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Forum "Maßtheorie" - Hauptsatz Lebesgue-Integral
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Hauptsatz Lebesgue-Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mi 11.05.2011
Autor: jay91

Aufgabe
die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei Lebesgue-integrierbar und stetig in [mm] x_0 \in \IR. [/mm]
zu zeigen:
die Funktion: [mm] F:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm]  
[mm] F(x)=\integral_{(-\infty,x]}{f(t) \lambda(dt)} [/mm]
ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar und es gilt: [mm] F'(x_o) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm]

die ist genau der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
meine idee ist jetzt, zu zeigen, dass diese Funktion auch Riemann integrierbar ist.
denn dann müsste die Behauptung folgen.
nur ist diese Funktion Riemann integrierbar? Wann ist eine Lebesgue integrierbare Funktion überhaupt Riemann integrierbar?
Ich kenne nur Kriterien andersherum.

Oder führt meine Idee nicht zum Ergebnis und es muss anders gehen?
Wenn ja, wie?

        
Bezug
Hauptsatz Lebesgue-Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mi 11.05.2011
Autor: Blech

Hi,

> meine idee ist jetzt, zu zeigen, dass diese Funktion auch Riemann integrierbar ist.

muß nicht sein. Offensichtlich nicht auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] aber noch nichtmal in irgendeiner Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm]

Nimm das übliche Bsp. [mm] $1_{\IQ}$ [/mm] und ändere es zu [mm] $x^2 1_{\IQ}(x)$ [/mm] mit [mm] $x_0=0$. [/mm]


Es geht leichter. Setz einfach mal F(x) in die Definition der Ableitung ein. Wegen der Stetigkeit kann man [mm] $\int_x^{x+h} [/mm] f\ [mm] d\lambda$ [/mm] nach oben und unten abschätzen.

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Hauptsatz Lebesgue-Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:02 So 22.05.2011
Autor: jay91

ok, hat geklappt.

Bezug
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