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| Aufgabe | Wir wollen die Aussage aus der Vorlesung prüfen, dass [mm]\IZ[X][/mm] und [mm]\C[X, Y ][/mm]
keine HauptidealRinge sind.
a) Zeigen Sie direkt, dass [mm](2,X) \trianglelefteq \IZ[X][/mm] und [mm](X, Y )\trianglelefteq \IC[X, Y ][/mm] keine Hauptideale
sind.
b) Ist R ein HauptidealRing und [mm]p_0 \subseteq p_1 \subseteq p_2[/mm] eine aufsteigende Kette von Primidealen,
dann muss in mindestens einen der beiden Fällen Gleichheit herrschen.
c) Dagegen gibt es in Z[X] und C[X, Y ] solche Ketten, die echt aufsteigend
sind. |
Was ihc mir überlegt habe.
a) Ist (2,X) ein HIR, dann ist (2,X)=(M) mit M=ggT(2,X). M kann nur 1 sein (ohne Begründung, fällt mir nicht ein) [mm] $(2,X)\supseteq [/mm] (1)$. Aber ich muss doch zeigen [mm] $(1)\not\supset [/mm] (2,X)$. D.h. ich suche ein Element in (2,X) das nicht in (1) liegt. Raten fällt mir da schwer.
b) In einem HIR (Hauptidealring) ist jedes Primideal ein Maximales Ideal. Reicht das?
c) keinen blassen Schimmer.
Weiß jemand Rat? Ob das geschriebene stimmt und was ich in c) anstellen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Fr 19.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir wollen die Aussage aus der Vorlesung prüfen, dass
> [mm]\IZ[X][/mm] und [mm]\C[X, Y ][/mm]
> keine HauptidealRinge sind.
> a) Zeigen Sie direkt, dass [mm](2,X) \trianglelefteq \IZ[X][/mm]
> und [mm](X, Y )\trianglelefteq \IC[X, Y ][/mm] keine Hauptideale
> sind.
> b) Ist R ein HauptidealRing und [mm]p_0 \subseteq p_1 \subseteq p_2[/mm]
> eine aufsteigende Kette von Primidealen,
> dann muss in mindestens einen der beiden Fällen
> Gleichheit herrschen.
> c) Dagegen gibt es in Z[X] und C[X, Y ] solche Ketten, die
> echt aufsteigend
> sind.
>
>
> Was ihc mir überlegt habe.
> a) Ist (2,X) ein HIR,
Du meinst HI, nicht HIR.
> dann ist (2,X)=(M) mit M=ggT(2,X). M
> kann nur 1 sein (ohne Begründung, fällt mir nicht ein)
Rechne es doch einfach nach?
> [mm](2,X)\supseteq (1)[/mm]. Aber ich muss doch zeigen
> [mm](1)\not\supset (2,X)[/mm]. D.h. ich suche ein Element in (2,X)
> das nicht in (1) liegt. Raten fällt mir da schwer.
Falsch. Du suchst ein Element, welches in $(1)$ liegt, aber nicht in $(2, X)$. Etwa $1$.
Mach es doch etwas logischer. Angenommen, $(2, X) = (f)$ fuer ein $f [mm] \in \IZ[X]$. [/mm] Dann ist $2 = f [mm] \cdot g_1$ [/mm] und $X = f [mm] \cdot g_2$ [/mm] mit [mm] $g_1, g_2 \in \IZ[X]$. [/mm] Du kannst folgern [mm] $\deg [/mm] f = 0$, dass der Leitkoeffizient von $f$ eine Einheit ist, und somit $f [mm] \in \IZ^\ast$. [/mm] Daraus folgt $(f) = [mm] \IZ[X]$.
[/mm]
Jetzt musst du zeigen, dass $(2, X) [mm] \neq \IZ[X]$ [/mm] ist, etwa indem du $1 = 2 [mm] \cdot f_1 [/mm] + X [mm] \cdot f_2$ [/mm] schreibst mit [mm] $f_1, f_2 \in \IZ[X]$ [/mm] und zeigst, dass dies einen Widerspruch gibt. (Zeige, dass der konstante Term von [mm] $f_1$ [/mm] in [mm] $\IQ \setminus \IZ$ [/mm] sein muss.)
In [mm] $\IC[X,Y]$ [/mm] gehst du so ziemlich genauso vor.
> b) In einem HIR (Hauptidealring) ist jedes Primideal ein
> Maximales Ideal. Reicht das?
Es ist falsch. Das Null-Ideal ist genau dann ein maximales Ideal, wenn der HIR ein Koerper ist.
Wenn du die Behauptung richtig formulierst, kannst du damit aber sehr wohl b) beweisen.
> c) keinen blassen Schimmer.
Was fuer Primideale kennst du denn in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] bzw. [mm] $\IC[X,Y]$? [/mm] Tipp: die Ideale aus a) sind welche.
LG Felix
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> Mach es doch etwas logischer. Angenommen, [mm](2, X) = (f)[/mm] fuer
> ein [mm]f \in \IZ[X][/mm]. Dann ist [mm]2 = f \cdot g_1[/mm] und [mm]X = f \cdot g_2[/mm]
> mit [mm]g_1, g_2 \in \IZ[X][/mm]. Du kannst folgern [mm]\deg f = 0[/mm], dass
grad(f)+grad(g1)=0 =>grad(f)=0 (geht das so?)
graf(f)+grad(g2)=1
> der Leitkoeffizient von [mm]f[/mm] eine Einheit ist, und somit [mm]f \in \IZ^\ast[/mm].
Das Ideal von Einheiten ist der ganze Ring? Das war noch nicht bewusst.
> Daraus folgt [mm](f) = \IZ[X][/mm].
>
> Jetzt musst du zeigen, dass [mm](2, X) \neq \IZ[X][/mm] ist, etwa
> indem du [mm]1 = 2 \cdot f_1 + X \cdot f_2[/mm] schreibst mit [mm]f_1, f_2 \in \IZ[X][/mm]
> und zeigst, dass dies einen Widerspruch gibt. (Zeige, dass
> der konstante Term von [mm]f_1[/mm] in [mm]\IQ \setminus \IZ[/mm] sein
> muss.)
So etwa:
[mm] $f_1=\frac{1-x*f_2}{2}$???
[/mm]
>
>
> In [mm]\IC[X,Y][/mm] gehst du so ziemlich genauso vor.
Annahme [mm] $(f)=\IC$. [/mm] Dann X = f*a und Y =f*g
grad(X)=1=grad(f)+grad(a)
grad(Y)=1=grad(f)+grad(b)
Hier kann ich nichst schlussfolgern. Oder? Denn f kann Grad 0 oder 1 haben.
noch zu zeigen [mm] $(X,Y)\neq \IC[X,Y]$ [/mm] Mit (X,Y) kann ich doch keine 2 oder 3 oder 4 erzeugen.
>
> > b) In einem HIR (Hauptidealring) ist jedes Primideal ein
> > Maximales Ideal. Reicht das?
>
> Es ist falsch. Das Null-Ideal ist genau dann ein maximales
> Ideal, wenn der HIR ein Koerper ist.
Den Satz hatten wir. Muss ich da jetzt eine Fallunterscheidung machen?
>
> Wenn du die Behauptung richtig formulierst, kannst du damit
> aber sehr wohl b) beweisen.
>
> > c) keinen blassen Schimmer.
>
> Was fuer Primideale kennst du denn in [mm]\IZ[X][/mm] bzw. [mm]\IC[X,Y][/mm]?
> Tipp: die Ideale aus a) sind welche.
Das sind dann wohl [mm] $(2,X)\subset(1)\subset (1,X)\subset \IZ[X]$
[/mm]
Was mache ich jetzt damit
>
> LG Felix
>
Erst einmal großen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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