Harshad Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Mo 12.09.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
Wie kann man beweisen, dass es bei ALLEN dreistelligen Zahlen (100-999) keine größere Lücke, als 18 gibt, wo keine Harshad oder Niven Zahlen anzutreffen sind. Beispiel: 576-558=18
Harshad Zahlen sind Zahlen, die durch ihre Quersumme teilbar sind. Auch 111 ist so eine dreistellige Zahl. Egal, wo man anfängt, nach 18 weiteren Zahlen gibt es midestens eine Harshad Zahl.
Viele Grüße
Ferma
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> Hallo,
> Wie kann man beweisen, dass es bei ALLEN dreistelligen
> Zahlen (100-999) keine größere Lücke, als 18 gibt, wo
> keine Harshad oder Niven Zahlen anzutreffen sind. Beispiel:
> 576-558=18
> Harshad Zahlen sind Zahlen, die durch ihre Quersumme
> teilbar sind. Auch 111 ist so eine dreistellige Zahl. Egal,
> wo man anfängt, nach 18 weiteren Zahlen gibt es midestens
> eine Harshad Zahl.
> Viele Grüße
> Ferma
Hallo Ferma,
du könntest einmal annehmen, [mm] x=abc_{10} [/mm] sei eine dreistellige
Harshad-Zahl. Ausgeschrieben heißt dies:
$\ x\ =\ [mm] 100\,a+10\,b+c\ [/mm] =\ k*(a+b+c)$
Dabei stellen a, b und c die Ziffern der Zahl x dar und k
ist das (ganzzahlige) Ergebnis der Division von x durch
die Quersumme. Mit dieser Bezeichnungsweise kannst
du dann auch die 18 auf x folgenden Zahlen darstellen und
so möglicherweise der Sache auf die Spur kommen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 13.09.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo Al,
ich komme so leider nicht weiter. Bei den Zahlen der Form 222,333,777 kann man es einfach beweisen. Doch zwischen denen ist ein Abstand von 111...
VG Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Al,
> ich komme so leider nicht weiter. Bei den Zahlen der Form
> 222,333,777 kann man es einfach beweisen. Doch zwischen
> denen ist ein Abstand von 111...
> VG Ferma
Hallo,
Jede neunte Zahl ist durch 9 teilbar. Dann ist auch ihre Quersumme durch 9 teilbar. Dreistellige und durch 9 teilbare Zahlen haben entweder die Quersumme 9 oder 18 oder 27.
Nur die 999 hat die Quersumme 27 und ist auch durch 27 teilbar.
Ist die Quersumme 9, so ist die durch 9 teilbare Zahl durch ihre Quersumme teilbar.
Ist die Quersumme 18, so ist die durch 9 teilbare Zahl nur dann auch durch 18 teilbar, wenn sie selbst gerade ist. Hier musst du jetzt im Sinne deiner Aufgabe genau hinschauen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 15.09.2011 | | Autor: | Ferma |
Hallo Abakus,
der Ansatz war relevant. Danke!
Ferma
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