Häufungspunkte/Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 24.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge [mm] a_{n} n\varepsilon \IN [/mm] auf Monotonie, Beschränktheit, hÄufungspunkte und Konvergenz.
[mm] c)a_{n}= \bruch{1}{1+(-2)^{n}} [/mm] |
Hi
Also das keine Monotonie vorhanden ist und das die Folge nach oben durch 1 und nach unten durch -1 beschränkt ist habe ich rausbekommen...
zur Konvergenz:
bin mir nicht ganz sicher wie ich hier das richtig zeigen muss, aber
die Folge müsste doch gegen 0 konvergieren oder? schon allein deshalb weil die Zahl unter dem Bruch ja für "gerade Zahlen" immer größer wird und 1 durch etwas großes ja sich immer 0 annähert ...für ungerade Zahlen wird die Zahl ja auch immer größer, halt mit einem minus davor ( eigentlich im Sinne ja dann kleiner) aber dann nähert die Folge sich halt nur von der anderen Seite der 0 an, also ist sie doch einfach konvergent mit dem Grenzwert 0 oder??
Und wenn eine Folge beschränkt ist, hat sie doch mind. einen Häufungspunkt... aber wie kommt man auf den ??
Grüße
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Moin,
> Untersuchen Sie die Folge [mm]a_{n} n\varepsilon \IN[/mm] auf
> Monotonie, Beschränktheit, hÄufungspunkte und
> Konvergenz.
>
> [mm]c)a_{n}= \bruch{1}{1+(-2)^{n}}[/mm]
> Hi
>
> Also das keine Monotonie vorhanden ist und das die Folge
> nach oben durch 1 und nach unten durch -1 beschränkt ist
> habe ich rausbekommen...![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zur Konvergenz:
> bin mir nicht ganz sicher wie ich hier das richtig zeigen
> muss, aber
> die Folge müsste doch gegen 0 konvergieren oder? schon
> allein deshalb weil die Zahl unter dem Bruch ja für
> "gerade Zahlen" immer größer wird und 1 durch etwas
> großes ja sich immer 0 annähert ...für ungerade Zahlen
> wird die Zahl ja auch immer größer, halt mit einem minus
> davor ( eigentlich im Sinne ja dann kleiner) aber dann
> nähert die Folge sich halt nur von der anderen Seite der 0
> an, also ist sie doch einfach konvergent mit dem Grenzwert
> 0 oder??
Ja, das kannst du aber noch ordentlich aufschreiben. Am einfachsten indem du die gerade und ungerade Teilfolge betrachtest.
Etwa für die gerade Teilfolge (n=2k), hier finden wir eine majorante Nullfolge:
[mm] \left|\frac{1}{1+(-2)^{2k}}\right|=\frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}
[/mm]
ebenso für die ungerade Teilfolge (n=2k-1) [...]
Wenn beide Teilfolgen Nullfolgen sind, dann ist auch die gesamte Folge eine Nullfolge
>
> Und wenn eine Folge beschränkt ist, hat sie doch mind.
> einen Häufungspunkt... aber wie kommt man auf den ??
>
> Grüße
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi
> Moin,
> > Untersuchen Sie die Folge [mm]a_{n} n\varepsilon \IN[/mm] auf
> > Monotonie, Beschränktheit, hÄufungspunkte und
> > Konvergenz.
> >
> > [mm]c)a_{n}= \bruch{1}{1+(-2)^{n}}[/mm]
Am
> einfachsten indem du die gerade und ungerade Teilfolge
> betrachtest.
> Etwa für die gerade Teilfolge (n=2k), hier finden wir
> eine majorante Nullfolge:
>
> [mm]\left|\frac{1}{1+(-2)^{2k}}\right|=\frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}[/mm]
--> was sagt mir das denn genau? [mm] \frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}
[/mm]
> ebenso für die ungerade Teilfolge (n=2k-1) [...]
> Wenn beide Teilfolgen Nullfolgen sind, dann ist auch die
> gesamte Folge eine Nullfolge
> >
> > Und wenn eine Folge beschränkt ist, hat sie doch mind.
> > einen Häufungspunkt... aber wie kommt man auf den ??
ja und was ist dann der Häufungspunkt? 0?
grüße
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> Hi
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> > Moin,
> > > Untersuchen Sie die Folge [mm]a_{n} n\varepsilon \IN[/mm] auf
> > > Monotonie, Beschränktheit, hÄufungspunkte und
> > > Konvergenz.
> > >
> > > [mm]c)a_{n}= \bruch{1}{1+(-2)^{n}}[/mm]
> Am
> > einfachsten indem du die gerade und ungerade Teilfolge
> > betrachtest.
> > Etwa für die gerade Teilfolge (n=2k), hier finden wir
> > eine majorante Nullfolge:
> >
> >
> [mm]\left|\frac{1}{1+(-2)^{2k}}\right|=\frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}[/mm]
> --> was sagt mir das denn genau?
Für jedes k gilt die Ungleichung [mm] 0<\frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}.
[/mm]
Sicherlich hast du nun eine Art Einschließungslemma kennengelernt, das besagt, dass hiermit die Konvergenz der Teilfolge gegen 0 folgt.
> [mm]\frac{1}{1+2^{2k}}<\frac{1}{2^{2k}}[/mm]
>
> > ebenso für die ungerade Teilfolge (n=2k-1) [...]
> > Wenn beide Teilfolgen Nullfolgen sind, dann ist auch
> die
> > gesamte Folge eine Nullfolge
> > >
> > > Und wenn eine Folge beschränkt ist, hat sie doch mind.
> > > einen Häufungspunkt... aber wie kommt man auf den ??
>
> ja und was ist dann der Häufungspunkt? 0?
>
> grüße
>
LG
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