Häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
| Aufgabe | Hallo,
Sei [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] + [mm] 3^{-n}
[/mm]
Bestimme alle Häufungspunkte von [mm] (a_{n}) n\in\IN
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo leider kriege ich partout nichts hin bei der Aufgabe.
Bitte um Mithilfe.
Das einzige wäre die Folge in zwei Teilfolgen zu zersetzen und diese dann auf gerade n und ungerade n zu untersuchen
Mehr fällt mir nicht ein
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> Hallo,
> Sei [mm]a_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] + [mm]3^{-n}[/mm]
> Bestimme alle Häufungspunkte von [mm](a_{n}) n\in\IN[/mm]
> Das einzige wäre die Folge in zwei Teilfolgen zu zersetzen
> und diese dann auf gerade n und ungerade n zu untersuchen
> Mehr fällt mir nicht ein
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Idee ist doch supergut!
Schreib mal auf
[mm] a_n:=[/mm] [mm]a_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}[/mm] + [mm]3^{-n}[/mm][mm] =\begin{cases} ..., & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ ..., & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases},
[/mm]
dann schaust Du, wogegen die beiden teilfolgen konvergieren und hast die Häufungpunkte gefunden.
Eventuell müßtest Du anschließend noch begründen, warum es keine wweiteren Häufungspunkte gibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
| Aufgabe | | okay also jetzt zu [mm] a_{n}_{2k} [/mm] |
Okay dass heißt ich überlege mir:
[mm] a_{n}_{2k} [/mm] oder und überlege mir was bei [mm] k\to\infty [/mm] passiert?
setze ich dann anstatt dem n 2k ein?
Dann wäre dies ja [mm] -\infty
[/mm]
Ist das formal so richtig?
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> okay also jetzt zu [mm]a_{n}_{2k}[/mm]
Hallo,
Du meinst sicher [mm] a_{2k}.
[/mm]
> Okay dass heißt ich überlege mir:
> [mm]a_{2k}[/mm] oder und überlege mir was bei [mm]k\to\infty[/mm]
> passiert?
> setze ich dann anstatt dem n 2k ein?
Ja.
> Dann wäre dies ja [mm]-\infty[/mm]
??? Wie kommst Du darauf?
Was ist denn [mm] (-1)^n +3^{-n} [/mm] für gerades n ? Bzw. für n=2k ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
so also ich schreibe : [mm] a_{2k}=(-1)^{2k} [/mm] + [mm] 3^{-2k}
[/mm]
Wenn ich jetzt k gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse wird [mm] (-1)^{2k} [/mm] wird dies 1
wenn ich jetzt k gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse wird [mm] 3^{-2k} [/mm] wird dies doch [mm] -\infty
[/mm]
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> so also ich schreibe : [mm]a_{2k}=(-1)^{2k}[/mm] + [mm]3^{-2k}[/mm]
> Wenn ich jetzt k gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse wird [mm](-1)^{2k}[/mm]
> wird dies 1
Hallo,
ja.
> wenn ich jetzt k gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse wird [mm]3^{-2k}[/mm]
> wird dies doch [mm]-\infty[/mm]
Nein.
Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten. Entweder, Du erinnerst Dich gleich daran, was ein negatiber Exponent bedeutet.
Oder Du nimmst Deinen Taschenrechner und berechnest mal [mm] 3^{-200} [/mm] und erinnerst Dich dann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
okay dies geht dann gegen 0 also geht die gesamte Folge gegen 1
Für ungerade n geht sie aber gegen unendlich
oder
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> Für ungerade n geht sie aber gegen unendlich
Kannst Du mir einen Grund dafür sagen?
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
ähmmm sorry hab mich verschrieben für gerade n
für ungerade geht sie gegen -1
Gruß
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> für ungerade geht sie gegen -1
Genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
Okay.
Aber wie geh ich den jetzt weiter vor???
Bin total amverzweifeln.... 
Gruß
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> Okay.
> Aber wie geh ich den jetzt weiter vor???
> Bin total amverzweifeln....
Hallo,
ich verstehe Deine verzweiflung gar nicht. Es läuft doch alles gut.
Vielleicht stellst Du jetzt mal zusammen, was Du bisher herausgefunden und erreicht hast.
Danach teile bitte mit, woher Deine Verzeiflung rührt. Allein die Information "verzweifelt" bietet keinen Ansatzpunkt für Hilfe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
Okay ich weiß jetzt:
das die Folge für gerade n divergiert weil sie gegen [mm] \infty [/mm] geht
Für ungerdade n konvergiert sie gegen eins,dass heißt sie ist beschränkt
Okay weiter weiß ich wenn ich die ungerdaen n betrachte dass die Folge monoton fällt oder?
Weiter fällt mir nichts ein
Wie bestimm ich denn die Häufungspunkte?
Also für gerade n bestitz die Folge keine Häufungspunkte weil sie ja divergiert oder?
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Hallo babsi!
Warum hier nun diese Rolle rückwärts? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Du hattest doch selber schon festgestellt, dass gilt (siehe u.a. hier):
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n+\bruch{1}{3^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] \begin{cases} +1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
Also gibt es welche beiden Häufungspunkte?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
Ja dann sind die Häufungspunkte 1 und -1
Aber wie beweis ich das genau?
Gruß
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> Ja dann sind die Häufungspunkte 1 und -1
> Aber wie beweis ich das genau?
Das hattest Du zuvor doch schonmal erzählt:
Für gerades n ist [mm] (-1)^n=1, [/mm] und es ist [mm] \lim_{n\to \infty}3^{-n}=0, [/mm] egal ob n gerade oder ungerade ist.
Ich denke, daß Du [mm] \lim_{n\to \infty}3^{-n}=0 [/mm] nicht mehr beweisen mußt, das war gewiß dran.
Danach verwendest Du die Regeln über die Addition bei konvergenten Folgen und bekommst Deine Häufungspunkte für gerades und ungerades n.
Das einzige, was man der 0rdnung halber anschließend noch tun müßte, wäre, einen Grund dafür zu finden, daß es nicht noch einen weiteren Häufungspunkt gibt, z.B. bei 0.
Aber das kommt erst dran, wenn der Rest klar ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
okay anscheinend stell ich mich etwas blöd an
aber ich weiß trotzdem nicht wie es weiter geht... :-(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Do 13.11.2008 | | Autor: | Babsi86 |
vielleicht könntest du mir bei einer anderen Folge ein Beispielbeweis liefern,
dann würde ich es vielleicht verstehen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 13.11.2008 | | Autor: | fred97 |
In der ganzen Diskussion wurde nicht einmal erwähnt, was ein Häufungswert (HW) einer Folge eigentlich ist. Das muß Dir zunächst klar sein.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge. [mm] \alpha [/mm] ist HW von [mm] (a_n) [/mm]
: [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit [mm] a_{n_k} [/mm] ---> [mm] \alpha [/mm] (k--> [mm] \infty) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0 gilt: [mm] a_n \in (\alpha- \epsilon, \alpha+ \epsilon) [/mm] für unendlich viele n.
Zurück zu Deiner Folge: klar ist, dass 1 und -1 HWe der Folge sind.
Jetzt nimm an, [mm] \alpha [/mm] sei ein weiterer HW von [mm] (a_n), [/mm] also [mm] \alpha \not= [/mm] 1 und [mm] \alpha \not= [/mm] -1
Mal Dir mal ein Bild ! Es wird helfen. Jetzt wähle [mm] \epsilon>0 [/mm] so klein, dass die [mm] \epsilon-Umgebungen [/mm] von 1, -1 und [mm] \alpha [/mm] paarweise disjunkt sind. Hast Du Dir ein Bild gemalt ? Gut.
Da 1 HW ist, liegen fast alle Folgenglieder mit geradem Index in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von 1
Da -1 HW ist, liegen fast alle Folgenglieder mit ungeradem Index in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von -1
Wieviele Folgenglieder können jetzt inder [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von [mm] \alpha [/mm] liegen ??
Bingo ! Höchstens endlich viele ! Damit ist aber [mm] \alpha [/mm] kein HW der Folge, Widerspruch.
Somit hat [mm] (a_n) [/mm] genau die HWe 1 und -1.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Do 13.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo babsi!
>
>
> Warum hier nun diese Rolle rückwärts?
>
> Du hattest doch selber schon festgestellt, dass gilt (siehe
> u.a. hier):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\left[(-1)^n+\bruch{1}{3^n}\right] \ = \ \begin{cases} +1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Hallo Roadrunner,
so darf man das aber nicht schreiben !!! Denn [mm] (a_n) [/mm] ist divergent.
Besser (richtig) ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n} [/mm] = 1
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1} [/mm] =- 1
FRED
>
> Also gibt es welche beiden Häufungspunkte?
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Do 13.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
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... im Sinne der Anklage!
Hallo Fred!
Da hast Du Recht.
Gruß vom
Roadrunner
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