Häufung Nullstellen Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aus dem Idenditätssatz für Potenzreihen folgt: Nullstellen von Sinus können sich in keinem Punkt häufen.
Das sehe ich aus dem Identätssatz nicht direkt, auch habe ich keine Idee für einen Beweis.
Frage: Beweis der Aussage mit Hilfe des Idenditätssatzes für Potenzreihen.
Ein solcher Beweis vertieft sicher auch das Verständnis für den Identitätssatz für Potenzreihen.
Wenn mir jemand helfen kann: Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aus dem Identitätssatz für Potenzreihen folgt:
> Nullstellen von Sinus können sich in keinem Punkt
> häufen.
> Das sehe ich aus dem Identätssatz nicht direkt, auch habe
> ich keine Idee für einen Beweis.
> Frage: Beweis der Aussage mit Hilfe des Identitätssatzes
> für Potenzreihen.
> Ein solcher Beweis vertieft sicher auch das Verständnis
> für den Identitätssatz für Potenzreihen.
Hallo matheradler,
falls schon bewiesen ist, dass die Taylorreihe
[mm] $T_0(x)\ [/mm] =\ [mm] x-\frac{x^3}{3\,!}+\frac{x^5}{5\,!}-\frac{x^7}{7\,!}+\,.....$
[/mm]
(entwickelt an der Stelle x=0) die Sinusfunktion
für alle [mm] x\in\IR [/mm] darstellt, könnte man vielleicht etwa
so argumentieren:
Bei der kleinsten positiven Nullstelle [mm] x_1=\pi [/mm] (und übrigens
auch bei [mm] x_{-1}=-\pi) [/mm] hat die Sinusfunktion genau dieselben
Ableitungen wie bei x=0 - nur mit umgekehrten Vorzeichen.
Also hat man dort die Taylorreihe:
[mm] $T_{\pi}(x)\ [/mm] =\ [mm] -\left[(x-\pi)-\frac{(x-\pi)^3}{3\,!}+\frac{(x-\pi)^5}{5\,!}-\frac{(x-\pi)^7}{7\,!}+\,.....\right]$
[/mm]
welche natürlich auch für alle [mm] x\in\IR [/mm] gegen sin(x) konvergiert.
Würde man hier alles ausmultiplizieren, käme man zu
einer Potenzreihe
[mm] $T_0^{\*}(x)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}b_n*x^n$
[/mm]
welche nach dem Identitätssatz gliedweise mit [mm] T_0(x) [/mm] über-
einstimmen muss. Nun kann man sich klar machen, dass
die von [mm] \pi [/mm] oder von [mm] -\pi [/mm] aus gesehen "nächsten benachbarten
Nullstellen" wieder im Abstand [mm] \pi [/mm] liegen müssen, etc.
Mit anderen Worten: die Nullstellen liegen in regelmässigen
Abständen von [mm] \pi [/mm] und können deshalb keinen Häufungspunkt
besitzen.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:12 Sa 21.11.2009 | | Autor: | matheradler |
Der Grund meines Suchens eines Beweises möglichst nur mit dem Identitätssatz: Ich schreibe ein Manuskript (Hobby, nichts Kommerzielles) mit dem Stoff Analysis 1 aus Vorlesungssmitschriften, Aufgaben, Büchern usw. Vielleicht können das Studenten mal als Hilfe gebrauchen. Im Aufbau ist die Differentialrechnung noch gar nicht behandelt, auch keine Taylorreihen. In der Vorlesung wurde nur die Bemerkung gemacht, dass aus dem Identitätssatz die Behauptung: Keine Häufung... . Das verstehhe ich eben nicht und möchte es auch nicht ohne Beweis in meinem Skript stehen lassen.
Deshhalb ist die Frage für meine Zwecke noch nicht beantwortet. Bitte um Verständnis! Vielen Dank
Siegfried Veile
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> Der Grund meines Suchens eines Beweises möglichst nur mit
> dem Identitätssatz: Ich schreibe ein Manuskript (Hobby,
> nichts Kommerzielles) mit dem Stoff Analysis 1 aus
> Vorlesungsmitschriften, Aufgaben, Büchern usw. Vielleicht
> können das Studenten mal als Hilfe gebrauchen. Im Aufbau
> ist die Differentialrechnung noch gar nicht behandelt, auch
> keine Taylorreihen. In der Vorlesung wurde nur die
> Bemerkung gemacht, dass aus dem Identitätssatz die
> Behauptung: Keine Häufung... . Das verstehe ich eben
> nicht und möchte es auch nicht ohne Beweis in meinem
> Skript stehen lassen.
> Deshalb ist die Frage für meine Zwecke noch nicht
> beantwortet. Bitte um Verständnis! Vielen Dank
> Siegfried Veile
Hallo Siegfried,
ich weiss nicht so recht, wie man den Identitätssatz für
Potenzreihen auf die Sinusfunktion anwenden können
sollte ohne Grundlagen aus der Differentialrechnung.
Wenn man sich allerdings auf die geometrische Defi-
nition der Sinusfunktion stützt, ist es aber ganz offen-
sichtlich, dass die Nullstellen in Abständen von [mm] \pi [/mm] auf-
treten und sich deshalb nirgends häufen können.
Ganz ohne Identitätssatz und weiteres Brimborium ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Sa 28.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Siegfried!
> Deshhalb ist die Frage für meine Zwecke noch nicht
> beantwortet. Bitte um Verständnis! Vielen Dank
Hat sich das mittlerweile erledigt? Wenn nicht, was genau ist noch offen? Ich bin etwas verwirrt und hab grad nicht vor mir das im Detail alles durchzulesen :)
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aus dem Idenditätssatz für Potenzreihen folgt:
> Nullstellen von Sinus können sich in keinem Punkt
> häufen.
>
> Das sehe ich aus dem Identätssatz nicht direkt, auch habe
> ich keine Idee für einen Beweis.
> Frage: Beweis der Aussage mit Hilfe des Idenditätssatzes
> für Potenzreihen.
> Ein solcher Beweis vertieft sicher auch das Verständnis
> für den Identitätssatz für Potenzreihen.
Nun, nimm doch mal an, dass die Nullstellen von [mm] $\sin(x)$, [/mm] was ja durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, sich in einem Punkt $a$ haeufen. Dann gibt es eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = a$ und [mm] $\sin(a_n) [/mm] = 0$ fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Betrachte nun auch die Nullfunktion $g(x) = 0 = [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] 0 [mm] \cdot x^n$. [/mm] Fuer diese gilt ebenfalls [mm] $g(a_n) [/mm] = 0$ fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Da [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert und der Grenzwert im Konvergenzbereich (hier: ganz [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$) [/mm] von [mm] $\sin(x)$ [/mm] und $g(x)$ liegt, folgt nach dem Identitaetssatz [mm] $\sin(x) [/mm] = g(x) = 0$ fuer alle $x$ im Konvergenzbereich. Aber das kann nicht sein, da [mm] $\sin(x)$ [/mm] nicht konstant 0 ist.
Also koennen sich die Nullstellen von [mm] $\sin(x)$ [/mm] nicht haeufen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also koennen sich die Nullstellen von [mm]\sin(x)[/mm] nicht
> haeufen.
Eine kleine Anmerkung: haeufen tun sie sich schon -- allerdings gegen unendlich. Aber spaeter (in der Funktionentheorie) sieht man, dass dies kein Problem ist: [mm] $\sin(x)$ [/mm] hat bei Unendlich eine wesentliche Singularitaet.
Das wirst du vielleicht erst viel spaeter verstehen (wenn du mal eine Funktionentheorie-Vorlesung hoerst), aber vieleicht erinnerst du dich dann wieder daran :)
LG Felix
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> Hallo!
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> > Aus dem Idenditätssatz für Potenzreihen folgt:
> > Nullstellen von Sinus können sich in keinem Punkt
> > häufen.
> >
> > Das sehe ich aus dem Identätssatz nicht direkt, auch habe
> > ich keine Idee für einen Beweis.
> > Frage: Beweis der Aussage mit Hilfe des
> Idenditätssatzes
> > für Potenzreihen.
> > Ein solcher Beweis vertieft sicher auch das
> Verständnis
> > für den Identitätssatz für Potenzreihen.
>
> Nun, nimm doch mal an, dass die Nullstellen von [mm]\sin(x)[/mm],
> was ja durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, sich
> in einem Punkt [mm]a[/mm] haeufen. Dann gibt es eine Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]\lim_{n\to\infty} a_n = a[/mm] und [mm]\sin(a_n) = 0[/mm]
> fuer alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Betrachte nun auch die Nullfunktion [mm]g(x) = 0 = \sum_{n=0}^\infty 0 \cdot x^n[/mm].
> Fuer diese gilt ebenfalls [mm]g(a_n) = 0[/mm] fuer alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Da [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert und der Grenzwert im
> Konvergenzbereich (hier: ganz [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm]) von [mm]\sin(x)[/mm] und
> [mm]g(x)[/mm] liegt, folgt nach dem Identitaetssatz [mm]\sin(x) = g(x) = 0[/mm]
> fuer alle [mm]x[/mm] im Konvergenzbereich. Aber das kann nicht sein,
> da [mm]\sin(x)[/mm] nicht konstant 0 ist.
>
> Also koennen sich die Nullstellen von [mm]\sin(x)[/mm] nicht
> haeufen.
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
bist du sicher, dass man für deine Argumente (z.B. Konvergenzbereich)
nicht auch Grundlagen aus der Differentialrechnung braucht ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al,
> bist du sicher, dass man für deine Argumente (z.B.
> Konvergenzbereich)
> nicht auch Grundlagen aus der Differentialrechnung braucht
> ?
fuer den Konvergenzbereich braucht man nur den Konvergenzradius, und das ist oft eins der ersten Dinge die man ueber Potenzreihen macht.
LG Felix
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> Hallo Al,
>
> > bist du sicher, dass man für deine Argumente (z.B.
> > Konvergenzbereich)
> > nicht auch Grundlagen aus der Differentialrechnung
> braucht
> > ?
>
> fuer den Konvergenzbereich braucht man nur den
> Konvergenzradius, und das ist oft eins der ersten Dinge die
> man ueber Potenzreihen macht.
>
> LG Felix
>
Naja, aber wie willst du die Potenzreihe für den Sinus
überhaupt aufstellen (und dann deren Konvergenzradius
berechnen) ohne Vorkenntnisse aus der Differentialrech-
nung ? Diese Reihe fällt ja nicht einfach so vom Himmel ...
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al!
> Naja, aber wie willst du die Potenzreihe für den Sinus
> überhaupt aufstellen (und dann deren Konvergenzradius
> berechnen) ohne Vorkenntnisse aus der Differentialrech-
> nung ? Diese Reihe fällt ja nicht einfach so vom Himmel
> ...
Nun, meist definiert man den Sinus einfach ueber die Reihe  Oder man definiert ihn (fuer reelle Parameter $x$) als den Imaginaerteil von [mm] $e^{i x}$, [/mm] und bekommt dann ueber die Reihendarstellung der e-Funktion (die man auch einfach als Reihe definiert) die Reihendarstellung des Sinus.
LG Felix
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> Hallo Al!
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> > Naja, aber wie willst du die Potenzreihe für den Sinus
> > überhaupt aufstellen (und dann deren Konvergenzradius
> > berechnen) ohne Vorkenntnisse aus der
> > Differentialrechnung ? Diese Reihe fällt ja nicht einfach
> > so vom Himmel ...
>
> Nun, meist definiert man den Sinus einfach ueber die Reihe
> Oder man definiert ihn (fuer reelle Parameter [mm]x[/mm]) als
> den Imaginaerteil von [mm]e^{i x}[/mm], und bekommt dann ueber die
> Reihendarstellung der e-Funktion (die man auch einfach als
> Reihe definiert) die Reihendarstellung des Sinus.
>
> LG Felix
Das ist eine ziemlich abgehobene Haltung, bei der man
so tut, als wäre der Sinus und auch die Darstellung
[mm] sin\,(x)\,=\,Im\,(e^{i\,x}) [/mm]
nicht aus der Trigonometrie geboren !
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al!
> Das ist eine ziemlich abgehobene Haltung, bei der man
> so tut, als wäre der Sinus und auch die Darstellung
>
> [mm]sin\,(x)\,=\,Im\,(e^{i\,x})[/mm]
>
> nicht aus der Trigonometrie geboren !
Nun, das aendert nichts daran dass man es in der modernen Analysis ueber die Reihendefinition der E-Funktion definiert und damit arbeitet.
Dass dies das gleiche ist wie die "klassischen" trigonometrischen Funktionen muss man dann zeigen.
LG Felix
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Ach, was ist die Lösung oft so einfach, aber so schwer zu erkennen.
Auf den Vergleich mit [mm] \summe_{i=1}^{n} 0*x^{n} [/mm] usw muß man erst mal kommen! So paßts in mein Skript.
Vielen Dank!
Siegfried Veile
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