Hamiltonopt. Gleichheit zeigen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 05.06.2012 | | Autor: | sf1234 |
| Aufgabe | Folgende Gleichheit soll gezeigt werden
[mm] \bruch{-h_{quer}}{2m}*\Delta+ \bruch{mw^{2}*x^{2}}{2}\equiv h_{quer}w(n+\bruch{1}{2}) [/mm] |
Mein Ansatz für die rechte Seite sieht folgendermaßen aus:
[mm] h_{quer}w(aa^{T}+a^{T}a)=h_{quer}w(a^{T}a+\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] [a,a^{T}]=1 [/mm] dies sind die Leiteroperatoren
Wie kann ich nun weiter rechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 06.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Folgende Gleichheit soll gezeigt werden
>
> [mm]\bruch{-h_{quer}}{2m}*\Delta+ \bruch{mw^{2}*x^{2}}{2}\equiv h_{quer}w(n+\bruch{1}{2})[/mm]
Hmm, das muss doch eher
[mm] -\bruch{\hbar^2}{2m}\Delta+ \bruch{mw^{2}*x^{2}}{2}\equiv \hbar w(n+\bruch{1}{2})[/mm]
heißen, und es gilt auch nur für die Lösung des harmonischen Oszillators mit der Quantenzahl n.
Was genau soll also nachgewiesen werden?
>
> Mein Ansatz für die rechte Seite sieht folgendermaßen
> aus:
>
> [mm]h_{quer}w(aa^{T}+a^{T}a)=h_{quer}w(a^{T}a+\bruch{1}{2})[/mm]
>
> [mm][a,a^{T}]=1[/mm] dies sind die Leiteroperatoren
Welcher Teil ist denn bei dir der Ansatz, und welcher Rechnung? So wie du es hingeschrieben hast, kann es nicht stimmen, denn
[mm] aa^T=aa^T-a^Ta+a^Ta= [a,a^T]+a^Ta = 1 + a^Ta[/mm] ,
und nicht [mm] $a^{T}a+\bruch{1}{2}$, [/mm] wie du schreibst.
>
> Wie kann ich nun weiter rechnen?
Eine Möglichkeit wäre, die Orts- und Impulsoperator durch die Leiteroperatoren auszudrücken. Wenn du nun noch weisst, dass für den Grundzustand obige Gleichung mit n=0 gilt, kannst du die Fälle für $n>0$ durch Anwendung von [mm] $a^T$ [/mm] berechnen.
Viele Grüße
Rainer
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