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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Merle2 |
| Aufgabe | Führe die Hauptachsentrsf. für die symmetrische Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
durch. Bestimme dazu:
a) Eigenwerte
b) Eigenvektoren
c) eine orthogonale Matrix B derart, dass B^-1 * A * B
eine Diagonalmatrix ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zunächst das charakteristische Polynom zu
[mm] -x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 9x - 11
berechnet und anschließend durch Polynomdiv. und PQ-Formel die Nullstellen
[mm] x_1 [/mm] = 1; [mm] x_2 [/mm] = 1 + [mm] \wurzel{12} [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{12} [/mm] herausbekommen.
Danach habe ich, um den ersten EV zu berechnen, [mm] x_1 [/mm] = 1 in die Matrix eingesetzt und die Matrix durch das Gauss-Verfahren auf explizite Zeilenstufenform gebracht und so für den ersten Eigenvektor [mm] V_1 [/mm] = [mm] \IR [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
herausbekommen.
Wenn ich das gleiche für den zweiten und dritten EW versuche, bekomme ich aber, nachdem ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht habe, für [mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = 0 und [mm] x_3 [/mm] = 0
heraus und deshalb würde ich dann den EV in beiden Fällen als Nullvektor schreiben.
Um eine orthogonale Matrix B derart zu bestimmen, dass
B^-1 * A * B
eine Diagonalmatrix ist, würde ich dann die EV auf die Länge 1 bringen
(also z.B. [mm] V_1 [/mm] mit 1/2 multiplizieren), aus den EV dann die Matrix B bilden und anschließend die Inverse berechnen. Aber durch die Nullvektoren, die ich für [mm] V_2 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] herausbekommen habe, geht das leider nicht.
Da bei beiden Matrizen zu den EW
[mm] x_2 [/mm] = 1 + [mm] \wurzel{12} [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{12} [/mm]
für [mm] x_1 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = 0 und [mm] X_3 [/mm] = 0 herauskommt, habe ich mir überlegt, die Eigenvektoren vielleicht anstatt der Nullvektoren als
[mm] \IR [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
zu schreiben, da ja [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] X_3 [/mm] ist. Allerdings bringt mich das auch nicht weiter, da ich ja eigentlich drei linear unabhängige Vektoren benötige, um die Matrix B aufzustellen und die Inverse zu berechnen. Und eigentlich müssten die EV ja auch lin. unabhängig sein, da die EW verschieden sind...
Habe ich mich irgendwo verrechnet, oder muss ich die Aufgabe ganz anders lösen?
Danke für eine Antwort ;)
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Hallo,
> Führe die Hauptachsentrsf. für die symmetrische Matrix
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> durch. Bestimme dazu:
> a) Eigenwerte
> b) Eigenvektoren
> c) eine orthogonale Matrix B derart, dass B^-1 * A * B
> eine Diagonalmatrix ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe zunächst das charakteristische Polynom zu
> [mm]-x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 9x - 11
> berechnet und anschließend durch Polynomdiv. und PQ-Formel
> die Nullstellen
> [mm]x_1[/mm] = 1; [mm]x_2[/mm] = 1 + [mm]\wurzel{12}[/mm] und [mm]x_3[/mm] = 1 - [mm]\wurzel{12}[/mm]
> herausbekommen.
> Danach habe ich, um den ersten EV zu berechnen, [mm]x_1[/mm] = 1 in
> die Matrix eingesetzt und die Matrix durch das
> Gauss-Verfahren auf explizite Zeilenstufenform gebracht und
> so für den ersten Eigenvektor [mm]V_1[/mm] = [mm]\IR[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> herausbekommen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Hört sich richtig an!
> Wenn ich das gleiche für den zweiten und dritten EW
> versuche, bekomme ich aber, nachdem ich die Matrix auf
> Zeilenstufenform gebracht habe, für [mm]x_1[/mm] = 0, [mm]x_2[/mm] = 0 und
> [mm]x_3[/mm] = 0
> heraus und deshalb würde ich dann den EV in beiden Fällen
> als Nullvektor schreiben.
Hier stimmt definitiv etwas nicht! Der Nullvektor ist kein gültiger EV, denn er ist 'EV' zu jedem EW.... Also entweder stimmt deine beiden EWe nicht oder du hast dich bei der matrixumformung verrechnet. Die Matrix MUSS singulär sein, dh. mehr als den Nullvektor als Lösung besitzen!
Gruß
Matthias
> Um eine orthogonale Matrix B derart zu bestimmen, dass
> B^-1 * A * B
> eine Diagonalmatrix ist, würde ich dann die EV auf die
> Länge 1 bringen
> (also z.B. [mm]V_1[/mm] mit 1/2 multiplizieren), aus den EV dann
> die Matrix B bilden und anschließend die Inverse berechnen.
> Aber durch die Nullvektoren, die ich für [mm]V_2[/mm] und [mm]V_3[/mm]
> herausbekommen habe, geht das leider nicht.
> Da bei beiden Matrizen zu den EW
> [mm]x_2[/mm] = 1 + [mm]\wurzel{12}[/mm] und [mm]x_3[/mm] = 1 - [mm]\wurzel{12}[/mm]
> für [mm]x_1[/mm] = 0, [mm]x_2[/mm] = 0 und [mm]X_3[/mm] = 0 herauskommt, habe ich mir
> überlegt, die Eigenvektoren vielleicht anstatt der
> Nullvektoren als
> [mm]\IR[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> zu
> schreiben, da ja [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]X_3[/mm] ist. Allerdings bringt
> mich das auch nicht weiter, da ich ja eigentlich drei
> linear unabhängige Vektoren benötige, um die Matrix B
> aufzustellen und die Inverse zu berechnen. Und eigentlich
> müssten die EV ja auch lin. unabhängig sein, da die EW
> verschieden sind...
> Habe ich mich irgendwo verrechnet, oder muss ich die
> Aufgabe ganz anders lösen?
> Danke für eine Antwort ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 17.12.2006 | | Autor: | Merle2 |
Danke erstmal.
Ich habe das ganze noch mal durchgerechnet, bekomme aber leider immer wieder das gleiche (falsche) Ergebnis raus. Die Nullstellen müssten eigentlich stimmen, zumindest nach Taschenrechnerüberprüfung. Dann allerdings fängt das Problem mit dem EV zum EW
[mm] V_2 [/mm] = 1 + [mm] \wurzel{12}
[/mm]
an. Zu diesem EW erhalte ich die Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
2 - (1 + \wurzel{12}) & 1 & 2 \\
1 & 2 - (1 + \wurzel{12}) & 2 \\
2 & 2 & -1 - (1 + \wurzel{12})
\end{pmatrix}
[/mm]
Etwas vereinfacht dann:
[mm] \begin{pmatrix}
1- \wurzel{12} & 1 & 2 \\
1 & 1- \wurzel{12} & 2 \\
2 & 2 & -2- \wurzel{12}
\end{pmatrix}
[/mm]
Und wenn ich diese Matrix nach Gauss umforme, bekomme ich am Ende die Einheitsmatrix
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
heraus mit [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 ...
Das kann ja nicht stimmen ;( Aber ich finde meinen Fehler einfach nicht...
Wie soll man denn auf eine andere Lsg. für die Matrix zu [mm] V_2 [/mm] kommen?
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Hallo Merle,
> Danke erstmal.
> Ich habe das ganze noch mal durchgerechnet, bekomme aber
> leider immer wieder das gleiche (falsche) Ergebnis raus.
> Die Nullstellen müssten eigentlich stimmen, zumindest nach
> Taschenrechnerüberprüfung.
yep, sagt MATLAB auch.
>Dann allerdings fängt das
> Problem mit dem EV zum EW
> [mm]V_2[/mm] = 1 + [mm]\wurzel{12}[/mm]
> an. Zu diesem EW erhalte ich die Matrix
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 - (1 + \wurzel{12}) & 1 & 2 \\
1 & 2 - (1 + \wurzel{12}) & 2 \\
2 & 2 & -1 - (1 + \wurzel{12})
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Etwas vereinfacht dann:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1- \wurzel{12} & 1 & 2 \\
1 & 1- \wurzel{12} & 2 \\
2 & 2 & -2- \wurzel{12}
\end{pmatrix}[/mm]
>
soweit richtig.
> Und wenn ich diese Matrix nach Gauss umforme, bekomme ich
> am Ende die Einheitsmatrix
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> heraus mit [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0 ...
> Das kann ja nicht stimmen ;( Aber ich finde meinen Fehler
> einfach nicht...
Mensch Merle, jetzt habe ich auf meine alten Tage nochmal eine Gauss-Elimination durchgeführt, bei mir kommts richtig raus! Also bleistift gespitzt und nochmal gerechnet! 
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 02.01.2007 | | Autor: | Merle2 |
Vielen Dank!!!
;)
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