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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Di 14.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M. Für (M,*) gelte das Assoziativgesetz. (In diesem Fall nennt man (M,*) auch eine Halbgruppe). Ferner gebe es in M eine Linkseins und zu jedem Element ein Rechtsinverses, d.h.
[mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] M [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M: e*a=a
und
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] M: a*b=e.
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dann (M,*) im allgemeinen keine Gruppe ist.
Hinweis: Wie steht es mit der Menge
M:={f: [mm] \IZ \to \IZ: f(\IZ) \subset \IN_0, f|_\IN_0 [/mm] ist Bijektion auf [mm] \IN_{0} [/mm] },
versehen mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung? |
Ich nehme an, dass die Verknüpfung * für die Hintereinanderausführung von Abbildungen steht. Dann wäre mir die Assoziativität klar.
Für die Halbgruppe muss ich zeigen, dass für (M.*)
1) Assoziativität
2) Existenz der Linkseins (des Linksneutralen)
3) Existenz des Rechtsinversen
gilt.
Nach der Definition der Linkseins muss gelten: [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M: e [mm] \circ [/mm] f = f.
Nach der Definition des Rechtsinversen muss gelten: g [mm] \in [/mm] M, so dass f [mm] \circ [/mm] g = e.
Wie finde ich eine solche Linkseins bzw. ein solches Rechtsinverses?
Ist meine Annahme, dass es sich bei der Verknüpfung um eine Hintereinanderausführung handelt, falsch?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
xsara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 15.11.2006 | | Autor: | moudi |
> Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M. Für (M,*)
> gelte das Assoziativgesetz. (In diesem Fall nennt man (M,*)
> auch eine Halbgruppe). Ferner gebe es in M eine Linkseins
> und zu jedem Element ein Rechtsinverses, d.h.
> [mm]\exists e \in M \forall a \in M: e*a=a[/mm]
> und
> [mm]\forall a \in M \exists b \in M: a*b=e.[/mm]
>
> Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dann (M,*) im
> allgemeinen keine Gruppe ist.
> Hinweis: Wie steht es mit der Menge
> [mm] M:=\{f: \IZ \to \IZ: f(\IZ) \subset \IN_0, f|_\IN_0\}[/mm] ist
> Bijektion auf [mm]\IN_{0}[/mm],
> versehen mit der Komposition von Abbildungen als
> Verknüpfung?
> Ich nehme an, dass die Verknüpfung * für die
> Hintereinanderausführung von Abbildungen steht. Dann wäre
> mir die Assoziativität klar.
>
> Für die Halbgruppe muss ich zeigen, dass für (M.*)
> 1) Assoziativität
> 2) Existenz der Linkseins (des Linksneutralen)
> 3) Existenz des Rechtsinversen
> gilt.
>
> Nach der Definition der Linkseins muss gelten: [mm]\forall[/mm] f
> [mm]\in[/mm] M: e [mm]\circ[/mm] f = f.
> Nach der Definition des Rechtsinversen muss gelten: g [mm]\in[/mm]
> M, so dass f [mm]\circ[/mm] g = e.
>
> Wie finde ich eine solche Linkseins bzw. ein solches
> Rechtsinverses?
>
> Ist meine Annahme, dass es sich bei der Verknüpfung um eine
> Hintereinanderausführung handelt, falsch?
Hallo xsara
Nein ich denke es ist scho richtig.
e muss eingeschränkt auf [mm] $\IN_0$ [/mm] muss natürlich die Idendität sein i.e. e(x)=x für [mm] $x\in\IN_0$ [/mm] und [mm] $g|_{\IN_0}$ [/mm] muss natürlich die Umkehrfunktion von f sein.
mfG Moudi
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> xsara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mi 15.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Moudi!
Das mit der Identitätsabbildung ist eine tolle Idee. Werde ich gleich mal ausprobieren.
Vielen Dank!
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