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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 25.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe ein paar Probleme mit der Definition des Häufungspunktes einer Menge.
Ich hab folgende Defintion:
[mm] x\in\IR^n [/mm] heißt Häufungspunkt der Menge [mm] M\subset\IR^n [/mm] , wenn jede Umgebung von x mindestens einen von x verschiedenen Punkt enthält.
Punkt, die keine Häufungspunkte sind, heißen isoliert.
So, also ich verstehe die Definition in soweit, dass x ein Häufungspunkt ist, wenn jede ganz kleine Umgebung um x herum einen Punkt enthält, der von x verschieden ist, sich also eng um x herum andere Punkte tummeln.
Aber im Prinzip können die Umgebungen ja auch beliebig groß werden. Und dann verstehe ich die Defintion nicht mehr. Weil dann könnte man ja im Prinzip die Umgebung so groß wählen, dass sie ganze Menge M umfasst, und wenn man das für alle Punkte der Menge macht, dann wäre jeder Punkt der Menge Häufungspunkt und es gäbe keine isolierten Punkte mehr.
Aber das macht ja irgendwie keinen Sinn...
Hab ich irgendwo einen Denkfehler?
LG Nadine
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> Hallo
> Ich habe ein paar Probleme mit der Definition des
> Häufungspunktes einer Menge.
>
> Ich hab folgende Defintion:
>
> [mm]x\in\IR^n[/mm] heißt Häufungspunkt der Menge [mm]M\subset\IR^n[/mm] ,
> wenn jede Umgebung von x mindestens einen von x
> verschiedenen Punkt enthält.
Wenn du deine Umgebung beliebig groß wählst, schließt du die kleineren aus, du hast also nur was überlesen.
> Punkt, die keine Häufungspunkte sind, heißen isoliert.
>
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 25.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > [mm]x\in\IR^n[/mm] heißt Häufungspunkt der Menge [mm]M\subset\IR^n[/mm] ,
> > wenn jede Umgebung von x mindestens einen von x
> > verschiedenen Punkt enthält.
> Wenn du deine Umgebung beliebig groß wählst, schließt du
> die kleineren aus, du hast also nur was überlesen.
Warum schließe ich die kleinen Umgebungen aus, wenn ich eine große wähle?
Ich verstehe die Definition so, dass wenn jede Umgebung von x einen von x verschiedenen Punkt enthalten muss, dass ich quasi alle möglichen Umgebungen von x darauf hin überprüfen muss, ob sie von x verschiedene Punkte enthalten.
Und so komme ich gleichzeitig auf große und kleine Umgebungen...
Verstehe ich die Definition falsch?
Wie muss ich sie verstehen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | nooschi |
> "Ich verstehe die Definition so, dass wenn jede Umgebung von x einen
> von x verschiedenen Punkt enthalten muss, dass ich quasi alle
> möglichen Umgebungen von x darauf hin überprüfen muss, ob sie von x
> verschiedene Punkte enthalten."
ja du hast schon recht, du musst zeigen, dass JEDE Umgebung von x einen von x verschiedenen Punkt enthält.
Du willst jetzt ja aber nur EINE grosse Umgebung anschauen, womit du noch gar nichts gezeigt hast, weil zum Beispiel der Punkt den du gefunden hast nicht in B(x, [mm] \epsilon) [/mm] für ein genügend kleines [mm] \epsilon [/mm] liegt, aber B(x, [mm] \epsilon) [/mm] ist auch eine Umgebung von x, d.h. du musst auch noch zeigen, dass dort drin ein solcher Punkt existiert.
(Wenn du eben eine kleine Umgebung anschaust, sagen wir eine [mm] \epsilon [/mm] Umgebung, dann kannst du so argumentieren, dass du das [mm] \epsilon [/mm] genügend klein wählen kannst und dann liegt diese [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] in der anderen Umgebung drin. wenn du also zeigen kannst, dass die Def vom HP in einer [mm] \epsilon [/mm] Umgebung erfüllt ist, ist sie logischerweise auch in der Obermenge der [mm] \epsilon [/mm] Umgebung erfüllt, d.h. generell schaut man sich da kleine Umgebungen an...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Hmm, irgendwie verstehe ich das immer noch nicht...
Das mit den Umgebungen verwirrt mich total.
Habt iht vielleicht mal ein Beispiel, an dem man das gut verstehen kann?
Also ein Beispiel, wo man sowohl einen Häufungspunkt als auch einen isolierten Punkt hat und wo man das mit den Umgebungen gut veranschaulichen kann?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mo 22.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hmm, irgendwie verstehe ich das immer noch nicht...
>
> Das mit den Umgebungen verwirrt mich total.
Der entscheidene Punkt der Definition ist tatsächlich, dass jede Umgebung eines Häufungspunktes einen (und damit mindestens einen) weiteren Puntk der Menge enthält. Natürlich kannst du sehr große Umgebungen nehmen, aber die Definition sagt, dass es auch gelten muss, wenn du irgendeine ganz winzig kleine Umgebung anschaust.
> Habt iht vielleicht mal ein Beispiel, an dem man das gut
> verstehen kann?
>
> Also ein Beispiel, wo man sowohl einen Häufungspunkt als
> auch einen isolierten Punkt hat und wo man das mit den
> Umgebungen gut veranschaulichen kann?
Nehmen wir mal Teilmengen des [mm] $\IR^2$, [/mm] die kann man leicht hinmalen.
Ein isolierter Punkt ist einfach: ein einzelner Punkt im [mm] $\IR^2$, [/mm] der weit weg von allen anderen Punkten der Menge liegt. Beispiel:
[mm] M = \{(x,y)\mid x^2+y^2 \le 1\} \cup \{(2,2)\} [/mm]
Das ist eine Kreisscheibe vom Radius 1, plus der einzelne Punkt $(2,2)$, der ein isolierter Punkt der Menge ist.
Alle anderen Punkte sind Häufungspunkte. Nimm als Beispiel den Punkt $(0,0)$. Wenn du eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] anschaust, dann siehst du, dass da immer Punkte aus der Kreisscheibe drinliegen, egal wie klein das [mm] $\varepsilon$ [/mm] auch sein mag. Das Gleiche gilt für den Punkt $(1,0)$ auf dem Rand der Kreisscheibe: In einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] dieses Punktes liegen immer Punkte aus dem Inneren der Kreisscheibe, aber natürlich auch Punkte, die gar nicht zur Kreisscheibe und damit auch nicht zur Menge M gehören.
Viele Grüße
Rainer
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