Hamilton Funktion < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] L(\vec{r},\vec{\dot{r}},t) [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}\dot{\vec{r}}^2 [/mm] + [mm] \bruch{e}{c}*\dot{\vec{r}}*A(\vec{r}) [/mm] , [mm] A(\vec{r}) [/mm] = [mm] (-\bruch{B_y}{2},\bruch{B_x}{2},0)
[/mm]
Wie lautet die Hamilton Funktion in der x-y Ebene. |
Das was ich weiss ist, die Hamilton Funktion ist nur von Ort und Impuls abhängig, sie enthält keine Geschwindigkeiten. Deshalb brauch man die generalisierten Koordinaten über die man dann die kanonischen Impulse bekommt.
Diese rechnet man für jede Koordinate aus.
Was dann so aussieht : [mm] P_k [/mm] = [mm] \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_k}}. [/mm] Anschließend löst man die Impulse nach den Geschwindigkeiten auf.
Kann diese dann in die Hamiltonfunktion einsetzen die so aussehen soll: H(q,p,t) = [mm] \summe_{k=1}^{n} P_k [/mm] * [mm] \dot{q_k} [/mm] - [mm] \mathcal L(q,\dot{q},t)
[/mm]
ist das soweit richtig?
jetzt mal genau auf die Lagrange Funktion bezogen. Ich kann doch hier nur einen generalisierten Impuls bilden oder? und zwar nach [mm] \vec{\dot{r}} [/mm] ?
Wäre meine Hamilton Funktion dann nur von H(q,p) = [mm] H(r,p_r) [/mm] abhängig? wovon ist die Lagrange Funktion dann abhängig? von [mm] L(r,\dot{r}) [/mm] ?
blick da noch nicht so ganz durch.
Sind die hamiltonischen Bewegungsgleichungen dann das Äquivalent zu den Euler Lagrange Gleichungen, aus denen die Bewegungsgleichungen folgen? würd gern den größeren Zusammenhang verstehen. Wann wendet man denn welchen Formalismus bevorzugt an?
Jetzt habe ich sehr viel gefragt, bedanke mich aber schonmal bei dem Menschen der sich erbarmt mir zu helfen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mo 02.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]L(\vec{r},\vec{\dot{r}},t) = \bruch{m}{2}\dot{\vec{r}}^2 + \bruch{e}{c}*\dot{\vec{r}}*A(\vec{r})[/mm] , [mm]A(\vec{r}) = (-\bruch{B_y}{2},\bruch{B_x}{2},0)[/mm]
>
> Wie lautet die Hamilton Funktion in der x-y Ebene.
> Das was ich weiss ist, die Hamilton Funktion ist nur von
> Ort und Impuls abhängig, sie enthält keine
> Geschwindigkeiten. Deshalb brauch man die generalisierten
> Koordinaten über die man dann die kanonischen Impulse
> bekommt.
> Diese rechnet man für jede Koordinate aus.
>
> Was dann so aussieht : [mm]P_k[/mm] = [mm]\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_k}}.[/mm]
> Anschließend löst man die Impulse nach den
> Geschwindigkeiten auf.
Nein, die Geschwindigkeiten nach den Impulsen. Das ist der entscheidende Punkt: wenn das nicht geht, gibt es keine hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
>
> Kann diese dann in die Hamiltonfunktion einsetzen die so
> aussehen soll: [mm]H(q,p,t) = \summe_{k=1}^{n} P_k * \dot{q_k} - \mathcal L(q,\dot{q},t)[/mm]
Nicht ganz:
[mm]H(q,p,t) = \summe_{k=1}^{n} P_k * \dot{q_k} - \mathcal L(q,\dot{q}(q,P),t)[/mm],
also die Geschwindigkeiten durch die generalisierten Koordinaten und Impulse ausgedrückt.
> ist das soweit richtig?
> jetzt mal genau auf die Lagrange Funktion bezogen. Ich
> kann doch hier nur einen generalisierten Impuls bilden
> oder? und zwar nach [mm]\vec{\dot{r}}[/mm] ?
Das sind [b]drei[/u] generalisierte Koordinaten, also gibt's auch drei generalisierte Impulse.
> Wäre meine Hamilton Funktion dann nur von H(q,p) =
> [mm]H(r,p_r)[/mm] abhängig? wovon ist die Lagrange Funktion dann
> abhängig? von [mm]L(r,\dot{r})[/mm] ?
Nein, da die Lagrangefunktion von den drei Koordinaten $x,y,z$ und den drei Geschwindigkeiten [mm] $\dot x,\dot [/mm] y, [mm] $\dot [/mm] z$ abhängt, hängt die Hamiltonfunktion von [mm] $x,y,z,p_x,p_y,p_z$ [/mm] ab.
> blick da noch nicht so ganz durch.
> Sind die hamiltonischen Bewegungsgleichungen dann das
> Äquivalent zu den Euler Lagrange Gleichungen, aus denen
> die Bewegungsgleichungen folgen?
Ja, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen überhaupt existieren. Nicht für jedes durch eine Lagrangefunktion beschreibbares System geht das.
> würd gern den größeren
> Zusammenhang verstehen. Wann wendet man denn welchen
> Formalismus bevorzugt an?
Der große Vorteil der hamiltonschen Bewegungsgleichungen ist doch, dass links nur die zeitlichen Ableitungen der generalisierten Koordinaten bzw. Impulse stehen:
[mm] \dot p_i = -\bruch{\partial H}{\partial q_i} [/mm] ,
[mm] \dot q_i = \bruch{\partial H}{\partial p_i} [/mm] .
Statt eines Systems von DGLen zweiter Ordnung wie in der Lagrange-Formulierung steht hier ein System von doppelt so vielen DGLen erster Ordnung, was viel einfacher zu lösen ist. Außerdem sieht man sofort, dass ein generalisierter Impuls zetlich konstant, also eine Erhaltungsgröße ist, wenn die Hamiltonfunktion von der zugehörigen Koordinate nicht abhängt. Also fällt eine DGL sofort weg.
Viele Grüße
Rainer
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lass uns bitte nochmal die Hamilton Funktion H(q,p,t) = [mm] \summe_{k=1}^{n} P_k \cdot{} \dot{q_k} [/mm] - [mm] \mathcal L(q,\dot{q}(q,P),t) [/mm] durchgehen. Zunächst mal haben wir die Lagrange Funktion [mm] L(\vec{r},\vec{\dot{r}},t) [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}\dot{\vec{r}}^2 [/mm] + [mm] \bruch{e}{c}\cdot{}\dot{\vec{r}}\cdot{}A(\vec{r}) [/mm] in der [mm] \vec{r} [/mm] = ( x, y , z ) sein soll, soweit richtig?sprich wir haben wie du schon gesagt hast x,y,z und jeweils die Geschwindigkeiten dazu. so jetzt zur rechten Seite der Hamilton Funktion und zum linken Term, also die Summe [mm] \summe_{k=1}^{n} P_k \cdot{} \dot{q_k} [/mm] , [mm] P_k [/mm] soll also hier [mm] P_x,P_y,P_z [/mm] sein, soweit so gut.jetzt brauch ich die Geschwindigkeiten [mm] \dot{x},\dot{y},\dot{z} [/mm] woher bekomm ich jetzt meine Geschwindigkeiten?oder setz ich dafür erst einmal allgemein beispielsweise [mm] \dot{x} [/mm] ein?
und bei der rechten Seite [mm] \mathcal L(q,\dot{q}(q,P),t) [/mm]
setz ich in meine Lagrangefunktion alle Orte ein und jetzt das entscheidende [mm] \dot{q}(q,P). [/mm] also ganz konkret für die x komponte [mm] \dot{x}(x,P_x) [/mm] und das bekomme ich durch umstellen des verallgemeinerten impulses [mm] P_x?
[/mm]
sorry für das gefrage, aber ich finds auch unglaublich schwer sich rein schriftlich ohne Missverständnisse auszutauschen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mi 04.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> lass uns bitte nochmal die Hamilton Funktion [mm]H(q,p,t) = \summe_{k=1}^{n} P_k \cdot{} \dot{q_k} - \mathcal L(q,\dot{q}(q,P),t)[/mm]
> durchgehen. Zunächst mal haben wir die Lagrange Funktion
> [mm]L(\vec{r},\vec{\dot{r}},t)[/mm] = [mm]\bruch{m}{2}\dot{\vec{r}}^2 + \bruch{e}{c}\cdot{}\dot{\vec{r}}\cdot{}A(\vec{r})[/mm] in der
> [mm]\vec{r} = ( x, y , z )[/mm] sein soll, soweit richtig?sprich wir
> haben wie du schon gesagt hast x,y,z und jeweils die
> Geschwindigkeiten dazu. so jetzt zur rechten Seite der
> Hamilton Funktion und zum linken Term, also die Summe
> [mm]\summe_{k=1}^{n} P_k \cdot{} \dot{q_k}[/mm] , [mm]P_k[/mm] soll also hier
> [mm]P_x,P_y,P_z[/mm] sein, soweit so gut.jetzt brauch ich die
> Geschwindigkeiten [mm]\dot{x},\dot{y},\dot{z}[/mm] woher bekomm ich
> jetzt meine Geschwindigkeiten?oder setz ich dafür erst
> einmal allgemein beispielsweise [mm]\dot{x}[/mm] ein?
Ja, natürlich: die zeitlichen Ableitungen der generalisierten Koordinaten.
Die Lagrangefunktion ist
[mm] L= \bruch{m}{2}\dot{x}^2 + \bruch{m}{2}\dot{y}^2 + \bruch{m}{2}\dot{z}^2 + \bruch{e}{c} \dot{x}A_x + \bruch{e}{c} \dot{y}A_y + \bruch{e}{c} \dot{z}A_z[/mm] ,
und daraus ist zum Beispiel
[mm] p_x = \bruch{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x} + \bruch{e}{c} A_x [/mm],
analog für die $y$ und $z$, sodass du es wieder als Vektor schreiben kannst:
[mm] \vec{p} = m \Dot{\Vec{r}} + \bruch{e}{c} \vec{A} [/mm] .
Die Gleichung für [mm] $p_x$ [/mm] kannst du nach [mm] $\dot{x}$ [/mm] auflösen:
[mm] \dot{x} = \bruch{1}{m} p_x - \bruch{e}{mc} A_x [/mm],
oder wieder zur Vektorgleichung zusammengefasst:
[mm] \Dot{\Vec{r}} =\bruch{1}{m} \vec{p} - \bruch{e}{mc} \vec{A} [/mm],
Um die Hamiltonfunktion auszurechnen, bestimmst du erst
[mm] \summe P_k \dot{q}_k - L = \vec{p}*\Dot{\Vec{r}} - \bruch{m}{2} \Dot{\Vec{r}}^2 - \bruch{e}{c} \Dot{\Vec{r}} * \vec{A} [/mm]
und ersetzt dann die Geschwindigkeiten durch die Impulse:
[mm] = \vec{p}*\left(\bruch{1}{m} \vec{p} - \bruch{e}{mc} \vec{A} \right) - \bruch{m}{2} \left(\bruch{1}{m} \vec{p} - \bruch{e}{mc} \vec{A} \right)^2 - \bruch{e}{c} \left(\bruch{1}{m} \vec{p} - \bruch{e}{mc} \vec{A} \right)*\vec{A} [/mm]
[mm] = \bruch{1}{2m} \left(\vec{p} - \bruch{e}{c} \vec{A}\right)^2 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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geil danke, dann hab ichs kapiert :)
wünsch dir schöne Osterfeiertage.
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