Harmonische Funktionen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:26 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Eine (reellwertige) harmonische Funktion besitzt keine isolierten Nullstellen. (Eine Nullstelle heißt isoliert, falls es eine o ffene Umgebung von ihr gibt, in welcher es keine weiteren Nullstellen gibt.) |
Hey :)
meine kurze Idee wäre erstmal anzunehmen, es gäbe eine isolierte Nullstelle.
Nun brauche ich einfach ein Gegenbeispiel. Komm ich da mit den Min./Max.-Prinzip von Harmonischen Funktionen weiter? Oder brauche ich die Mittelwerteigenschaf?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Mo 28.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Eine (reellwertige) harmonische Funktion
> besitzt keine isolierten Nullstellen.
Edit: hier stand Unfug !
FRED
> (Eine Nullstelle
> heißt isoliert, falls es eine o ffene Umgebung von ihr
> gibt, in welcher es keine weiteren Nullstellen gibt.)
> Hey :)
>
> meine kurze Idee wäre erstmal anzunehmen, es gäbe eine
> isolierte Nullstelle.
>
> Nun brauche ich einfach ein Gegenbeispiel. Komm ich da mit
> den Min./Max.-Prinzip von Harmonischen Funktionen weiter?
> Oder brauche ich die Mittelwerteigenschaf?
>
> Liebe Grüße,
> Ana-Lena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Fred,
ich hab es gesehen. Soll ja beweisen, dass eine harmonische Funktion keine isolierte Nullstelle besitzt. :) Wie geht das bloß?
Dank dir für den Versuch. :)
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Zeigen Sie: Eine (reellwertige) harmonische Funktion
> besitzt keine isolierten Nullstellen. (Eine Nullstelle
> heißt isoliert, falls es eine o ffene Umgebung von ihr
> gibt, in welcher es keine weiteren Nullstellen gibt.)
> Hey :)
>
> meine kurze Idee wäre erstmal anzunehmen, es gäbe eine
> isolierte Nullstelle.
>
> Nun brauche ich einfach ein Gegenbeispiel. Komm ich da mit
> den Min./Max.-Prinzip von Harmonischen Funktionen weiter?
> Oder brauche ich die Mittelwerteigenschaf?
Ich würde es mit der Mittelwerteigenschaft probieren. Nimm also an, es gebe eine Nullstelle [mm] $x_0$, [/mm] und dass in einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] keine weitere Nullstelle liegt. Was sagt die Mittelwerteigenschaft?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Okay, du meinst [mm] $0=u(x_0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x_0))} [/mm] * [mm] \integral_{\partial K_r(x_0)} [/mm] u(y)*dS(y)$ (Sphärenversion)?
Ich hänge jetzt irgendwie. Wie mache ich denn weiter? Die Oberfläche einer Sphäre ist immer positiv?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> Okay, du meinst [mm]0=u(x_0) = \bruch{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x_0))} * \integral_{\partial K_r(x_0)} u(y)*dS(y)[/mm]
> (Sphärenversion)?
Das geht auch, obwohl ich an die Version mit dem Integral über das Kugelvolumne dachte.
> Ich hänge jetzt irgendwie. Wie mache ich denn weiter? Die
> Oberfläche einer Sphäre ist immer positiv?
Na, wenn u nur an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] den Wert 0 annimmt, Was kannst du dann über das Vorzeichen von u aussagen?
Anders gefragt: wenn u in dieser Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] positive und negative Werte annimmt, kann es dann nur eine Nullstelle geben?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
> Hallo Ana-Lena!
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> > Okay, du meinst [mm]0=u(x_0) = \bruch{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x_0))} * \integral_{\partial K_r(x_0)} u(y)*dS(y)[/mm]
> > (Sphärenversion)?
>
> Das geht auch, obwohl ich an die Version mit dem Integral
> über das Kugelvolumne dachte.
>
> > Ich hänge jetzt irgendwie. Wie mache ich denn weiter? Die
> > Oberfläche einer Sphäre ist immer positiv?
>
> Na, wenn u nur an der Stelle [mm]x_0[/mm] den Wert 0 annimmt, Was
> kannst du dann über das Vorzeichen von u aussagen?
>
> Anders gefragt: wenn u in dieser Umgebung von [mm]x_0[/mm] positive
> und negative Werte annimmt, kann es dann nur eine
> Nullstelle geben?
Ich kann mir das gar nicht so vorstellen... wenn es links nur negative und rechts nur positive Werte um [mm] $x_0$ [/mm] gibt, dann gibt es doch nur eine Nullstelle, aber das ist bei 2 Variablen wohl nicht möglich oder??
Also x+y+z um eine Nullstelle [mm] $x_0$: [/mm] Damit das Integral "0" bleibt, gibt es zu jedem positiven auch den entsprechenden negativen Wert... Dabei betrachten wir immer sowas wie Oberflächen oder Volumen, sodass es zu jeder Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) immer weitere Nullstellen gibt... Aber das reicht doch bestimmt nicht für einen Beweis.
Liebe Grüße
Ana-Lena
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Di 29.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Ana-Lena!
> > Hallo Ana-Lena!
> >
> > > Okay, du meinst [mm]0=u(x_0) = \bruch{1}{vol_{n-1}(\partial K_r(x_0))} * \integral_{\partial K_r(x_0)} u(y)*dS(y)[/mm]
> > > (Sphärenversion)?
> >
> > Das geht auch, obwohl ich an die Version mit dem Integral
> > über das Kugelvolumne dachte.
> >
> > > Ich hänge jetzt irgendwie. Wie mache ich denn weiter? Die
> > > Oberfläche einer Sphäre ist immer positiv?
> >
> > Na, wenn u nur an der Stelle [mm]x_0[/mm] den Wert 0 annimmt, Was
> > kannst du dann über das Vorzeichen von u aussagen?
> >
> > Anders gefragt: wenn u in dieser Umgebung von [mm]x_0[/mm] positive
> > und negative Werte annimmt, kann es dann nur eine
> > Nullstelle geben?
> Ich kann mir das gar nicht so vorstellen... wenn es links
> nur negative und rechts nur positive Werte um [mm]x_0[/mm] gibt,
> dann gibt es doch nur eine Nullstelle, aber das ist bei 2
> Variablen wohl nicht möglich oder??
Ja, das Argument funktioniert nur bei Funktionen einer Variablen.
>
> Also x+y+z um eine Nullstelle [mm]x_0[/mm]: Damit das Integral "0"
> bleibt, gibt es zu jedem positiven auch den entsprechenden
> negativen Wert... Dabei betrachten wir immer sowas wie
> Oberflächen oder Volumen, sodass es zu jeder Nullstelle
> (Schnittpunkt mit der x-Achse) immer weitere Nullstellen
> gibt... Aber das reicht doch bestimmt nicht für einen
> Beweis.
Du musst es nur ausformulieren. Angenommen, es gibt positive und negative Werte, dann muss es dazwischen Nullstellen geben. Genau das musst du richtig formulieren. Nimm dir doch mal einen positiven und einen negativen Wert und schau dir die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten an.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Eine (reellwertige) harmonische Funktion
> besitzt keine isolierten Nullstellen. (Eine Nullstelle
> heißt isoliert, falls es eine o ffene Umgebung von ihr
> gibt, in welcher es keine weiteren Nullstellen gibt.)
> Hey :)
>
> meine kurze Idee wäre erstmal anzunehmen, es gäbe eine
> isolierte Nullstelle.
>
> Nun brauche ich einfach ein Gegenbeispiel.
nur mal rein logisch: Du brauchst kein Gegenbeispiel, sondern Du versuchst, einen Widerspruch (-sbeweis) zu kontruieren!
Gruß,
Marcel
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Hiho,
um freds Kommentar aufzugreifen: Die Aufgabe ist so gestellt trotzdem falsch.
$f(x) = 2x$ ist harmonisch, besitzt aber eine isolierte Nullstelle.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Ich dachte auch, dass $f(x) = x$ harmonisch ist und auch eine isolierte Nullstelle besitzt. Für nicht-negative Funktionen wäre es auch einfach, da laut Mittelwertsatz das Volumen einer Kugel nicht negativ und jedes $u(y) [mm] \ge [/mm] 0$, muss $u(y)$ in der Kugelumgebung überall $0$ sein, damit das Integral $0$ wird. Kann man das verstehen?
Komische Aufgabe. Danke für den super Hinweis.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 28.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich dachte auch, dass [mm]f(x) = x[/mm] harmonisch ist und auch eine
> isolierte Nullstelle besitzt.
Ich denke, es sind nur Funktionen von 2 oder mehr Variablen gemeint. Sonst wäre das in der Tat falsch.
Viele Grüße
Rainer
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