Harmonische Schwingung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie lautet die harmonische Schwingungsgleichung für eine Feder mit den gegebenen Größen: Federkonstante D; Masse m; Anfangsauslenkung s; Anfangsgeschwindigkeit v |
Hallo Leute,
Aus der Gleichung für die harmonische Schwingung habe ich zu obigen Angaben bisher hergeleitet:
s(t)=v*t+s*sin(sqrt(D/m)*t+?)
Strecke(Zeit)=Anfangsgeschwindigkeit*Zeit+Anfangsauslenkung*sin(Wurzel(D/m)*Zeit+ Phasenverschiebung)
Habe ich die Gleichung soweit richtig aufgestellt?
Die Phasenverschiebung müßte doch die Anfangsauslenkung berücksichtigen. Ich nehme an +Pi/2. Aber ohne Faktor ist diese konstant, was nicht sein kann. Außerdem kann die Feder ja auch angehoben werden. Dann kann die Anfangsauslenkung nicht die Amplitude sein.
Es wäre nett, wenn mir jemand bei der Gleichung hilft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mi 22.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wie lautet die harmonische Schwingungsgleichung für eine
> Feder mit den gegebenen Größen: Federkonstante D; Masse
> m; Anfangsauslenkung s; Anfangsgeschwindigkeit v
> Hallo Leute,
>
> Aus der Gleichung für die harmonische Schwingung habe ich
> zu obigen Angaben bisher hergeleitet:
>
> s(t)=v*t+s*sin(sqrt(D/m)*t+?)
Das ist leider zum Teil falsch.. die Masse schwingt ja nur um ihre Ruhelage, die legt man als s=0 fest. der Term v*t ist falsch, dan würde sie ja im Lauf der eit immer weiter von 0 wegkommen.,
wenn da sin steht ist die Anfangsauslenkung 0 und nicht s, also muss statt sin da cos stehen.
vielleicht solltest du auch für die Anfangsauslenkung [mm] s_0 [/mm] schreiben, statt s
>
> Strecke(Zeit)=Anfangsgeschwindigkeit*Zeit+Anfangsauslenkung*sin(Wurzel(D/m)*Zeit+
> Phasenverschiebung)
>
> Habe ich die Gleichung soweit richtig aufgestellt?
>
> Die Phasenverschiebung müßte doch die Anfangsauslenkung
> berücksichtigen. Ich nehme an +Pi/2. Aber ohne Faktor ist
> diese konstant, was nicht sein kann. Außerdem kann die
> Feder ja auch angehoben werden. Dann kann die
> Anfangsauslenkung nicht die Amplitude sein.
>
Wenn man von Anfangsauslenkung spricht, meint man NUR Auslenkung, bei t=0 und v(0)=0 also ist das die Amplitude. du kannst statt [mm] cos(\sqrt{D/m}*t) [/mm] natürlich auch [mm] sin(\sqrt{D/m}*t+\pi/2) [/mm] schreiben. aber später ist einfacher mit cos zu rechnen.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 22.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Im Wesentlichen stimme ich Leduart zu. Da aber im Aufgabentext Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsauslenkung stehen, müssen auch beide in der Formel vorkommen. Nun musst Du aber sauber trennen:
Die Anfangsgeschwindigkeit kommt nicht direkt in $s(t)$ vor.
Also:
- stelle die allgemeine Funktion $s(t)$ auf, mit beliebiger Amplitude und Phase,
- leite diese Funktion nach der Zeit ab, damit hast Du $v(t)$,
- schreibe $s(0)$ und $v(0)$ auf,
- dann hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
aus diesen kannst Du Amplitude und Phase bestimmen.
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Dem Rat von leduart folgend habe ich zunächst v*t rausgenommen. Ist auch klar. Die Auslenkung verlängert sich ja nicht im Zeitablauf.
Dann habe ich Dem Rat von chrisno folgend für
s(t)=$ [mm] s_0 [/mm] $*$ [mm] cos(\sqrt{D/m}\cdot{}t) [/mm] $
und für
s'(t)=v(t)=-$ [mm] \sqrt{D/m}\ [/mm] $*$ [mm] s_0 [/mm] $*$ [mm] sin(\sqrt{D/m}\cdot{}t) [/mm] $
Daraus folgt für
s(0)=$ [mm] s_0 [/mm] $
und für
v(0)=0
Das bringt mich leider nicht weiter :(
Ich brauche DIE Gleichung s(t)=... mit allen angeführten Komponenten.
Wenn ich zwei Gleichungen mit zwei unbekannten habe kann ich die eine in die andere einsetzen. Ich müßte dann je einen gesuchten Wert außen vor lassen. Wenn ich v(t) als Anfangsgeschwindigkeit sehe stelle ich nach $ [mm] s_0 [/mm] $ frei und substituiere $ [mm] s_0 [/mm] $ in s(t).
Im Prinzip habe ich dann zwei unterschiedeliche s(t) Formeln. Eine mit der Anfangsgeschwindigkeit ohne Anfangsauslenkung und eine mit Anfangsauslenkung ohne Anfangsgeschwindigkeit. Ist das die Lösung?
Grüße einstudent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 22.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Dem Rat von leduart folgend habe ich zunächst v*t
> rausgenommen. Ist auch klar. Die Auslenkung verlängert
> sich ja nicht im Zeitablauf.
>
> Dann habe ich Dem Rat von chrisno folgend für
>
> s(t)=[mm] s_0 [/mm]*[mm] cos(\sqrt{D/m}\cdot{}t)[/mm]
Die Wahl [mm] $s_0$ [/mm] für die Amplitude ist ungünstig, da [mm] $s_0$ [/mm] normalerweise für $s(0)$ steht. Das ist in diesem Fall nicht gleich. Da der Schwinger eine Anfangsgeschwindigkeit hat, hat er nicht die maximale Auslenkung. Weiterhin hast Du nicht eine Phase eingefügt.
$s(t)= [mm] s_{max} \cos(\sqrt{D/m}\cdot [/mm] t + [mm] \phi)$
[/mm]
Nun leite ab.
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Danke für Deinen Hinweis chrisno.
Nach Ableiten, Einsetzen von 0 und Termumformung erhalte ich
$ s(t)= [mm] s_{max} \cos(\sqrt{D/m}\cdot [/mm] t + [mm] \phi) [/mm] $
$ v(t)= - [mm] \sqrt{D/m}\ s_{max} \sin(\sqrt{D/m}\cdot [/mm] t + [mm] \phi) [/mm] $
$ s(0)= [mm] s_{max} \cos(\phi) [/mm] $
$ v(0)= - [mm] \sqrt{D/m}\ s_{max} \sin(\phi) [/mm] $
$ [mm] sin(\phi)= [/mm] v(0)/( - [mm] \sqrt{D/m}\ s_{max}) [/mm] $
$ [mm] \phi= [/mm] arcsin(v(0)/( - [mm] \sqrt{D/m}\ s_{max})) [/mm] $
$ s(t)= [mm] s_{max} \cos(\sqrt{D/m}\cdot [/mm] t + arcsin(v(0)/( - [mm] \sqrt{D/m}\ s_{max}))) [/mm] $
Die Lösung sieht schon ziemlich einfach aus.
Es wäre mir lieb, wenn Du nochmal drüber schaust.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Do 23.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst noch s_max=A aus v(0) und s(0) bestimmen. [mm] \omega=\sqrt{D/m}
[/mm]
aus [mm] v(0)=-A\omega*sin(\phi)
[/mm]
und [mm] s(0)=Acos(\phi)
[/mm]
ist besser [mm] tan(\phi) [/mm] zu bestimmen mit arctan dann A
einfacher ist es, wenn [mm] s(0)\ne [/mm] 0 UND [mm] v(0)\ne [/mm] 0
der Anstz [mm] s(t)=Asin(\omega*t) +Bcos(\omega*t)
[/mm]
damit sind A und B leicht zu bestimmen. wenn man will kann man dann noch in [mm] C*sin(\omega*t+\phi) [/mm] umformen.
Gruß leduart
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Hi leduart
ich dachte mir schon, dass ich was mit der Amplitude falsch gemacht habe.
> aus [mm]v(0)=-A\omega*sin(\phi)[/mm]
> und [mm]s(0)=Acos(\phi)[/mm]
Wenn ich nach A umforme erhalte ich A= [mm]v(0)/(\omega*sin(\phi))[/mm] richtig?
> ist besser [mm]tan(\phi)[/mm] zu bestimmen mit arctan dann A
Die Umstellung kann ich nicht ganz nachvollziehen. sin/cos=tan und dann?
> der Anstz [mm]s(t)=Asin(\omega*t) +Bcos(\omega*t)[/mm]
> damit sind
> A und B leicht zu bestimmen. wenn man will kann man dann
Wie errechne ich hier das B?
> noch in [mm]C*sin(\omega*t+\phi)[/mm] umformen.
Wie?
> Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 23.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
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>
> > aus [mm]v(0)=-A\omega*sin(\phi)[/mm]
> > und [mm]s(0)=Acos(\phi)[/mm]
> Wenn ich nach A umforme erhalte ich A=
> [mm]v(0)/(\omega*sin(\phi))[/mm] richtig?
>
ja
> > ist besser [mm]tan(\phi)[/mm] zu bestimmen mit arctan dann A
> Die Umstellung kann ich nicht ganz nachvollziehen.
> sin/cos=tan und dann?
[mm] tan\phi=v(0)/(s(0)*\omega
[/mm]
>
> > der Anstz [mm]s(t)=Asin(\omega*t) +Bcos(\omega*t)[/mm]
> > damit
> sind
> > A und B leicht zu bestimmen. wenn man will kann man dann
> Wie errechne ich hier das B?
s(0)=B> durch einsetzen von t=0
>
> > noch in [mm]C*sin(\omega*t+\phi)[/mm] umformen.
> Wie?
[mm] C^2=A^2+B^2
[/mm]
[mm] tan\phi=B/A
[/mm]
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So, jetzt nochmal zusammengefaßt:
$ s(t)= A \cos(\omega\cdot t + \phi) $
$ v(t)= - \omega\ A \sin(\omega}\cdot t + \phi) $
$ s(0)= A \cos(\phi) $
$ v(0)= - \omega\ A \sin(\phi) $
$ A= s(0)/(\cos(\phi)) $
oder
$ A= v(0)/(- \omega\ \sin(\phi)) $
$ v(0)/s(0)= -\omega\ \tan(\phi) $
$ -v(0)/(s(0)\omega)= \tan(\phi) $
$ arctan(-v(0)/(s(0)\omega))= \phi $
Ist das soweit ok?
> > > der Anstz [mm]s(t)=Asin(\omega*t) +Bcos(\omega*t)[/mm]
Wie kommst Du auf diesen Ansatz?
> > > noch in [mm]C*sin(\omega*t+\phi)[/mm] umformen.
Wenn ich die Wurzel ziehe habe ich C.
Warum nimmst Du hier [mm]C*sin[/mm] und nicht z.B. [mm]C*cos[/mm]
Grüße einstudent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ob man sin oder cos nimmt um eine Schwingung zu beschreiben ist egal, es unterscheidet sich nur durch die Phase un [mm] \pi/2
[/mm]
die Summe von Acosx+Bsinx ist wieder ein sin (oder cos, nur phasenveschoben.
(zerlege [mm] sin(x+\phi) [/mm] mit dem Additionstheorem
3. die Dgl
x''=-D*x hat die 2 Lösungen [mm] A*sin(\sqrt{D/m})*t) [/mm] und [mm] B*cos(\sqrt{D/m})*t)
[/mm]
damit auch die Summe als Lösung.
4. Deine Lösung ist soweit ok
Gruß leduart
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> (zerlege [mm]sin(x+\phi)[/mm] mit dem Additionstheorem
[mm]sin(x+\phi)= sin(x)*cos(\phi)+cos(x)*sin(\phi)[/mm]
Mit [mm]x= \omega*t[/mm] und [mm]\phi= arctan(-v(0)/s(0)*\omega)[/mm] oder?
Den Sinn der Umformung habe ich nicht ganz verstanden.
> 3. die Dgl
> x''=-D*x hat die 2 Lösungen [mm]A*sin(\sqrt{D/m})*t)[/mm] und
> [mm]B*cos(\sqrt{D/m})*t)[/mm]
> damit auch die Summe als Lösung.
Für was steht das x in der Dgl.? Gilt hier auch [mm]x= \omega*t[/mm]? Und eine Dgl. zweiter Ordnung brauchen wir doch nur wenn die Beschleunigung eine Rolle spielt. Die kann man sicher grundsätzlich mit einbeziehen. Worin liegt der Nutzen diesen Weg zu gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 05.02.2014 | | Autor: | chrisno |
> > (zerlege [mm]sin(x+\phi)[/mm] mit dem Additionstheorem
>
> [mm]sin(x+\phi)= sin(x)*cos(\phi)+cos(x)*sin(\phi)[/mm]
> Mit [mm]x= \omega*t[/mm]
> und [mm]\phi= arctan(-v(0)/s(0)*\omega)[/mm] oder?
> Den Sinn der Umformung habe ich nicht ganz verstanden.
[mm]\phi= arctan(-v(0)/s(0)*\omega)[/mm] ist eine Konstante.
Dann sind [mm] $\cos(\phi)$ [/mm] und [mm] $\sin(\phi)$ [/mm] auch Konstanten. Nennen wir diese A und B. Dann steht da $A * [mm] \sin(x) [/mm] + B * [mm] \cos(x)$
[/mm]
>
>
> > 3. die Dgl
> > x''=-D*x hat die 2 Lösungen [mm]A*sin(\sqrt{D/m})*t)[/mm] und
> > [mm]B*cos(\sqrt{D/m})*t)[/mm]
> > damit auch die Summe als Lösung.
> Für was steht das x in der Dgl.?
x ist die Auslenkung aus der Ruhelage.
> Gilt hier auch [mm]x= \omega*t[/mm]?
ja
> Und eine Dgl. zweiter Ordnung brauchen wir doch nur wenn
> die Beschleunigung eine Rolle spielt. Die kann man sicher
> grundsätzlich mit einbeziehen. Worin liegt der Nutzen
> diesen Weg zu gehen?
Dies ist die Differentialgleichung, die gelöst werden muss, um die Bewegung zu beschreiben. Dabei ist diese spezielle Ortsabhängigkeit der Beschleunigung entscheidend für das Entstehen einer harmonischen Schwingung.
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