Hauptideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei I Ideal in [mm] \IZ [/mm] [X] . Nehme an, dass es ein normiertes Polynom f [mm] \in [/mm] I gibt, so dass für alle nichtnulle h [mm] \in [/mm] I [mm] deg(f)\le [/mm] deg(h). Zeige, dass I ein Hauptideal ist. |
Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe, aber ich dachte mir, dass man durch das f, welches ja in I liegt, die anderen Polynome h erzeugen kann, denn [mm] deg(f)\le [/mm] deg(h) bedeutet doch praktisch, dass der Grad von f kleiner gleich dem Grad von h ist, somit kann man h doch als als Vielfache bzw. Linearkombination von f darstellen, oder? Also wenn jetzt zum Beispiel [mm] f=X^2 [/mm] und [mm] g=X^4 [/mm] dann kann man ja schreiben [mm] g=X^4=X^{2*2}=f^2
[/mm]
Vielen Dank,
euer <3-Blatt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 16.11.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei I Ideal in [mm]\IZ[/mm] [X] . Nehme an, dass es ein normiertes
> Polynom f [mm]\in[/mm] I gibt, so dass für alle nichtnulle h [mm]\in[/mm] I
> [mm]deg(f)\le[/mm] deg(h). Zeige, dass I ein Hauptideal ist.
> Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe, aber
> ich dachte mir, dass man durch das f, welches ja in I
> liegt, die anderen Polynome h erzeugen kann, denn
> [mm]deg(f)\le[/mm] deg(h) bedeutet doch praktisch, dass der Grad von
> f kleiner gleich dem Grad von h ist,
...praktisch richtig..
> somit kann man h doch
> als als Vielfache bzw. Linearkombination von f darstellen,
> oder?
Nein.
> Also wenn jetzt zum Beispiel [mm]f=X^2[/mm] und [mm]g=X^4[/mm] dann
> kann man ja schreiben [mm]g=X^4=X^{2*2}=f^2[/mm]
>
Richtig, aber was ist, wenn [mm] $g=X^{4}+1$ [/mm] ist? Du musst etwas geschickter vorgehen. Mein Tip ist, dass Du Dir einen Beweis für die Tatsache, dass in $K[X]$ für einen Körper $K$ Division mit Rest möglich ist und wie daraus geschlussfolgert wurde, dass $K[X]$ ein Hauptidealring ist. Das sollte sich nämlich auf Deine Situation ganz gut übertragen lassen.
>
> Vielen Dank,
> euer <3-Blatt
|
|
|
| |
|
> > Sei I Ideal in [mm]\IZ[/mm] [X] . Nehme an, dass es ein normiertes
> > Polynom f [mm]\in[/mm] I gibt, so dass für alle nichtnulle h [mm]\in[/mm] I
> > [mm]deg(f)\le[/mm] deg(h). Zeige, dass I ein Hauptideal ist.
> > Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe,
> aber
> > ich dachte mir, dass man durch das f, welches ja in I
> > liegt, die anderen Polynome h erzeugen kann, denn
> > [mm]deg(f)\le[/mm] deg(h) bedeutet doch praktisch, dass der Grad von
> > f kleiner gleich dem Grad von h ist,
> ...praktisch richtig..
> > somit kann man h doch
> > als als Vielfache bzw. Linearkombination von f darstellen,
> > oder?
> Nein.
>
> > Also wenn jetzt zum Beispiel [mm]f=X^2[/mm] und [mm]g=X^4[/mm] dann
> > kann man ja schreiben [mm]g=X^4=X^{2*2}=f^2[/mm]
> >
> Richtig, aber was ist, wenn [mm]g=X^{4}+1[/mm] ist? Du musst etwas
> geschickter vorgehen. Mein Tip ist, dass Du Dir einen
> Beweis für die Tatsache, dass in [mm]K[X][/mm] für einen Körper [mm]K[/mm]
> Division mit Rest möglich ist und wie daraus
> geschlussfolgert wurde, dass [mm]K[X][/mm] ein Hauptidealring ist.
> Das sollte sich nämlich auf Deine Situation ganz gut
> übertragen lassen.
Danke schonmal!
Ich habe mir jetzt den Wikipedia Beweis für die Division mit Rest durchgelesen (https://de.wikiversity.org/wiki/Polynome/K%C3%B6rper/Division_mit_Rest/Textabschnitt) wurde daraus aber nicht unbedingt schlauer, wie man daraus jetzt gefolgert hat, dass es sich bei [mm]K[X][/mm] um einen Hauptideal handelt.
Hauptideal ist ja definiert, dass es ein x [mm] \in [/mm] A gibt, sodass [mm] I=A*x=\{ax|a\in A\}
[/mm]
Das müsste doch dann auf unser BEispiel übertragen heißen, dass wir für unser [mm]\IZ[X][/mm] ein f finden, sodass I=f*h. Von f wissen wir, dass es normiert ist. Ich habe in dem Zusammenhang auch noch was von irreduziblen Polynomen mit Leitkoeffizient 1 gelesen. Wäre das hier unser f?
Also ich müsste ja dann zeigen, damit I ein Hauptideal ist, dass so ein A existiert....und das A wäre meiner MEinung nach f... jetzt bin ich ganz verwirrt :S
Ich würde mich freuen, wenn du mir noch weiter helfen könntest 
> >
> > Vielen Dank,
> > euer <3-Blatt
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 17.11.2016 | | Autor: | hippias |
Mein Tip: Wenn Wikipedia nicht ausreicht, dann gehst Du einfach in die Bibliothek und leihst Dir dort irgendein Buch mit "Einführung" und "Algebra" im Titel aus. Darin wirst Du zweifellos die Informationen finden, die ich meine.
Deine Frage hinsichtlich Irreduzibilität kann ich mich einer Gegenfrage beantworten: Ist $f$ irreduzibel vorausgesetzt oder folgt aus einer Voraussetzung die Irreduzibilität?
Ich werde Dir die Aufgabe nicht lösen: Null Eigenleistung, null Punkte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Fr 18.11.2016 | | Autor: | hippias |
Ich würde mir trotzdem schon einmal überlegen wie der Beweis für die Existenz der Division mit Rest auf Deine Situation übertragen werden kann. Ein Unterschied zwischen einem Körper und [mm] $\IZ$ [/mm] ist ja, dass man im Körper sicher Inverse bilden kann. Doch dies benötigst Du gar nicht...
|
|
|
|
