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| Aufgabe | Beweise:
Hauptvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_{1} [/mm] , ..., [mm] \lambda_{m} [/mm] eines Endomorphismus F: V [mm] \to [/mm] V sind linear unabhängig.
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Hallo!
Ich versuche mir gerade den Satz über die Hauptraumzerlegung zu erarbeiten und bin dabei auf die Frage gestoßen, ob Hauptvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind. Habe dazu auch einen Beweis gefunden und möchte mal wissen ob ich ihn richtig verstanden habe.
Seien also [mm] \lambda_{1} [/mm] , ..., [mm] \lambda_{m} [/mm] die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F und [mm] x_{1} [/mm] , ... , [mm] x_{m} [/mm] (alle [mm] \not= [/mm] 0 ) zugehörige Hauptvektoren aus den entsprechenden Haupträumen
Ker (F - [mm] \lambda_{i}id_{V})^{s_{i}}. [/mm] Es ist Ker (F - [mm] \lambda_{i}id_{V})^{s_{i}}= [/mm] Ker (F - [mm] \lambda_{i}id_{V})^{s_{i}+n} [/mm] für alle natürlichen Zahlen.
Angenommen [mm] x_{1} [/mm] , ... , [mm] x_{m} [/mm] seien linear abhängig, dann wäre [mm] x_{m} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m-1} a_{i} [/mm] [mm] x_{i} [/mm] mit mindestens einem Skalar [mm] a_{i}\not=0. [/mm] Es würde folgen
(F - [mm] \lambda_{m}id_{V})^{s_{m}}( [/mm] [mm] x_{m} [/mm] ) [mm] =\summe_{i=1}^{m-1} a_{i}(F [/mm] - [mm] \lambda_{m}id_{V})^{s_{m}}( [/mm] [mm] x_{i} [/mm] ) = 0 und für
[mm] y_{i} [/mm] := (F - [mm] \lambda_{m}id_{V})^{s_{m}}( [/mm] [mm] x_{i} [/mm] ) (i = 1, ..., m-1) würde gelten:
a) [mm] y_{i} [/mm] ist wieder Hauptvektor zu [mm] \lambda_{i}, [/mm] da [mm] x_{i} [/mm] invariant unter F ist und damit auch unter
(F - [mm] \lambda_{m}id_{V})^{s_{m}}.
[/mm]
b) [mm] y_{i} [/mm] [mm] \not= [/mm] 0 , denn [mm] y_{i} [/mm] = 0 hätte zur Folge, dass [mm] x_{i} [/mm] sowohl im Hauptraum zu [mm] \lambda_{i} [/mm] liegen würde (nach Voraussetzung) als auch im Hauptraum zu [mm] \lambda_{m}. [/mm] Damit läge
[mm] x_{i} [/mm] im Durchschnitt beider Haupträume und wäre demnach der Nullvektor, was von vornherein ausgeschlossen war.
[mm] y_{1} [/mm] , ..., [mm] y_{m-1} [/mm] sind also Hauptvektoren zu den Eigenwerten [mm] \lambda_{1} [/mm] , ..., [mm] \lambda_{m-1} [/mm] und wegen
[mm] \summe_{i=1}^{m-1} a_{i} [/mm] [mm] y_{i} [/mm] = 0 linear abhängig, da ja mindestens ein [mm] a_{i}\not=0 [/mm] war. Also hat man nun m-1 linear abhängige Hauptvektoren zu m-1 paarweise verschiedenen Eigenwerten. Verfährt man so weiter, stößt man nach höchstens m-2 Schritten auf eine Gleichung mit zwei linear abhängigen Hauptvektoren [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] zu den Eigenwerten [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] mit 0 = [mm] \gamma_{1} [/mm] [mm] z_{1} [/mm] + [mm] \gamma_{2} [/mm] [mm] z_{2} [/mm] , wo mindestens einer der beiden Skalare [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2} [/mm] von 0 verschieden ist. Das führt dann letztlich zum Widerspruch, da im Fall, dass beide Skalare ungleich 0 sind, die beiden Hauptvektoren Vielfache voneinander sind und somit im gleichen Hauptraum liegen. Das geht nicht, da der Durchschnitt zweier Haupträume nur den Nullvektor enthält (das setze ich als bewiesen voraus). Im Fall, dass nur einer der beiden Skalare (z. B. [mm] \gamma_{1}) [/mm] von 0 verschieden ist, steht dort 0 = [mm] \gamma_{1} [/mm] [mm] z_{1} [/mm] , was wegen [mm] z_{1} [/mm] [mm] \not= [/mm] 0 unmöglich ist.
Stimmt das so? wäre froh wenn jemand sich das mal anschauen könnte =)
VG,
Christof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 20.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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