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| Aufgabe | Wenn f analytisch ist, dann ist der Logarithmus vom Absolutwert, ln(|f|), harmonisch.
Bestimme eine harmonische Funktion [mm] \Phi [/mm] (z) , die die Eigenschaft hat das [mm] \Phi(|z|=1)=0 [/mm] ist, aber nicht identisch Null ist für alle Punkte |z|>0 |
Hallo :)
also der [mm] \Phi(z)\not=0 [/mm] für |z|>0
aber [mm] \Phi(1)=0 [/mm] wenn |z|<0 habe ich das richtig verstanden?
ich habe keine Idee wie ich richtig an diese Aufgabe heran gehen kann.
Ich hab erstmal allgemein geschaut wann eine Funktion harmonisch ist.
[mm] \Delta [/mm] f=0 ist die Bedingung für eine harmonische Funktion.
[mm] div(gradf)=\bruch{\partial^2f}{\partial x^2}+\bruch{\partial^2f}{\partial y^2}+\bruch{\partial^2f}{\partial z^2}=\Delta [/mm] f
Hat jemand von euch eine Idee für einen Lösungsansatz?
Vielen lieben Dank und ein schönes Wochenende wünsch ich euch :)
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Wenn f analytisch ist, dann ist der Logarithmus vom
> Absolutwert, ln(|f|), harmonisch.
> Bestimme eine harmonische Funktion [mm]\Phi[/mm] (z) , die die
> Eigenschaft hat das [mm]\Phi(|z|=1)=0[/mm] ist, aber nicht identisch
> Null ist für alle Punkte |z|>0
> Hallo :)
>
> also der [mm]\Phi(z)\not=0[/mm] für |z|>0
> aber [mm]\Phi(1)=0[/mm] wenn |z|<0 habe ich das richtig
> verstanden?
>
Nein. Versuche nochmal die geforderte Bedingung zu verstehen.
> ich habe keine Idee wie ich richtig an diese Aufgabe heran
> gehen kann.
> Ich hab erstmal allgemein geschaut wann eine Funktion
> harmonisch ist.
>
> [mm]\Delta[/mm] f=0 ist die Bedingung für eine harmonische
> Funktion.
>
> [mm]div(gradf)=\bruch{\partial^2f}{\partial x^2}+\bruch{\partial^2f}{\partial y^2}+\bruch{\partial^2f}{\partial z^2}=\Delta[/mm]
> f
>
> Hat jemand von euch eine Idee für einen Lösungsansatz?
Benutze doch das was in der Aufgabe gegeben ist, nämlich dass log(|f|) harmonisch ist, wenn f analytisch ist. Das steht da nicht umsonst da.
LG, Alex
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hallo, vielen lieben dank für deine hilfe :)
ich habe wirklich versucht die aufgabe zu verstehen...
[mm] \phi(z)\not=0 [/mm] für |z|=0 stimmt doch oder?
f ist analytisch wenn das Chauchy-riemann kriterium erfüllt ist.
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
aber wie komme ich von hier auf f?
liebe grüße und vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Die die Eigenschaft hat, dass [mm] \Phi(|z| [/mm] = 1) = 0 ist, aber nicht identisch Null ist für alle Punkte |z|>0.
[mm] "\Phi(|z|=1)=0" [/mm] bedeutet, dass für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z|=1 gelten soll: [mm] \Phi(z)=0.
[/mm]
"Nicht identisch Null für alle Punkte |z|>0" bedeutet, dass es einen Punkt [mm] z\in\IC [/mm] mit |z|>0 geben soll, so dass [mm] \Phi(z)\not=0 [/mm] ist.
(Diese Bedingung schließt die triviale Lösung [mm] "\Phi(z)=0 [/mm] für alle [mm] z\in\IC" [/mm] aus. Frage: Warum ist dies eine Lösung, falls wir obige Bedingung rauslassen?)
Ausserdem hast du in der Aufgabe ein Konstruktionsverfahren für harmonische Funktionen geliefert gekriegt, nämlich wenn f analytisch ist, dann ist log(|f|) harmonisch.
(Warum? Hast du das mal nachgerechnet, ob es denn überhaupt stimmt?)
Und das ist deswegen in der Aufgabe mit hingeschrieben worden, damit du es auch benutzt, d.h. deine Aufgabe ist es eine analytische Funktion f zu finden, so dass log(|f|) die beiden oben genannten Bedingungen erfüllt (du setzt dann also als Lösung [mm] \Phi:=log(|f|)).
[/mm]
Bis hierhin alles klar? Dann versuche so ein f zu finden. Tipp: Es gibt ein "einfaches" f, welches die Aufgabe löst. Du brauchst also nicht nach total komischen Funktionen suchen.
LG, Alex
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Hallo, vielen lieben Dank für deine Mühe und den wirklich ausführlichen Text :)
[mm] \phi(z)=0 [/mm] wäre eine Lösung weil dann auch die Anwendung des Laplace-Operators auf den log der Funktion Null wäre und damit die Funktion analytisch. oder?
Ausserdem hast du in der Aufgabe ein Konstruktionsverfahren für harmonische Funktionen geliefert gekriegt, nämlich wenn f analytisch ist, dann ist log(|f|) harmonisch.
(Warum? Hast du das mal nachgerechnet, ob es denn überhaupt stimmt?)
ja das stimmt.
ich habe f=x+iy genommen
cauchy-riemann ist erfüllt.
hab ln(|x+iy|) genommen und den laplace-operator gebildet und der ist Null, somit ists harmonisch.
aber ein f(z) habe ich immernoch nicht gefunden :(
danke für deine tolle hilfe und liebe grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 19.11.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Hallo ihr lieben,
ich bin bei der Aufgabe leider immernoch nicht weiter gekommen, vielleicht kann ja doch nochmal jemand danach gucken. Das wäre toll.
Vielen Dank, liebe Grüße und einen schönen Abend :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 19.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ihr lieben,
>
> ich bin bei der Aufgabe leider immernoch nicht weiter
> gekommen, vielleicht kann ja doch nochmal jemand danach
> gucken. Das wäre toll.
Wenn du es noch nicht getan hast. solltest du als erstes allgemein nachrechnen, dass für eine analytische Funktion f die Funktion [mm] $\ln|f|$ [/mm] harmonisch ist. Wenn ich dich richtig verstanden habe, hast du das hast du bisher nur für einen Spezialfall gemacht.
Also: sei $f(z)$ eine analytische Funktion. Nach Real- und Imaginärteil zerlegt ist
[mm] u+iv = f(x+iy) [/mm]
und es gelten die Cauchy-Riemannschen DGLen
[mm] u_x = v_y [/mm], [mm] u_y = -v_x [/mm].
(Daraus folgt sofort, dass $u$ und $v$ harmonische Funktionen sind, denn
[mm] u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0 [/mm],
analog für $v$.)
Jetzt betrachtest du die Funktion
[mm] \ln |f| = \ln \sqrt{u^2+v^2} [/mm],
die du über die Kettenregel zweimal nach $x$ bzw $y$ ableiten musst. Benutze dabei die Cauchy-Riemannschen DGLen, um die Ableitungen von $v$ durch die von $u$ zu ersetzen, und du wirst sehen, dass 0 herauskommt.
Im zweiten Schritt ist eine harmonische Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] gesucht mit der Eigenschaft, dass
(*) [mm] \Phi(z) = 0 [/mm] für alle $z$ mit $|z| [mm] =1\,$,
[/mm]
die aber nicht identisch mit 0 sein soll.
Es liegt doch nahe, dass du den ersten Teil der Aufgabe dazu benutzen sollst, du zweiten zu lösen, dass also die Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] die Form
[mm] \Phi(z) = \ln |f(z)| [/mm], $f$ analytisch,
haben soll. Wenn du diesen Ansatz machst, dann wird aus der Bedingung (*):
[mm] \ln |f(z)| = 0 \gdw |f(z)| = 1 [/mm] für alle $z$ mit $|z| [mm] =1\,$.
[/mm]
Wenn man nicht weiss, was man einsetzen soll, fängt man einfach an. Welches ist die einfachste analytische Funktion mit $|f(z)|=1$ für [mm] $|z|=1\,$, [/mm] die du dir vorstellen kannst?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
wie rechne ich denn allgemein nach das ln|f| harmonisch ist, für einen spezialfall ist es mir klar, da wende ich dann auch einfach Cauchy-Riemann an.
wenn ich es versuche komm ich nicht weit...
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
$ [mm] u_x [/mm] = [mm] v_y [/mm] $, $ [mm] u_y [/mm] = [mm] -v_x [/mm] $
ja, und nun kann ich nicht weiterrechnen, weil ich keine expliziten Werte für u und v habe.
Oder soll ich es nochmal für einen anderen Spezialfall prüfen?
okay, ich habe nun versucht mir einen einfach harmonische Funktion auszudenken für die gilt:
[mm] |z|=\wurzel{u^2+v^2}=1
[/mm]
auch hier habe ich ein Problem.
entweder muss u=0 sein oder v=0, damit der andere Wert dann 1 ergibt, anders kann ich mir keine Funktion vorstellen.
aber dann fällt ja entweder mein u(x,y) weg oder v(x,y), das ist falsch oder?
und bei der zweifachen Ableitungvon [mm] ln\wurzel{u^2+v^2} [/mm] würde dann alles wegfallen :(
kannst du mir sagen wo mein Fehler liegt? und mir noch einen Tipp geben?
Vielen, vielen lieben Dank und einen schönen Sonntag :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wie rechne ich denn allgemein nach das ln|f| harmonisch
> ist, für einen spezialfall ist es mir klar, da wende ich
> dann auch einfach Cauchy-Riemann an.
> wenn ich es versuche komm ich nicht weit...
Du lässt die $u$ und $v$ stehen, zum Beispiel:
[mm]\bruch{\partial}{\partial x} \ln\wurzel{u^2+v^2} = \bruch{1}{\wurzel{u^2+v^2}} \bruch{\partial}{\partial x}\wurzel{u^2+v^2} = \bruch{1}{\wurzel{u^2+v^2}} \bruch{u*u_x + v*v_x}{\wurzel{u^2+v^2}} = \bruch{u*u_x + v*v_x}{u^2+v^2} = \bruch{u*u_x - v*u_y}{u^2+v^2} [/mm]
Im letzten Schritt habe ich
[mm]u_x = v_y [/mm], [mm]u_y = -v_x[/mm]
angewandt.
Ebenso ist
[mm]\bruch{\partial}{\partial y} \ln\wurzel{u^2+v^2} = \bruch{1}{\wurzel{u^2+v^2}} \bruch{\partial}{\partial y}\wurzel{u^2+v^2} = \bruch{1}{\wurzel{u^2+v^2}} \bruch{u*u_y + v*v_y}{\wurzel{u^2+v^2}} = \bruch{u*u_y + v*v_y}{u^2+v^2} = \bruch{u*u_y + v*u_x}{u^2+v^2} [/mm].
Jetzt leitest du nochmal nach x bzw. y ab und addierst. Am Schluss muss 0 herauskommen.
> okay, ich habe nun versucht mir einen einfach harmonische Funktion auszudenken für die gilt: $ [mm] |z|=\wurzel{u^2+v^2}=1 [/mm] $
Da hast ud die Aufgabenstellung falsch verstanden. Das wäre ja eine FUnktion [mm] $\Phi$ [/mm] mit [mm] $\Phi(z)|=1$. [/mm] Für die Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] soll gelten, dass für alle $z$ vom Betrag 1 gilt: [mm] $\Phi(z)=0$.
[/mm]
Mit dem Ansatz $ [mm] \Phi(z) [/mm] = [mm] \ln [/mm] |f(z)| $ suchst du eine analytische Funktion $f$, für die gilt:
(*) [mm] |z| = 1 \implies |f(z)| = 1 [/mm]
Wenn du die hast, bildest du $ [mm] \Phi(z) [/mm] = [mm] \ln [/mm] |f(z)| $ und hast die Lösung der Aufgabe.
Also: wie könnte eine Funktion aussehen, die (*) erfüllt?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine tolle Hilfe :)
Ich habe noch nicht alles verstanden, aber ich fange einfach mal an :)
Ableiten kann ich ja :)
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \bruch{u\cdot{}u_x - v\cdot{}u_y}{u^2+v^2} [/mm]
[mm] \bruch{u_{xx}u_x*(u^2+v^2)-u_x*u(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}-\bruch{u_{xy}*u_x(u^2+v^2)-u_y*v(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} \bruch{u\cdot{}u_x - v\cdot{}u_y}{u^2+v^2} [/mm]
[mm] \bruch{u_{xy}u_y*(u^2+v^2)-u_x*u(u^2_y-v^2_y)}{(u^2+v^2)^2}-\bruch{u_{yy}*u_y(u^2+v^2)-u_y*v(u^2_y-v^2_y)}{(u^2+v^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} \ln\wurzel{u^2+v^2} [/mm] = [mm] \bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2} [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}\bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2} [/mm]
[mm] =\bruch{u_{xy}*u_x*(u^2+v^2)-u_y*u*(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}+\bruch{u_{xx}*v_x*(u^2+v^2)-u_x*v*(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}\bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2} [/mm]
[mm] =\bruch{u_{yy}*u_y*(u^2+v^2)-u_y*u*(u^2_y+v^2_y)}{(u^2+v^2)^2}+\bruch{u_{xy}*v_y*(u^2+v^2)-u_x*v*(u^2_y+v^2_y)}{(u^2+v^2)^2}
[/mm]
ist das soweit korrekt?
Hier ist immernoch mein Problem :(
Mit dem Ansatz $ [mm] \Phi(z) [/mm] = [mm] \ln [/mm] |f(z)| $ suchst du eine analytische Funktion $ f $, für die gilt:
(*) $ |z| = 1 [mm] \implies [/mm] |f(z)| = 1 $
ich finde einfach nichts :(
Kannst du mir nochmal, noch weiter helfen?
Vielen, vielen lieben Dank für deine Mühen :) Das ist echt toll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine tolle Hilfe :)
>
> Ich habe noch nicht alles verstanden, aber ich fange
> einfach mal an :)
>
> Ableiten kann ich ja :)
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} \bruch{u\cdot{}u_x - v\cdot{}u_y}{u^2+v^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{u_{xx}u_x*(u^2+v^2)-u_x*u(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}-\bruch{u_{xy}*u_x(u^2+v^2)-u_y*v(u^2_x+v^2_x)}{(u^2+v^2)^2}[/mm]
Nein: die zweite Ableitung nach x ist
[mm]\bruch{(u_{x}u_x+u*u_{xx})*(u^2+v^2)-u_x*u(2*u*u_x+2*v*v_x)}{(u^2+v^2)^2}-\bruch{(u_{y}*v_x+v*u_{xy})(u^2+v^2)-u_y*v(2*u*u_x+2*v*v_x)}{(u^2+v^2)^2}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} \bruch{u\cdot{}u_x - v\cdot{}u_y}{u^2+v^2}[/mm]
Die brauchst du nicht, denn du musst doch [mm] $\bruch{\partial^2}{\partial x^2}+\bruch{\partial^2}{\partial y^2}$ [/mm] aurechnen.
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} \ln\wurzel{u^2+v^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2}[/mm]
Die brauchst du auch nicht
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}\bruch{u\cdot{}u_y + v\cdot{}u_x}{u^2+v^2}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{u_{yy}*u_y*(u^2+v^2)-u_y*u*(u^2_y+v^2_y)}{(u^2+v^2)^2}+\bruch{u_{xy}*v_y*(u^2+v^2)-u_x*v*(2*u*u_y+2*v*v_y)}{(u^2+v^2)^2}[/mm]
>
Richtig:
[mm] = \bruch{(u_{y}*u_y+u*u_{yy})*(u^2+v^2)-u_y*u*(2*u*u_y+2*v*v_y)}{(u^2+v^2)^2}+\bruch{(u_{x}*v_y+v*u_{xy})*(u^2+v^2)-u_x*v*(2*u*u_y+2*v*v_y)}{(u^2+v^2)^2}[/mm]
>
>
> Hier ist immernoch mein Problem :(
>
>
> Mit dem Ansatz [mm]\Phi(z) = \ln |f(z)|[/mm] suchst du eine
> analytische Funktion [mm]f [/mm], für die gilt:
>
> (*) [mm]|z| = 1 \implies |f(z)| = 1[/mm]
>
> ich finde einfach nichts :(
>
> Kannst du mir nochmal, noch weiter helfen?
Na, die einfachste Funktion nach einer Konstanten ist $f(z)=z$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
Eine letzte Frage hab ich nun noch:
f(z)=z erfüllt nun die Bedinung der Aufgabe, ist das nun auch das Ergebnis?
Liebe Grüße und einen tollen Sonntag :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vielen lieben Dank für deine Hilfe :)
>
> Eine letzte Frage hab ich nun noch:
>
> f(z)=z erfüllt nun die Bedinung der Aufgabe, ist das nun
> auch das Ergebnis?
Ja, genauer gesagt [mm] $\Phi(z) [/mm] = [mm] \ln|z|$ [/mm] ist harmonisch, gleich 0 auf dem Rand des Einheitskreises $|z|=1$ und ungleich 0 überall sonst.
Viele Grüße
Rainer
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