Halbgruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Sa 04.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | | Es sei (M,#) eine Halbgruppe mit neutralen Element e. Man beweise: Gibt es zu einem u [mm] \in [/mm] M Elemente x,y [mm] \in [/mm] M, für die x # u = u # y = e gilt, so ist x=y. |
Hallo Ihr.
Dieses kleine Aufgabe haben wir als Hausaufgabe aufbekommen.
Bin mir nicht sicher bei der Lösung.
Laut Gleichung muss ja x und y gleich sein.
Weiß nicht, was ich da noch machen muss.
Denke das x und y die Inversen zu u sind.
Also vielen Dank für eure Hilfe und noch ein schönes Wochende.
Tschüß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 04.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
>
> Laut Gleichung muss ja x und y gleich sein.
Wieso denn das? Das ist doch gerade zu beweisen, Vorausgesetzt ist ja erstmal nur x#u = u#y. Daraus allein folgt noch nicht dass x=y ist, denn eine Halbgruppe ist ja weder kommutativ noch muss es irgendwelche Inversen geben - d.h. es könnte durchaus auch verschiedene (!) x und y geben mit x # u =y # u.
Was die Gleichheit von x und y liefert ist aber die Tatsache, dass beide Produkte jeweils das neutrale Element der Halbgruppe liefern.
Wie kann man nun x=y zeigen? Ich liefere Dir mal den Anfang:
x = x#e = x#(u#y) = (x#u)#y=.....
Ab da darfst Du dann die letzten 2 Schritte fertigrechnen.
Erläuterung:
1. Schritt: Wir verwenden, dass e das neutrale Element ist. Also können wir es einfach dazuschreiben.
2. Schritt: Verwende u#y=e
3. Schritt: Hier kommt ins Spiel, dass wir eine Halbgruppe haben: es gilt also das Assoziativgesetz und wir können umklammern.
> Weiß nicht, was ich da noch machen muss.
> Denke das x und y die Inversen zu u sind.
Genauer sind x und y Links- bzw. Rechtsinverses zu u - und die Aufgabe zeigt, dass wenn u gleichzeitig ein Links- und ein Rechtsinverses besitzt diese beiden gleich sein müssen (es also nur ein Inverses gibt).
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Sa 04.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo piet.t.
Dankeschön, habe es mir nochmal durch den Kopf gehen lassen.
So schwer war es ja nicht, naja jetzt passt es.
Vielen Dank und noch ein schönes Wochenende.
Tschüß
|
|
|
|
