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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Abstand Punkt Ebene mit HNF A (3/1/2) B(5/3/4) C(-2/1/-1) und D (1/-3/1)
Also Ebene aus Punkt A, B, C und dann der Abstand dieser Ebene zu D.
Was ist HNF?
Ich dachte immer dies ist:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 4} [/mm] * [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3})
[/mm]
Wie sagt man dieser Form? und wozu ist sie gut?
Zurück zur Aufgabe. Wie kann ich umformen? zu HNF?
Danke
Gruss Dinker
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Hi, Dinker,
> Abstand Punkt Ebene mit HNF A (3/1/2) B(5/3/4) C(-2/1/-1)
> und D (1/-3/1)
>
> Also Ebene aus Punkten A, B, C und dann der Abstand dieser
> Ebene zu D.
>
> Was ist HNF?
> Ich dachte immer dies ist:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 4}[/mm] * [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3})[/mm] [mm] \red{=0}
[/mm]
>
> Wie sagt man zu dieser Form? und wozu ist sie gut?
Das ist die (oder besser "eine") Normalenform.
Man kann aus mit ihr z.B. ziemlich einfach Inzidenzprobleme lösen.
(Übrigens: Die von Dir notierte Ebene ist aber nicht diejenige,
von der in der obigen Aufgabe die Rede ist!
Da liegt ja z.B. der Punkt A gar nicht drauf!)
> Zurück zur Aufgabe. Wie kann ich umformen? zu HNF?
Für die HNF (Hessesche Normalenform) musst Du die obige Gleichung erst mal
DURCH DIE LÄNGE DES NORMALENVEKTORS dividieren,
in Deinem Beispiel also durch [mm] \wurzel{1+4+16} [/mm] = [mm] \wurzel{21}.
[/mm]
Anschließend musst Du dafür sorgen, dass die additive Konstante,
die beim Ausmultiplizieren des N-Vektors mit dem Aufpunkt rauskommt,
NEGATIV ist.
Aber jetzt rechne erst mal die richtige NF zu Deiner Aufgabe aus!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:23 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Nein ich will das andere nicht die Normalform das andere ist viel komplizierter. Und schreibe bitte nicht so hochgestochen,
mach es bitte mak
danjker
a
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Beispiel
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/hessesche-normalform.html
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 15.11.2009 | | Autor: | Zwerglein |
> Und schreibe bitte nicht so hochgestochen,
> mach es bitte mak
mak - und tschüss!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 So 15.11.2009 | | Autor: | Disap |
Auch hallo.
> Nein ich will das andere nicht die Normalform das andere
> ist viel komplizierter. Und schreibe bitte nicht so
> hochgestochen,
Du willst das andere und nicht die Normalform, weil das andere viel komplzierter ist?
Kannst du beim nächsten Mal bitte Kommas setzen.
Ich nehme an, du meinst, du willst nicht die Normalform, sondern das andere.
Was meinst du mit "das andere"?
> Und schreibe bitte nicht so
> hochgestochen,
Fachausdrücke lassen sich in der Mathematik aber nicht vermeiden.
wenn du etwas nicht verstehst, kannst du gerne konkret nachfragen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Nochmals von vorne und mit den entsprechend richtigen Zahlen, damit wir vom gleichen sprechen.
Aufgabenstellung: Welcher Abhstand hat die Ebene, welche durch die Punkte A(3/1/2), B (5/3/4) und C (-2/1/-1) geht zum Punkt D (1/-3/1)
Oder am einfachsten ist das schon, wenn ich das über die Hessesche Normalform rechnen würde?
Also ich schreibe mal die Punkte als Parametergleichung.
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] + k* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2 } [/mm] + s* [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ -3 } [/mm]
Nun berechne ich: [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2 } [/mm] x [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ -3 } [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10 }
[/mm]
Jetzt komme ich wohl nicht drumherum diese Geichung auszurechnen?
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2 } [/mm] + k* [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2 } [/mm] + s* [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\ -3 } [/mm]
x = 3 + 2k -5s
y = 1 + 2k
z = 2 + 2k -3s
Nun eliminiere ich k und s
x -y = 2 -5s
x - z = 1 -2s
sollte ergeben:
3x + 2y -5z = 1
Also ist meine HNF nun:
0 = [mm] \bruch{3x + 2y -5z - 1}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}}
[/mm]
oder
Um Abstand zu bestimmen, Punkt D (1/-3/1) einfach einsetzen
Abstand = [mm] |\bruch{3 -6 -5 - 1}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}}| [/mm] = [mm] \bruch{9}{\wurzel{152}}
[/mm]
habe gerade etwas Zweifel, da es nicht eine "schönere" Zahl gab.
Wäre dankbar um Korrektur
Lieber Gruss DInker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:45 Di 17.11.2009 | | Autor: | glie |
> Guten Abend
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> Nochmals von vorne und mit den entsprechend richtigen
> Zahlen, damit wir vom gleichen sprechen.
>
> Aufgabenstellung: Welcher Abhstand hat die Ebene, welche
> durch die Punkte A(3/1/2), B (5/3/4) und C (-2/1/-1) geht
> zum Punkt D (1/-3/1)
>
> Oder am einfachsten ist das schon, wenn ich das über die
> Hessesche Normalform rechnen würde?
>
> Also ich schreibe mal die Punkte als Parametergleichung.
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2 }[/mm] + k* [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2 }[/mm]
> + s* [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ -3 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun berechne ich: [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2 }[/mm] x [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ -3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{-6 \\ -4 \\ 10 }[/mm]
>
> Jetzt komme ich wohl nicht drumherum diese Geichung
> auszurechnen?
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2 }[/mm] + k* [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2 }[/mm]
> + s* [mm]\vektor{-5 \\ 0 \\ -3 }[/mm]
Das kannst du einfacher haben:
Dein Kreuzprodukt hat doch den Vektor [mm] $\vektor{-6 \\ -4 \\ 10 }$ [/mm] ergeben. Dieser Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene. Du kannst aber auch jedes Vielfache dieses Vektors als Normalenvektor der Ebene nehmen.
Da nehmen wir doch dann mal das [mm] $-\bruch{1}{2}$-fache, [/mm] das ergibt also als Normalenvektor [mm] $\vec{n}=\vektor{3 \\ 2 \\ -5 }$.
[/mm]
Somit besteht die Ebene aus allen Punkten X, für die gilt:
[mm] $\vec{n}\circ \overrightarrow{AX}=0$
[/mm]
Also
[mm] $\vec{n}\circ(\vec{x}-\vec{a})=0$
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] $\vektor{3 \\ 2 \\ -5 }\circ (\vec{x}-\vektor{3 \\ 1 \\ 2 })=0$
[/mm]
Und hier werd ich nicht wirklich verstehen, warum du das nicht einfach ausmultiplizierst, um die Koordinatenform (Normalform) der Ebene zu erhalten.
[mm] $E:3x_1+2x_2-5x_3-1=0$
[/mm]
Die Hessenormalform ist ja jetzt nur eine ganz besondere Normalform. Bedenke, dass du eine Gleichung äquivalent umformen kannst, indem du beide Seiten mit einer Zahl multiplizierst oder durch eine Zahl dividierst.
Der Betrag des Normalenvektors ist [mm] $\wurzel{3^2+2^2+(-5)^2}=\wurzel{38}$
[/mm]
Also teilen wir durch [mm] $\wurzel{38}$
[/mm]
Hessenormalform der Ebene E:
[mm] $E_{HNF}:\bruch{3x_1+2x_2-5x_3-1}{\wurzel{38}}=0$
[/mm]
Abstand des Punktes D bestimmst du dann so, wie du es unten gemacht hast.
Gruß Glie
>
> x = 3 + 2k -5s
> y = 1 + 2k
> z = 2 + 2k -3s
>
> Nun eliminiere ich k und s
> x -y = 2 -5s
> x - z = 1 -2s
>
> sollte ergeben:
> 3x + 2y -5z = 1
>
> Also ist meine HNF nun:
>
> 0 = [mm]\bruch{3x + 2y -5z - 1}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}}[/mm]
>
> oder
>
> Um Abstand zu bestimmen, Punkt D (1/-3/1) einfach
> einsetzen
>
> Abstand = [mm]|\bruch{3 -6 -5 - 1}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}}|[/mm]
> = [mm]\bruch{9}{\wurzel{152}}[/mm]
>
> habe gerade etwas Zweifel, da es nicht eine "schönere"
> Zahl gab.
>
> Wäre dankbar um Korrektur
>
> Lieber Gruss DInker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Aus Übungszwecken würde ich diese Aufgabe gerne über die Normalgleichung lösen
Hier nochmals die Aufgabenstellung:
Welcher Abstand hat der Punkt D (1/-3/1) zur Ebene, auf denen die frei Punkte A (3/1/2) B(5/3/4) C(-2/1/-1) und D (1/-3/1) liegen
Mein Problem fängt leider bereits damit an, wie ich überhaupt, resp. mit dem geringsten Aufwand zur entsprechenden Normalform komme.
Ich versuchs mal. irgendwie muss ich sicherlich den Normalvektor bestimmen. Diesen hatte ich vorher bestimmt: [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10}
[/mm]
Also meine Normalgleichung lautet:
[mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10} [/mm] * [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2}) [/mm] = 0
Nun setze ich einfach den Punkt D ein:
[mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10} [/mm] * [mm] (\vektor{1 \\ -3 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2}) [/mm] = 0
0 = [mm] \vektor{-6 \\ -4 \\ 10} [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -4 \\ -1}
[/mm]
Nun den Abstand
Abstand = [mm] \bruch{18}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}} [/mm] = [mm] \bruch{18}{\wurzel{152}}
[/mm]
Vorher hatte ich im Zähler eine 9? Wo liegt der Fehler?
Nun habe ich noch eine Frage: Ist der Nutzen der Hesseschen Normalform (HNF) und dieser Normalform einzig alleine Abstandberechnungen?
Vielen Dank
gruss Dinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:52 Di 17.11.2009 | | Autor: | glie |
> Guten Abend
>
> Aus Übungszwecken würde ich diese Aufgabe gerne über die
> Normalgleichung lösen
>
> Hier nochmals die Aufgabenstellung:
> Welcher Abstand hat der Punkt D (1/-3/1) zur Ebene, auf
> denen die frei Punkte A (3/1/2) B(5/3/4) C(-2/1/-1) und D
> (1/-3/1) liegen
>
>
> Mein Problem fängt leider bereits damit an, wie ich
> überhaupt, resp. mit dem geringsten Aufwand zur
> entsprechenden Normalform komme.
>
> Ich versuchs mal. irgendwie muss ich sicherlich den
> Normalvektor bestimmen. Diesen hatte ich vorher bestimmt:
> [mm]\vektor{-6 \\ -4 \\ 10}[/mm]
>
> Also meine Normalgleichung lautet:
> [mm]\vektor{-6 \\ -4 \\ 10}[/mm] * [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2})[/mm]
> = 0
>
> Nun setze ich einfach den Punkt D ein:
> [mm]\vektor{-6 \\ -4 \\ 10}[/mm] * [mm](\vektor{1 \\ -3 \\ 1}[/mm] -
> [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ 2})[/mm] = 0
> 0 = [mm]\vektor{-6 \\ -4 \\ 10}[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ -4 \\ -1}[/mm]
>
Hier steht jetzt $0=18$ !!!
Ein Widerspruch!!
Was du jetzt gezeigt hast, ist, dass der Punkt D nicht in der Ebene E liegt.
> Nun den Abstand
>
> Abstand = [mm]\bruch{18}{\wurzel{6^2 + 4^2 + 10^2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{18}{\wurzel{152}}[/mm]
>
Das kannst du so machen. Ergebnis ist korrekt, kann noch zu [mm] $\bruch{9}{\wurzel{38}}$ [/mm] vereinfacht werden.
> Vorher hatte ich im Zähler eine 9? Wo liegt der Fehler?
Fehler ist folgender: Du hast vorher die Punktkoordinaten in
[mm] $\red{3}x_1+\red{2}x_2\red{-5}x_3$ [/mm] eingesetzt.
Beim Betrag des Normalenvektors nimmst du aber den Vektor [mm] $\vektor{-6 \\ -4 \\ 10}$.
[/mm]
Das passt so nicht zusammen.
Gruß Glie
>
> Nun habe ich noch eine Frage: Ist der Nutzen der Hesseschen
> Normalform (HNF) und dieser Normalform einzig alleine
> Abstandberechnungen?
>
> Vielen Dank
> gruss Dinker
>
>
>
>
>
>
>
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