HNF einer Geraden im R2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei L [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine Gerade. Ein Vektor s [mm] \in \IR^{n} [/mm] heißt orthogonal zu L, falls gilt:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] L : <s, x-y> = 0
a) Zeigen Sie: Ist L = v + [mm] \IR [/mm] w eine Gerade und s [mm] \in \IR^{n}, [/mm] so gilt: s orthogonal zu L [mm] \gdw [/mm] s [mm] \perp [/mm] w.
b) Zeigen Sie: Ist L = [mm] {(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2} : a_{1} * x_{1} + a_{2} * x_{2} = b} [/mm] eine Gerade im [mm] \IR^{2}, [/mm] so ist [mm] \vektor{ a_{1} \\ a_{2}} [/mm] orthogonal zu L.
c) Zeigen Sie: Ist L [mm] \subset \IR^{2} [/mm] eine Gerade, s [mm] \in \IR^{2} [/mm] \ {0} orthogonal zu L und v [mm] \in [/mm] L beliebig, so ist L = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : <s, x-v> = 0}.
Ist u [mm] \in \IR^{2}, [/mm] dann beträgt der Abstand zwischen u und L [mm] \bruch{ ||}{ \parallel s \parallel}
[/mm]
d) Es sei L = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : < [mm] \vektor{1 \\ 1}, [/mm] x - [mm] \vektor{0 \\ 1}> [/mm] }. Zeigen Sie, daß L eine Gerade im [mm] \IR^{2} [/mm] ist und berechnen Sie den Abstand zwischen L und u = [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] |
Ok, das hier ist eine Aufgabe. Klingt zwar irgendwie schon gar nicht so schwer, aber leider hab ich da trotzdem nicht so viel Ahnung davon ! Ich verzweifel hier beinahe schon ... Ausserdem mag ich solche Aufgaben gar nicht, in denen ich was zeigen soll ... das ist doch schon irgendwie klar ... :-(
Kann mir übrigens jemand ne gute Seite im Net sagen, auf der die ganze Thematik einigermassen plausibel erklärt wird ? Würd mir schon sehr weiterhelfen ...
zu a ) ???
zu b) Also ich hab ne Gerade L und nen Punkt [mm] \vektor{ a_{1} \\ a_{2}} [/mm] (ist doch ein Punkt, oder ?).
Und der Punkt [mm] \vektor{ a_{1} \\ a_{2}} [/mm] , egal für welches [mm] a_{1} [/mm] bzw. [mm] a_{2} [/mm] ist doch immer orthogonal zu der gegebenen Geraden ?
zu c) ???
zu d) Was ist denn L = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : < [mm] \vektor{1 \\ 1}, [/mm] x - [mm] \vektor{0 \\ 1}> [/mm] } für eine Geradengleichung ? In dieser Form hab ich ne Geradengleichung noch nie gesehen ...
Wäre nett, wenn mir einer von euch unter die Arme greifen könnte ... ! Hätte die fast gleiche Aufgabe nämlich nochmal, aber diesmal im [mm] \IR^{3}
[/mm]
Danke und liebe Grüße !
Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Do 06.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Julchen,
hier mal was zum ![[]](/images/popup.gif) Skalarprodukt und zu Vektorräumen, ansonsten hab ich weiter unten noch was zur Normen und Betrag verlinkt, vielleicht hilft es ja, schaden kanns nicht 
> Es sei L [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine Gerade. Ein Vektor s [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> heißt orthogonal zu L, falls gilt:
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] L : <s, x-y> = 0
>
> a) Zeigen Sie: Ist L = v + [mm]\IR[/mm] w eine Gerade und s [mm]\in \IR^{n},[/mm]
> so gilt: s orthogonal zu L [mm]\gdw[/mm] s [mm]\perp[/mm] w.
Eine Äquivalenz [mm] (\gdw) [/mm] zeigt man meistens, indem man zuerst die eine Richtung [mm] (\Rightarrow) [/mm] zeigt und dann die andere [mm] (\Leftarrow).
[/mm]
Los gehts
[mm] \Rightarrow:
[/mm]
Sei also s orthogonal zu L (Oben steht ja, was das heisst, nämlich [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] L : <s, x-y> = 0) zu zeigen ist, [mm] s\perp [/mm] w, (,d.h. <s,w>=0).
Wenn für beliebige x,y [mm] \in [/mm] L <s, x-y> = 0 gilt, dann auch für v+w,v-w, die sind nämlich beide in L. Dann steht da:[mm]
0===2[/mm], also <s,w>=0
[mm] \Leftarrow:
[/mm]
Sei also <s,w>=0, zu zeigen ist, dass <s,x-y>=0, für alle x,y [mm] \in [/mm] L.
für beliebige x,y [mm] \in [/mm] L gilt:
[mm]x=v+a*w [/mm], für ein a in [mm] \IR [/mm] und analog
[mm]y=v+b*w[/mm], für ein b in [mm] \IR
[/mm]
Nun:[mm]
===(a-b)=0, \mbox{ da }=0[/mm]
Und schon ist man fertig.
>
> b) Zeigen Sie: Ist L = [mm]{(x_{1}, x_{2}) \in \IR^{2} : a_{1} * x_{1} + a_{2} * x_{2} = b}[/mm]
> eine Gerade im [mm]\IR^{2},[/mm] so ist [mm]\vektor{ a_{1} \\ a_{2}}[/mm]
> orthogonal zu L.
[mm] \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] ist hier als Vektor aufzufassen, nämlich als der Ortsvektor vom Ursprung zum Punkt [mm] (a_1|a_2).
[/mm]
Am besten löst du die Aufgabe, indem du die Gerade in die Punkt-Richtungs-Form bringst, also in die Form [mm] x=v+\IR*w, [/mm] mit Stützvektor v und Richtungsvektor w und dann zeigst, dass [mm] <\vektor{a_1 \\ a_2},w>=0, [/mm] dann kannst du mit Augfabenteil a) folgern, dass [mm] \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] orthogonal zur Geraden ist.
Zur Kontrolle (aber rechne ruhig mal selbst): Für die Gerade erhältst du
[mm] x=\vektor{\bruch{b}{a_1} \\0}+ \IR*\vektor{-\bruch{a_2}{a_1}\\1}
[/mm]
> Ok, das hier ist eine Aufgabe. Klingt
> zwar irgendwie schon gar nicht so schwer, aber leider hab
> ich da trotzdem nicht so viel Ahnung davon ! Ich verzweifel
> hier beinahe schon ... Ausserdem mag ich solche Aufgaben
> gar nicht, in denen ich was zeigen soll ... das ist doch
> schon irgendwie klar ... :-(
>
> Kann mir übrigens jemand ne gute Seite im Net sagen, auf
> der die ganze Thematik einigermassen plausibel erklärt wird
> ? Würd mir schon sehr weiterhelfen ...
>
> zu a ) ???
siehe oben
>
> zu b)
siehe oben
>
> zu c) ???
Du musst zuerst zeigen, dass sich die Gerade L als diese Menge (ich nenne sie mal M) [mm] M=\{x\in \IR^2:=0\} [/mm] darstellen lässt.
Sei also x [mm] \in [/mm] L, d.h. [mm] x=v+\IR*w [/mm] und [mm] s\not=0 [/mm] orth. zu L,d.h <s,w>=0
[mm]
==a=0, \mbox{ mit } a \in \IR [/mm]
Daraus folgt x [mm] \in \{x\inR^2:=0\}. [/mm] Eigentlich müsste man, um M=L zu zeigen, noch zeigen, dass falls x [mm] \in [/mm] M daraus folgt, dass x [mm] \in [/mm] L, aber da du das in d) nochmal mit nem konkreten Bsp zeigen sollst, lasse ich es hier mal weg.
Zum Abstand:
Wenn u ein bel. Punkt in [mm] \IR^2 [/mm] ist, dann ist f=u+a*s [mm] \in [/mm] L für ein a [mm] \in \IR. [/mm] Mach ne Zeichnung und bedenke, dass s senkrecht zu L ist, dann ist klar, dass |f-u|=|a*s| der Abstand von u zu L ist. Es gilt das a rauszufinden.
Da f [mm] \in [/mm] L gilt:
[mm]
0===+a[/mm]
[mm] \gdw a=-\bruch{}{}
[/mm]
Wenn du mit den Umformungen Probleme hast, schau dir den Link oben gut durch, da sind die Rechenregeln für Skalarprodukte aufgeführt.
So, der Abstand war [mm] |a*s|=|-\bruch{}{}*s|=\bruch{||}{||}*|s|=\bruch{||}{|s|^2}*|s|=\bruch{||}{|s|}
[/mm]
Bei dir steht [mm] \parallel [/mm] s [mm] \parallel, [/mm] damit ist wohl die euklidische Norm gemeint, aber im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] ist das und der Betrag dasselbe.
> zu d) In
> dieser Form hab ich ne Geradengleichung noch nie gesehen
> ...
zu d) kann ich dir sagen,dass etwas fehlt, es muss
[mm] L=\{ x \in \IR^2: <\vektor{1 \\ 1},x-\vektor{0 \\1}> \red{=0} \}
[/mm]
heissen und ist die Darstellung einer Geraden, die man bei Teil c) kennengelernt hat.
Am besten multiplizierst du das Skalarprod aus, und formst so um, dass man erkennt, dass L eine Gerade ist, dann zeigst du dass [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] senkrecht zu L ist und benutzt die Formel aus c) für den Abstand.
Puh, ich hoffe, den Rest schaffst du allein, aber frag ruhig, wenn du nicht weiterkommst.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:59 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Ui, super !
Vielen lieben Dank für die ausführlichen Erklärungen !
Da muss ich mich heute dann erst mal durchkämpfen  !
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"Am besten löst du die Aufgabe, indem du die Gerade in die Punkt-Richtungs-Form bringst, also in die Form x = v + R * w mit Stützvektor v und Richtungsvektor w ... "
Ich weiß zwar, die Frage klingt für euch eigentlich ganz simpel, aber wie bring ich das denn in die Punktrichtungsform ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
also [mm] a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}=b [/mm] zuerst nach [mm] x_1 [/mm] auflösen, dann steht da:
[mm] x_1=\bruch{b}{a_1}-\bruch{a_2}{a_1}*x_2
[/mm]
[mm] x_2= 0+1*x_2 [/mm]
Das untere habe ich zur Verdeutlichung nochmal hingeschrieben. Jetzt hast du ein Gleichungssystem, in dem du einfach auf der rechten Seite der Gleichungen r anstelle von [mm] x_2 [/mm] schreibst (r [mm] \in \IR) [/mm] und das ganze als Vektoren schreibst.
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{\bruch{b}{a_1} \\ 0}+\vektor{-\bruch{a_2}{a_1} \\ 1}*r
[/mm]
Und das ist die ganz Hexerei
L G walde
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