Hausdorff-Maß, Rot.paraboloid < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei
P := { [mm] (x,y,x^2+y^2) [/mm] , (x,y) [mm] \in B^2 [/mm] }
Berechnen Sie [mm] \mathcal{H}^2 [/mm] (P)
( [mm] B^2 [/mm] Einheitskreisscheibe im [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] \mathcal{H} [/mm] Hausdorffmaß) |
Huhu zusammen!
Leider hab ich nicht viele Beispiele zu solchen Hausdorff Berechnungen gefunden (wohl kein beliebtes Thema ..)
Graphisch gesehen betrachtet man einen Paraboloiden, der ungefähr aussieht wie eine Schüssel oder ein quadratisches papier, dessen Ecken man ein wenig nach oben hebt.
Als Abbildung stelle ich mir vor:
f(x,y) [mm] \mapsto (x,y,x^2+y^2) [/mm] , wobei (x,y) ein Vektor aus der Einheitskugel im [mm] R^2 [/mm] , also die Scheibe. Also eine Art [mm] \IR^2 \to \IR^3.
[/mm]
Also eine 2- dimensionale Fläche im [mm] \IR^3 [/mm] sozusagen. (Würde man anstatt f(x,y) f(x,y,z) nehmen wäre die ganze Angelegenheit wohl 0, da die Jabomatrix eine NullSpalte hätte und die Determinante 0)
Weiter gilt nach meinem Skirpt, was evtl helfen kann:
[mm] \lambda^n [/mm] ( [mm] B^n) [/mm] = [mm] \mathcal{H}^{n-1} (S^{n-1}) [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{r^{n-1} dr}
[/mm]
wobei hier S Sphären bezeichnet.
(z.b. wäre hier da (x,y) [mm] \in B^2 [/mm] : [mm] \lambda^2(B^2) [/mm] = [mm] \pi [/mm] => 2 * [mm] \pi [/mm] = [mm] \mathcal{H} (S^1)
[/mm]
zu guter Letzt die Definition aus meinem Skript:
[mm] \mathcal{H} [/mm] (P) = Vol (P) = [mm] \integral_{M} \chi_{P} [/mm] (x) d [mm] \mathcal{H} [/mm] x,
, falls [mm] \chi_{P} [/mm] integriert werden kann, P [mm] \subseteq [/mm] M
Ist nicht allzu viel Input bis jetzt tut mir leid, aber mir fehlt jeglicher Ansatz hier :(
Lieben Gruß,
Eve
|
|
| |
|
Hiho,
> Als Abbildung stelle ich mir vor:
> f(x,y) [mm]\mapsto (x,y,x^2+y^2)[/mm] , wobei (x,y) ein Vektor
> aus der Einheitskugel im [mm]R^2[/mm] , also die Scheibe. Also eine
> Art [mm]\IR^2 \to \IR^3.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bliebe noch zu zeigen, dass f injektiv und differenzierbar ist und dann verwende
$ [mm] \mathcal{H}^2(P) [/mm] = [mm] \integral_{\IR^2} \sqrt{(Df)^T(DF)}d\lambda^2$
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Hiho,
>
> > Als Abbildung stelle ich mir vor:
> > f(x,y) [mm]\mapsto (x,y,x^2+y^2)[/mm] , wobei (x,y) ein Vektor
> > aus der Einheitskugel im [mm]R^2[/mm] , also die Scheibe. Also eine
> > Art [mm]\IR^2 \to \IR^3.[/mm]
>
>
> Bliebe noch zu zeigen, dass f injektiv und differenzierbar
> ist und dann verwende
>
> [mm]\mathcal{H}^2(P) = \integral_{\IR^2} \sqrt{(Df)^T(DF)}d\lambda^2[/mm]
>
> Gruß,
> Gono.
Hey^^
cool das sieht ja gar nicht so schwer aus. mit DF ist die Determinante der Jacobimatrix gemeint?
Dann wäre ja:
[mm] J_f [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y }
[/mm]
und
[mm] J_f^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & 2y }
[/mm]
und das Produkt
[mm] \pmat{ 1+4x^2 & 4xy \\ 4xy & 1+4y^2 }
[/mm]
Davon die Determinante? die wäre
[mm] 4x^2 +4y^2 [/mm] +1
=
Dann noch die Wurzel davon ok.
Kann ich dann den Term
[mm] (4x^2 +4y^2 [/mm] +1)^(1/2)
in den Integralgrenzen [mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{-1}^{1} [/mm] dx dy integrieren? Das müsste doch hinkommen mit den Grenzen oder?
|
|
|
| |
|
Hallo EvelynSnowley2311,
> > Hiho,
> >
> > > Als Abbildung stelle ich mir vor:
> > > f(x,y) [mm]\mapsto (x,y,x^2+y^2)[/mm] , wobei (x,y) ein
> Vektor
> > > aus der Einheitskugel im [mm]R^2[/mm] , also die Scheibe. Also eine
> > > Art [mm]\IR^2 \to \IR^3.[/mm]
> >
> >
> > Bliebe noch zu zeigen, dass f injektiv und
> differenzierbar
> > ist und dann verwende
> >
> > [mm]\mathcal{H}^2(P) = \integral_{\IR^2} \sqrt{(Df)^T(DF)}d\lambda^2[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Gono.
>
>
> Hey^^
>
> cool das sieht ja gar nicht so schwer aus. mit DF ist die
> Determinante der Jacobimatrix gemeint?
>
Ja.
>
> Dann wäre ja:
>
>
> [mm]J_f[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2x & 2y }[/mm]
> und
> [mm]J_f^{t}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & 2y }[/mm]
>
> und das Produkt
>
> [mm]\pmat{ 1+4x^2 & 4xy \\ 4xy & 1+4y^2 }[/mm]
>
> Davon die Determinante? die wäre
>
> [mm]4x^2 +4y^2[/mm] +1
>
> =
>
> Dann noch die Wurzel davon ok.
>
> Kann ich dann den Term
>
> [mm](4x^2 +4y^2[/mm] +1)^(1/2)
>
> in den Integralgrenzen [mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{-1}^{1}[/mm]
> dx dy integrieren? Das müsste doch hinkommen mit den
> Grenzen oder?
Die Integralgrenzen sind doch durch die Einheitskreisscheibe gegeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Alles klar dann nehme ich polarkoordinaten !
Dann geht das eine von 0 bis 2 [mm] \pi [/mm] und das andere von 0 bis 1
Vielen lieben Daank :)
|
|
|
|
