Häufungspunkte einer Folge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man skizziere die Folgen [mm] (z_n)_{n \in \IN} [/mm] und bestimme ihre Häufungspunkte:
a) $ [mm] z_n [/mm] = [mm] e^{in \pi/4} [/mm] $
b) $ [mm] z_n [/mm] = [mm] e^{in} [/mm] $ |
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage zu Häufungspunkten. Laut dem Mathebuch, das ich verwende, gilt:
Ein Punkt $ a [mm] \in \IC [/mm] $, der nicht notwendig zu $ D [mm] \subseteq \IC [/mm] $ gehört, heißt Häufungspunkt von D, wenn jede r-Umgebung von a wenigstens einen von a verschiedenen Punkt aus D enthält.
zu a)
Es gilt:
[mm] z_1 [/mm] = [mm] z_9 [/mm] = [mm] z_1_7 [/mm] = ...
[mm] z_2 [/mm] = [mm] z_1_0 [/mm] = [mm] z_1_8 [/mm] = ...
usw.
So, wie ich obige Definition verstehe, hätte diese Folge keinen einzigen Häufungspunkt, weil es keinen von [mm] z_n [/mm] verschiedenen Punkt in einer kleinen r-Umgebung von [mm] z_n [/mm] gibt.
Ist dies richtig oder sind nicht doch alle Punkte der Folge auch Häufungspunkte?
zu b)
Die Punkte der Folge liegen auf dem Einheitskreis um den Ursprung. Für $ n [mm] \in \IN [/mm] $ findet sich auch in jeder r-Umgebung eines Folgenglieds ein weiterer Punkt. Damit sind alle Punkte der Folge Häufungspunkte.
Ist diese Überlegung richtig?
Vielen Dank und schöne Grüße
franzzink
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Hallo franzzink,
es gibt in der Tat subtile Unterschiede bei der Definition von Häufungspunkten. Normalerweise geht das über konvergente Teilfolgen, und der Satz von Bolzano-Weierstraß ist meistens das Mittel der Wahl, um die Existenz konvergenter Teilfolgen nachzuweisen.
> Man skizziere die Folgen [mm](z_n)_{n \in \IN}[/mm] und bestimme
> ihre Häufungspunkte:
>
> a) [mm]z_n = e^{in \pi/4}[/mm]
>
> b) [mm]z_n = e^{in}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Verständnisfrage zu Häufungspunkten. Laut
> dem Mathebuch, das ich verwende, gilt:
>
> Ein Punkt [mm]a \in \IC [/mm], der nicht notwendig zu [mm]D \subseteq \IC[/mm]
> gehört, heißt Häufungspunkt von D, wenn jede r-Umgebung
> von a wenigstens einen von a verschiedenen Punkt aus D
> enthält.
Das ist m.E. nicht die gängige Definition. In der Tat zeigt sich an der ersten Folge der Unterschied zur Teilfolgen-Definition.
> zu a)
> Es gilt:
> [mm]z_1[/mm] = [mm]z_9[/mm] = [mm]z_1_7[/mm] = ...
> [mm]z_2[/mm] = [mm]z_1_0[/mm] = [mm]z_1_8[/mm] = ...
> usw.
Eben. Das sind schonmal 8 konvergente Teilfolgen, wenn auch recht langweilige.
> So, wie ich obige Definition verstehe, hätte diese Folge
> keinen einzigen Häufungspunkt, weil es keinen von [mm]z_n[/mm]
> verschiedenen Punkt in einer kleinen r-Umgebung von [mm]z_n[/mm]
> gibt.
Laut der Definition aus Deinem Buch ist das so, ja.
> Ist dies richtig oder sind nicht doch alle Punkte der Folge
> auch Häufungspunkte?
Nach der Definition über konvergente Teilfolgen wäre das so. Die Antwort hängt also von der Definition ab.
> zu b)
> Die Punkte der Folge liegen auf dem Einheitskreis um den
> Ursprung. Für [mm]n \in \IN[/mm] findet sich auch in jeder
> r-Umgebung eines Folgenglieds ein weiterer Punkt. Damit
> sind alle Punkte der Folge Häufungspunkte.
>
> Ist diese Überlegung richtig?
Das ist korrekt.
Ohne Bolzano-Weierstraß wäre man hier allerdings mit der Teilfolgen-Definition aufgeschmissen. Es ist nicht möglich, eine konvergente Teilfolge anzugeben, trotzdem ist klar, dass die Punkte der Folge "dicht" liegen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Di 09.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man skizziere die Folgen [mm](z_n)_{n \in \IN}[/mm] und bestimme
> ihre Häufungspunkte:
>
> a) [mm]z_n = e^{in \pi/4}[/mm]
>
> b) [mm]z_n = e^{in}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Verständnisfrage zu Häufungspunkten. Laut
> dem Mathebuch, das ich verwende, gilt:
>
> Ein Punkt [mm]a \in \IC [/mm], der nicht notwendig zu [mm]D \subseteq \IC[/mm]
> gehört, heißt Häufungspunkt von D, wenn jede r-Umgebung
> von a wenigstens einen von a verschiedenen Punkt aus D
> enthält.
Das ist die Definition des Begriffs "Häufungspunkt einer Menge", und ist fein säuberlich zu unterscheiden von "Häufungspunkt einer Folge"
Ist [mm] (z_n) [/mm] eine Folge, so heißt [mm] z_0 [/mm] Häufungspunkt von [mm] (z_n) \gdw (z_n) [/mm] enthält eine Teilfolge, die gegen [mm] z_0 [/mm] konvergiert.
Beispiel: [mm] z_n=(-1)^n.
[/mm]
[mm] (z_n) [/mm] hat genau 2 Häufungspunkte: [mm] \pm [/mm] 1.
Die Menge [mm] \{z_1,z_2,...\} [/mm] = [mm] \{1,-1\} [/mm] hat keine Häufungspunkte
FRED
>
> zu a)
> Es gilt:
> [mm]z_1[/mm] = [mm]z_9[/mm] = [mm]z_1_7[/mm] = ...
> [mm]z_2[/mm] = [mm]z_1_0[/mm] = [mm]z_1_8[/mm] = ...
> usw.
>
> So, wie ich obige Definition verstehe, hätte diese Folge
> keinen einzigen Häufungspunkt, weil es keinen von [mm]z_n[/mm]
> verschiedenen Punkt in einer kleinen r-Umgebung von [mm]z_n[/mm]
> gibt.
>
> Ist dies richtig oder sind nicht doch alle Punkte der Folge
> auch Häufungspunkte?
>
>
> zu b)
> Die Punkte der Folge liegen auf dem Einheitskreis um den
> Ursprung. Für [mm]n \in \IN[/mm] findet sich auch in jeder
> r-Umgebung eines Folgenglieds ein weiterer Punkt. Damit
> sind alle Punkte der Folge Häufungspunkte.
>
> Ist diese Überlegung richtig?
>
>
> Vielen Dank und schöne Grüße
> franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Di 09.10.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo,
> Das ist die Definition des Begriffs "Häufungspunkt einer
> Menge", und ist fein säuberlich zu unterscheiden von
> "Häufungspunkt einer Folge"
Kein Wunder - auf diesen Unterschied geht das Buch nicht ein. Ich habe die Folge daher einfach als "Punktmenge" interpretiert. Eine Unterscheidung zwischen Menge und Folge macht ja aber durchaus Sinn...
> Ist [mm](z_n)[/mm] eine Folge, so heißt [mm]z_0[/mm] Häufungspunkt von
> [mm](z_n) \gdw (z_n)[/mm] enthält eine Teilfolge, die gegen [mm]z_0[/mm]
> konvergiert.
>
>
> Beispiel: [mm]z_n=(-1)^n.[/mm]
>
> [mm](z_n)[/mm] hat genau 2 Häufungspunkte: [mm]\pm[/mm] 1.
>
> Die Menge [mm]\{z_1,z_2,...\}[/mm] = [mm]\{1,-1\}[/mm] hat keine
> Häufungspunkte
Gutes Beispiel. Damit ist es leicht verständlich.
Danke Euch beiden für die Erklärungen und Verweise auf andere Definitionen.
Herzliche Grüße
franzzink
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