Halbkugel einbeschr. Quader < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 19.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Einer Halbkugel vom Radius r soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche so einbeschrieben werden, dass das Volumen des Quaders maximal wird. Welche Abmessungen hat der Quader? |
Moin!
Hmm, ich denke, es ist eine Extremwertaufgabe...
Zielgröße -- Volumen des Quaders
V = a*b*c
Nebenbedingungen
c = b (weil quadratische Grundfläche)
Aber wie geht es jetzt weiter?
Ich könnte auch ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren... mit [mm] r^2 [/mm] = [mm] (\bruch{b}{2})^2 [/mm] + [mm] a^2
[/mm]
Und dennoch fehlt noch irgendetwas?!
Ideen?
Danke & Gruß!
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Hallo!
Das mit dem Dreieck ist eine gute Idee, allerdings falsch umgesetzt. Der Quader berührt mit seinen Ecken die Kugelschale, und deren Abstand vom Kreismittelpunkt berechnet sich aus der Höhe a und... nicht der halben Breite des Quaders.
Ansonsten hast du die Größe V, die maximiert werden soll. Sie hängt von ZWEI freien größen a und b ab. Dein Dreieck stellt eine Beziehung zwischen diesen freien Größen und der von außen vorgegebenen, festen Größe r dar. Durch Einsetzen hast du dann nur noch eine freie Größe, die du durch Ableiten etc. bestimmen mußt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 19.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
Ok, ich versuchs mal...
Das Dreieck vom Kugelmittelpunkt zum Mittelpunkt der Grundfläche zu einem Punkt auf der Kugelschale (Eckpunkt des Quaders) hat dann die Seiten
r, a, und die Hälfte der Diagonalen der Grundfläche [mm] \bruch{d}{2}
[/mm]
1. [mm] r^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] (\bruch{d}{2})^2
[/mm]
Ferner wäre dann von der Grundfläche ausgehend...
2. [mm] d^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
[mm] d^2 [/mm] = [mm] 2*b^2 [/mm]
[mm] r^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*d^2 [/mm]
[mm] a^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}*2*b^2
[/mm]
a = [mm] \wurzel{r^2 - \bruch{1}{2}*b^2}
[/mm]
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 19.10.2012 | | Autor: | chrisno |
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Sa 20.10.2012 | | Autor: | hase-hh |
Zielfunktion
V = [mm] a*b^2 [/mm]
[mm] V=\wurzel{r^2 - \bruch{1}{2}*b^2}*b^2
[/mm]
u = [mm] (r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^\bruch{1}{2} [/mm] v= [mm] b^2
[/mm]
u' = [mm] \bruch{1}{2}*(r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^{- \bruch{1}{2}}*(-b) [/mm] v' = 2*b
V' = [mm] \bruch{1}{2}*(r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^{- \bruch{1}{2}}*(-b)*b^2 [/mm] + [mm] (r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^\bruch{1}{2}*2*b
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{2}*(r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^{- \bruch{1}{2}}*(-b)*b^2 [/mm] + [mm] (r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^\bruch{1}{2}*2*b [/mm] | [mm] *(r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)^\bruch{1}{2}
[/mm]
0 = - [mm] \bruch{1}{2}*b^3 +(r^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*b^2)*2*b
[/mm]
0 = b*(- [mm] \bruch{1}{2}*b^2 +2*r^2 -b^2)
[/mm]
0 = b*(- [mm] \bruch{3}{2}*b^2 +2*r^2)
[/mm]
b=0 v - [mm] \bruch{3}{2}*b^2 +2*r^2 [/mm] = 0
b = [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*r [/mm]
b [mm] \approx [/mm] 1,1547*r
V ' (1*r) = [mm] \bruch{1}{(r^2 -\bruch{1}{2}*(1*r)^2)^{\bruch{1}{2}}}*(1*r)*( [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}(1*r)^2 +2*r^2) [/mm] > 0
V ' (1,3*r) = [mm] \bruch{1}{(r^2 -\bruch{1}{2}*(1,3*r)^2)^{\bruch{1}{2}}}*(1,3*r)*( [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}(1,3*r)^2 +2*r^2) [/mm]
V ' (1,3*r) = [mm] \bruch{1}{(0,155*r^2)^{\bruch{1}{2}}}*(1,3*r)*( [/mm] - [mm] 0,535*r^2) [/mm] < 0
=> VZW + - Maximum !!
a = [mm] \wurzel{r^2 - (\bruch{2}{\wurzel{3}}*r)^2}
[/mm]
a = [mm] \wurzel{r^2 - \bruch{1}{3}*r^2}
[/mm]
a = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3}}*r [/mm]
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[mm]b[/mm] stimmt, bei der Berechnung von [mm]a[/mm] sind dir dann allerdings Fehler passiert.
Du kannst dir viel Rechenarbeit ersparen, wenn du statt [mm]V(b)[/mm] die Funktion [mm]f(b) = \left( V(b) \right)^2[/mm] maximierst. Denn dadurch fällt die Wurzel weg. Bei Extremwertaufgaben darf man das immer dann machen, wenn die Größe, die extremal werden soll, negativer Werte nicht fähig ist. Denn auf den nichtnegativen Zahlen ist die Quadratfunktion streng monoton wachsend, die relative Lage von Zahlen zueinander ändert sich daher nicht.
[mm]f(b) = \frac{1}{2} b^4 \left( 2r^2 - b^2 \right) = \frac{1}{2} \left( 2r^2 b^4 - b^6 \right)[/mm]
[mm]f'(b) = \frac{1}{2} \left( 8r^2 b^3 - 6b^5 \right) = b^3 \left( 4r^2 - 3 b^2 \right)[/mm]
Als einzige positive Nullstelle von [mm]f'[/mm] liest man [mm]b = \frac{2}{3} \sqrt{3} ~ r[/mm] ab.
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