [mm]\phi(x_{i})[/mm] = 0 wenn "verwerfe die Hypothese nicht"
Genau.
> Hier hieße das dann doch
>
> [mm]\phi(x_{i})[/mm] = 1 wenn [mm]\overline{x_{i}}>5[/mm]
> [mm]\phi(x_{i})[/mm] = 0 sonst
>
> mit [mm]\overline{x_{i}}:=x_{i}+x_{j}[/mm] oder ?
Richtig.
> Die Gütefunktion wäre nun
> [mm]\beta(\nu):=p_{\nu}(\phi[/mm] = [mm]1)=p_{\nu}(\overline{x_{i}}>5)=[/mm]
Bis hierhin richtig.
Ohne [mm] $\nu$ [/mm] würde es lauten:
[mm] $\beta(\lambda) [/mm] = [mm] \IP_{\lambda}(X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] > 5)$
Weil [mm] $X_1,X_2 \sim Exp(\frac{1}{\lambda})$ [/mm] und unabhängig sind, ist [mm] $X_1 [/mm] + [mm] X_2 \sim [/mm] Gamma(2, [mm] \frac{1}{\lambda})$ [/mm] bzw. Chi-Quadrat-verteilt. Damit kannst du die Wahrscheinlichkeit evtl. noch weiter ausrechnen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 05.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
Vielen Dank Stefan!
Wir haben bislang sehr selten bis nie mit der Chi-Quadrat-Verteilung gearbeitet und bislang nicht mit der Gamma- oder Erlangverteilung. Ich habe ein bisschen gelesen aber wüsste nicht, wie ich dadurch einfach abschätzen könnte, ob der Funktionswert der Gütefunktion kleiner als 0,05 ist. Zumal mir das [mm] \gamma(p) [/mm] in der Verteilungsfunktion [mm] \bruch{b^{p}}{\gamma(p)}x^{p-1}e^{bx} [/mm] nichts sagt.
Ansonsten habe ich überlegt, dass man abschätzen kann:
[mm] \beta(\lambda) [/mm] = [mm] \IP_{\lambda}(X_1 [/mm] + [mm] X_2) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda (x_{i}+x_{j})} [/mm] < [mm] \lambda e^{-5 \lambda} [/mm]
nun kann man aber [mm] \lambda e^{-5 \lambda} [/mm] < 0.05 nicht elementar nach [mm] \lambda [/mm] auflösen...
Wie schätze ich denn am Besten ab?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Fr 05.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Ich bearbeite auch gerade diese Aufgabe:
Ich habe X als einen Zufallsvektor betrachtet mit [mm] X=(X_1,X_2) [/mm] und [mm] X_i [/mm] nach [mm] Exp(\lambda) [/mm] verteilt. [mm] X_i [/mm] soll dann die Zeit zwischen 2 Anrufen angeben. Es ist ja bekannt, dass dann [mm] E(X_i)=\bruch{1}{\lambda} [/mm] gilt. Es soll die Hypothese nun alle [mm] \lambda [/mm] enthalten, für die [mm] E(X_i)<=1 [/mm] gilt. Also [mm] \bruch{1}{\lambda}<=1 \gdw 1<=\lambda. [/mm] Also:
[mm] H=\{\lambda | \lambda >=1\} [/mm] und [mm] K=\{\lambda | \lambda <1\}. [/mm]
Der Stichprobenraum ergibt sich zu [mm] X'=\{(0,\infty),(0,\infty)\}.
[/mm]
Für den Test gilt dann:
[mm] \phi [/mm] : X' [mm] \to [/mm] {0,1}
mit [mm] \phi [/mm] (x,y)=1, wenn x+y>5 und 0, wenn x+y<=5.
Die Gütefunktion ist dann [mm] \beta :(0,\infty) \to [/mm] [0,1]
mit [mm] \beta (\lambda)=P_{\lambda}(\phi [/mm] = [mm] 1)=P_{\lambda}(X_1+X_2>5)=1-P_{\lambda}(X_1+X_2<=5)=1-\integral_{- \infty}^{5}{\bruch{\lambda ^2}{\integral_{0}^{\infty}{t*exp(-t) dt}}*t*exp(-\lambda *t) dt}=1-exp(-5*\lambda)*(1+5*\lambda).
[/mm]
Nun gilt aber für nicht alle [mm] \lambda [/mm] aus H [mm] \phi(\lambda)<=0.05. [/mm] Also hat der Test nicht Niveau 0.05.
Allerdings ist die Gütefunktion schon für sehr geringe Werte schon recht groß, was mich ein bisschen verunsichert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Sa 06.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
der Charme der Erlang-Verteilung besteht darin, dass ihre Verteilungsfunktion in einer geschlossenen Form angegeben werden kann.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 06.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
Hallo luis52,
danke für die Antwort. Ja die Erlangverteilung habe ich mir auch schon angeschaut aber ich wüsste nicht, wie diese das Problem vereinfachen soll. Im Endeffekt läuft es auf dasselbe Problem hinaus oder nicht?
Seien [mm] X_{i}, X_{j} [/mm] jeweils [mm] Exp(\lambda) [/mm] dann ist [mm] Y:=X{i}+X_{j} [/mm] erlangverteilt mit den Parametern n=2 und [mm] \lambda. [/mm] Nun die Wkeit bestimmen, wie jangwar1 bereits aufführte:
[mm] P(Y>5)=1-P(Y\le5)=1-(1-e^{-5\lambda}(1+5\lambda)=e^{-5\lambda}(1+5\lambda) [/mm] oder nicht?
Dann wäre es jedenfalls für mich ebenso schwierig [mm] \lambda [/mm] abzuschätzen. Man könnte lediglich, wie yangwar1 bereits sagte, so argumentieren, dass man ein Beispiel aufführt, bei dem die Gütefunktion nicht das Niveau 0.05 einhält...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Sa 06.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Was willst du denn *abschaetzen*? Die Guetefunktion ist $ [mm] \beta(\lambda)=e^{-5\lambda}(1+5\lambda) [/mm] $. Punkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 07.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Es ist doch [mm] P_{\lambda}(X_1+X_2)=1-P(X_1+X_2<=5)=1-(e^{-5\lambda}(1+5\lambda)) \not= {-5\lambda}(1+5\lambda) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 07.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Das ist inzwischen ein ziemliches Kuddelmuddel. Ich zitiere aus deiner ersten Zuschrift:
Ich habe mir überlegt:
X:= Zeitdauer zwischen zwei Anrufen wobei X $ [mm] \sim Exp(\lambda) [/mm] $
Ich weiss, nicht wie du Exponentialverteilung definierst, aber fuer mich macht $X [mm] \sim Exp(\lambda) \iff P(X\le x)=1-\exp[-\lambda [/mm] x]$ fuer $x>0$ Sinn. Wenn dem so ist, so gilt [mm] $E[X]=1/\lambda$. [/mm] Die Nullhypothese lautet dann [mm] $1/\lambda\le 1\iff \lambda\ge [/mm] 1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 07.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
[mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] sind doch [mm] Gamma(2,\lambda) [/mm] verteilt. Es folgt meiner Meinung nach
[mm] P(X_1+X_2<=5)=\integral_{-\infty}^{5}{\bruch{\lambda ^2}{\integral_{0}^{\infty}{t*exp(-t) dt}} dt}=exp(-5*\lambda)(1+5*\lambda).
[/mm]
Also [mm] P_{\lambda}(X_1+X_2>5)=1-exp(-5*\lambda)(1+5*\lambda).
[/mm]
[mm] X_1+X_2 [/mm] ist doch nicht Exponentialverteilt, sondern Gammaverteilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 07.07.2013 | | Autor: | luis52 |
*Ich* rechne so:
[mm] $P(X_1+X_2\le 5)=\int_{0}^5\underbrace{\lambda^2 t\exp[-\lambda t]}_{\text{Dichte der Gamma-Verteilung}}dt=[-\exp[-\lambda [/mm] t] [mm] (\lambda t+1)]_{0}^5=1 [/mm] - [mm] \exp[-5\lambda](1+5\lambda) [/mm] $
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:46 So 07.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
Wenn X nach [mm] Exp(\bruch{1}{\lambda}) [/mm] verteilt ist, warum ist dann [mm] X=\lambda? [/mm] Ist vielleicht [mm] E(X)=\lambda [/mm] gemeint?
Wenn ich X [mm] \sim Exp(\lambda) [/mm] annehme, dann erhalte ich als Hypothese [mm] H=\{\lambda | \lambda <=1\} [/mm] und als Alternative K [mm] =\{\lambda | \lambda <1\}
[/mm]
Damit folgt aber als Gütefunktion:
[mm] P_{\lambda}(X_1+X_2>5)=1-P_{\lambda}(X_1+X_2<=5)=1-(exp(-5*\lambda)*(1+5*\lambda)). [/mm]
Damit erhalte ich, dass dies kein Test zum Niveau 0.05 ist. Wenn ich aber die Gütefunktion von Luis betrachte, dann wäre der beschriebene Test von Niveau 0.05. Wo liegt denn der Fehler?
Habe ich hier eine Denkfehler?
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