Hauptidealring < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Di 12.06.2007 | | Autor: | kittie |
Hallo zusammen,
Habe zwei kurze Fragen:
1. Wenn R ein Hauptidealring ist, hat dann jeder R-Modul eine Basis?
2. Ist jeder Körper ein Hauptidealring?
Kenne nur die folgene Definition vom Hauptidealring, kann mir damit die beider Fragen nicht beantworten:
Man nennt R einen Hauptidealring, wenn jedes Ideal von einem Element erzeugt wird, d.h. für jedes [mm] I\subseteq [/mm] R gibt es ein f [mm] \in [/mm] I mit I=(f)={rf;r [mm] \in [/mm] R}.
weiß nicht so recht wie ich von dieser definition auf die beiden Fragen schlüsse ziehen kann!
Hoffe jemand kann mir unter die Arme greifen!!
Vielen dank!!
liebe grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Di 12.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Kittie
> Habe zwei kurze Fragen:
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> 1. Wenn R ein Hauptidealring ist, hat dann jeder R-Modul
> eine Basis?
Nein: Etwa ist $R = K[x]$ (wobei $K$ ein Koerper ist) ein Hauptidealring, jedoch ist [mm] $K[x]/(x^2)$ [/mm] ein $R$-Modul, der nicht frei ist (also keine Basis hat). (Dies folgt schon daraus, dass [mm] $\dim_K [/mm] R = [mm] \infty$ [/mm] ist und $0 < [mm] \dim_K K[x]/(x^2) [/mm] = 2 < [mm] \infty$.)
[/mm]
> 2. Ist jeder Körper ein Hauptidealring?
Ja: das Nullideal ist $(0)$, und der ganze Ring ist $(1). Also sind die einzigen beiden Ideale Hauptideale.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Mi 13.06.2007 | | Autor: | kittie |
>> > 1. Wenn R ein Hauptidealring ist, hat dann jeder R-Modul
> > eine Basis?
>
> Nein: Etwa ist [mm]R = K[x][/mm] (wobei [mm]K[/mm] ein Koerper ist) ein
> Hauptidealring, jedoch ist [mm]K[x]/(x^2)[/mm] ein [mm]R[/mm]-Modul, der
> nicht frei ist (also keine Basis hat). (Dies folgt schon
> daraus, dass [mm]\dim_K R = \infty[/mm] ist und [mm]0 < \dim_K K[x]/(x^2) = 2 < \infty[/mm].)
Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Kann mir die Menge [mm] K[x]/(x^2)[/mm] [/mm] ein [mm]R[/mm]-Modul nicht so ganz vorstellen wie die aussieht und warum diese keine Basis hat. Kannst du nochmal helfen?
> > 2. Ist jeder Körper ein Hauptidealring?
>
> Ja: das Nullideal ist $(0)$, und der ganze Ring ist $(1).
> Also sind die einzigen beiden Ideale Hauptideale.
>
Das verstehe ich...
viele Grüße, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 13.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Kittie!
> >> > 1. Wenn R ein Hauptidealring ist, hat dann jeder
> R-Modul
> > > eine Basis?
> >
> > Nein: Etwa ist [mm]R = K[x][/mm] (wobei [mm]K[/mm] ein Koerper ist) ein
> > Hauptidealring, jedoch ist [mm]K[x]/(x^2)[/mm] ein [mm]R[/mm]-Modul, der
> > nicht frei ist (also keine Basis hat). (Dies folgt schon
> > daraus, dass [mm]\dim_K R = \infty[/mm] ist und [mm]0 < \dim_K K[x]/(x^2) = 2 < \infty[/mm].)
>
> Das habe ich noch nicht ganz verstanden. Kann mir die Menge
> [mm]K[x]/(x^2)[/mm][/mm] ein [mm]R[/mm]-Modul nicht so ganz vorstellen wie die
> aussieht und warum diese keine Basis hat. Kannst du nochmal
> helfen?
Es geht noch etwas einfacher, aber nach dem gleichen Prinzip:
Als HIR nimmst du [mm] \IZ [/mm] und als Modul [mm] \IZ/2\IZ, [/mm] also die Restklassen modulo 2. (Das sind [mm] \overline{0} [/mm] und [mm] \overline{1}.) [/mm] Die Operation ist natürlich
[mm] r*\overline{s} [/mm] := [mm] \overline{rs}. [/mm] Dieser Modul hat ein Erzeugendensystem der Länge 1, nämlich [mm] \overline{1}, [/mm] aber er ist nicht frei.
In Felix' Beispiel bilden [mm] \overline{1} [/mm] und [mm] \overline{x} [/mm] ein Erzeugendensystem. Bei der Restklassenbildung bleiben von einem Polynom nur das lineare und das absolute Glied übrig. Terme vom Grad [mm] \ge [/mm] 2 gehen auf [mm] \overline{0}.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:02 Mi 13.06.2007 | | Autor: | kittie |
Hallo Dieter, vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden!
Habe nu noch eine Frage: Warum ist [mm] \IR[X] [/mm] der Polynomring mit Koeeffizienten in [mm] \IR [/mm] ein Hauptidealring, der [mm] \IZ[X], [/mm] mit koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] jedoch kein Hauptidealring?
das verstehe ich noch nicht.
viele Grüße,
die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 13.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi Kittie!
> Hallo Dieter, vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden!
Na prima!
> Habe nu noch eine Frage: Warum ist [mm]\IR[X][/mm] der Polynomring
> mit Koeffizienten in [mm]\IR[/mm] ein Hauptidealring, der [mm]\IZ[X][/mm]
> mit Koeffizienten in [mm]\IZ[/mm] jedoch kein Hauptidealring?
[mm]\IR[X][/mm] ist ein HIR, weil es einen euklidischen Algorithmus gibt, der über den Grad des Polynoms funktioniert. In jedem Ideal [mm] \not= [/mm] {0}
gibt es ein Polynom kleinsten Grades, und das ist erzeugendes Element.
In [mm]\IZ[X][/mm] bräuchte man ein Gegenbeispiel, geht das von 2 und X erzeugte Ideal? Das wären doch alle Polynome mit geradem absoluten Term.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 15.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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