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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 15.03.2006 | | Autor: | x-dream |
| Aufgabe | Zwei Halbkreise mit unterschiedlichen Radien, die beide auf der Geraden g liegen, berühren sich im Punkt B. Die Mittelsenkrechte der Strecke EL schneidet den größeren Halbkreis in N und die Strecke EL in R. Die Tangente durch den Punkt R an den kleineren Halbkreise ergibt den Punkt I.
Zeige, dass a) IR = RN
und b) B,I,N liegen auf einer Geraden |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, ich bin ganz neu in eurem Forum. Ich hoffe, dass mir trotzdem jemand hilft. 
Die Aufgabe steht in unserem Schulbuch, und ich komm einfach auf keine Lösung. Ich hab mal noch eine Skizze angefertigt. Ist nicht die beste, weil ich sie nur mit Paint gezeichnet habe. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank im vorraus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hi Peter,
nehme mal an du musst das ganze nur grafisch lösen??
a)
Bei dieser Frage haben die beiden Punkte I und N von R den gleichen Abstand.
Eine möglichkeit zu zeigen, dass das stimmt wäre indem du einen Kreis mit dem Mittelpunkt R und dem Radius RN zeichnest. Liegt jetzt der Punkt I auf dem Kreis dann muss der Abstand auch gleich RN sein, denn RN ist ja der Radius.
b) B, I und N liegen auf einer Geraden, wenn du eine Gerade durch alle drei Punkte zeichnen kannst.
Also Gerade durch B und I zeichnen und wenn N auch auf der Gerade liegt stimmt das ganze.
Grüßle Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 16.03.2006 | | Autor: | x-dream |
Danke für deine Antwort. Aber ich denke, dass man hier schon eher einen Beweis anbringen sollte, und nicht nur grafisch zeigen. Die Aufgabe, ist als 3-Sternchen-Aufgabe in unserem Buch gekennzeichnet, und daher denke ich dass es schon etwas anspruchsvoller ist. Allerdings komme ich auch auf keinen Ansatz, wie man heir einen Beweis erbringen könnte. Trotzdem danke. Übrigens bin ich natürlich auch nach Ablauf der 48 Stunden noch an einer Antwort interessiert. LG Peter
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ok dann wolln wir mal
Definitionen um sich das Leben etwas zu erleichtern:
Gerade g = x-Achse
B(0|0)
$r_1$ Radius großer Kreis
$r_2$ Radius kleiner Kreis
Gleichung für großen Kreis:
$f(x) = \wurzel{r_1^2 - (x-r_1)^2} = \wurzel(2xr_1 - x^2)$
Gleichung für kleinen Kreis:
$g(x) = \wurzel{r_2^2 - (x-r_2)^2} = \wurzel(2xr_2 - x^2)$
So jetzt zur berechnung der Punkte:
$L(2*r_1|0)$
$E(2*r_2|0)$
$R_x = 2r_2 + \bruch{2(r_1 - r_2)}{2} = r_1 + r_2$
$R(r_1 + r_2|0)$
$f(r_1 + r_2) = \wurzel{r_1^2 + (r_1 + r_2-r_2)^2} = \wurzel{r_1^2-r_2^2}$
$N(r_1 + r_2| \wurzel{r_1^2-r_2^2}) $
$ \overline{RN} =\wurzel{r_1^2-r_2^2} $
Tangente an kleinen Kreis(I) von Punkt R aus:
$g'(x) = \bruch{r_2-x}{\wurzel{2xr_2 - x^2}} $
$m = \bruch{\Delta y}{\Delta x}} = \bruch{y}{x - (r_1+r_2)}} $
$\bruch{r_2-x}{\wurzel{2xr_2 - x^2}} = \bruch{y}{x - (r_1+r_2)}} $
$(r_2 - x)(x-(r_1+r_2) = 2xr_2 - x^2 $
$r_2x - r_2(r_1+r_2) - x^2 + x(r_1+r_2) = 2xr_2 - x^2 $
$x(r_1 + 2r_2) = 2xr_2 + r_2(r_1+r_2)$
$x = \bruch{r_2(r_1+r_2)}{r_1} $
$I_x = \bruch{r_2(r_1+r_2)}{r_1} $
$I_y = g(I_x) = \wurzel(2r_2 * \bruch{r_2(r_1+r_2)}{r_1} - (\bruch{r_2(r_1+r_2)}{r_1})^2) $
$I_y = \bruch{r_2}{r_1} \wurzel{r_1^2- r_2^2} $
So jetzt zum beweisen:
a)
$ \overline{IR} = \overline{RN} $
$\overline{IR} = \wurzel{(I_x-R_x)^2 + I_y^2} $
$\overline{IR} = \wurzel{(\bruch{r_2(r_1+r_2)}{r_1} -(r_1 + r_2))^2 + (\bruch{r_2}{r_1} \wurzel{r_1^2- r_2^2})^2} $
$\overline{IR} = \wurzel{(\bruch{r_2(r_1+r_2)-r_1(r_1 + r_2)}{r_1})^2 + (\bruch{r_2^2}{r_1^2}(r_1^2- r_2^2) }$
$\overline{IR} = \wurzel{(\bruch{r_2^2-r_1^2}{r_1})^2 + (\bruch{r_2^2}{r_1^2}(r_1^2- r_2^2)} $
$ \overline{IR} = \overline{RN} $
$\wurzel{(\bruch{r_2^2-r_1^2}{r_1})^2 + (\bruch{r_2^2}{r_1^2}(r_1^2- r_2^2))} = \wurzel{r_1^2-r_2^2} $
$(\bruch{(r_2^2-r_1^2)^2}{r_1^2})^2 + (\bruch{r_2^2}{r_1^2}(r_1^2- r_2^2)) = r_1^2-r_2^2 $
$(r_2^2 - r_2^2)^2 + r_2^2(r_1^2 - r_2^2) = r_1^2(r_1^2 - r_2^2)$
$(r_2^2 - r_2^2)^2 = r_1^2(r_1^2 - r_2^2) - r_2^2(r_1^2 - r_2^2) $
$(r_2^2 - r_2^2)^2 = (r_1^2 - r_2^2)(r_1^2 - r_2^2) $
$r_2^4 - 2r_2^2r_1^2 + r_1^4 =r_2^4 - 2r_2^2r_1^2 + r_1^4 $
$ 0 = 0 $ Passt!
Also ist der Abstand von IR und RN gleich.
b)
Gerade durch Punkt B und I
$y = mx + b$
b = 0 weil B(0|0)
$I_y = m * I_x$
$ \wurzel{r_1^2- r_2^2} = m * (r_1+r_2) $
$ \bruch{\wurzel{r_1^2- r_2^2}}{(r_1+r_2)} = m $
Gerade: $y = \bruch{\wurzel{r_1^2- r_2^2}}{(r_1+r_2)}*x $
Ist N auf der Geraden??
$\wurzel{r_1^2-r_2^2} = \bruch{\wurzel{r_1^2- r_2^2}}{(r_1+r_2)}*(r_1 + r_2) $
$ \bruch{\wurzel{r_1^2-r_2^2}}{\wurzel{r_1^2- r_2^2}} = \bruch{(r_1 + r_2)}{(r_1+r_2)} $
$ 1 = 1$ Passt!
Damit liegen die Punkte B,I,N auf einer Geraden.
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Ansonsten schau doch mal unter Thales-Kreis nach, damit könntest du auch zum Ziel kommen.
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[Dateianhang nicht öffentlich]
M sei der Mittelpunkt des inneren Halbkreises.
1. Es ist, wie ich glaube, einfacher, den Punkt I zunächst anders als in der Aufgabe zu definieren, nämlich als Schnitt der Strecke BN mit dem inneren Kreis. Dann ist nämlich von vorneherein klar, daß B,I,N auf einer Geraden liegen. Ferner befinden sich nach dem Satz des Thales in den Dreiecken BEI und BLN bei I bzw. N rechte Winkel.
2. Die Strecken EI und LN sind somit parallel. Ferner ist ELN gemäß Konstruktion (Mittelsenkrechte) gleichschenklig. So erklären sich die drei blauen Winkel bei E und L.
3. Die Dreiecke MEI und MIB sind gleichschenklig (Kreisradius). Das begründet die blauen bzw. roten Basiswinkel. Rot und blau zusammen ergeben einen rechten Winkel (siehe z.B. Punkt I, Satz des Thales).
4. Zwei rote und zwei blaue Winkel machen zusammen einen 180°-Winkel (z.B. Winkelsumme BEI). Da man im Dreieck ELN schon zwei blaue Winkel bei E und L hat, muß der Winkel bei N aus zwei roten bestehen (Winkelsumme). Die Mittelsenkrechte definiert die Teilwinkel als gleich.
5. Das Viereck ERNI hat bei R und I rechte Winkel und ist folglich ein Sehnenviereck. Die Punkte E,R,N,I liegen daher auf einem Kreis (gestrichelt). Die Winkel über der Sehne ER bei N bzw. I sind daher nach dem Umfangswinkelsatz gleich groß. So begründet man den roten Winkel bei I.
6. Im Dreieck MRI ist bei I ein rechter Winkel (rot und blau). Das beweist, daß RI Tangente an den inneren Kreis ist mit I als Berührpunkt. Und unsere von der Aufgabe abweichende Definition von I in 1. erweist sich jetzt nachträglich als gleichbedeutend mit der Definition der Aufgabe.
7. Für den Winkel bei I im Dreieck RNI verbleibt jetzt nur noch blau, da mit dem daneben liegenden roten Winkel ja insgesamt ein rechter Winkel entstehen muß. Analog begründet man den blauen Winkel bei N. RNI ist damit gleichschenklig und RI, RN sind gleich lang.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Coole Lösung, Respekt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Do 23.03.2006 | | Autor: | x-dream |
Ich wollte mich noch mal bedanken, echt eine super Lösung. Da wär ich nie von allein e draufgekommen. Super.
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