Heb. Lücke in (x^3-1)/(x^2-1) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 08.04.2008 | | Autor: | x2-cube |
Hallo miteinander,
wie kann die hebbare Lücke in der Funktion [mm] f(x)=\bruch{(x^3-1)}{(x^2-1)} [/mm] durch eine Zusatzdefinition geschlossen werden? Ich komme nicht auf die gekürzte Funktion.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo x2-cube und erst einmal ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Die Funktion hat ja die Definitionslücken [mm] $x=\pm [/mm] 1$
Dies sind potentielle Polstellen.
Faktorisiere mal Zähler und Nenner, wenn die/eine Nullstelle/n des Nenners auch im Zähler auftreten, kannst du sie wegkürzen und somit "die Lücke heben":
[mm] $\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x^2+x+1)\cdot{}\blue{(x-1)}}{(x+1)\cdot{}\blue{(x-1)}}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$
[/mm]
Was passiert hier für [mm] $x\to [/mm] 1$ ?
Der Bruch strebt gegen ...., also kannst du mit der Definition
$f(1):=...$ die Funktion in $x=1$ stetig fortsetzen bzw. "die Lücke heben"
Kannst du das auch bei $x=-1$ machen ? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht ?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 08.04.2008 | | Autor: | x2-cube |
Hi schachuzipus und danke für die Begrüßung!
Polstellen und hebbare Lücken sind mir klar.
Aber wie hast Du so einfach die Funktion "faktorisiert"? Das ist nämlich mein Problem (Wie bekomme ich in diesem Fall den Zähler so umgewandelt, dass ich kürzen kann? Das "sehe" ich einfach nicht).
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Hallo x2-cube,
> Hi schachuzipus und danke für die Begrüßung!
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> Polstellen und hebbare Lücken sind mir klar.
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> Aber wie hast Du so einfach die Funktion "faktorisiert"?
> Das ist nämlich mein Problem (Wie bekomme ich in diesem
> Fall den Zähler so umgewandelt, dass ich kürzen kann? Das
> "sehe" ich einfach nicht).
Es ist unschwer zu erkennen, daß [mm]x=1[/mm] eine Nullstelle von [mm]x^{3}-1[/mm] als auch von [mm]x^{2}-1[/mm] ist.
Folglich dessen kann man beide Polynome faktorisieren:
[mm]x^{3}-1 = \left(x-1)*\left(x^{2}+x+1\right)[/mm]
[mm]x^{2}-1 = \left(x-1)*\left(x+1\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Di 08.04.2008 | | Autor: | x2-cube |
OK, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo x2-cube!
Wenn Du weißt, dass z.B. [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ eine Nullstelle eines Polynoms (hier [mm] $x^3-1$ [/mm] ) ist, kannst Du eine  Polynomdivision durchführen, die dann auch auf jeden Fall aufgeht:
[mm] $$\left(x^3-1\right) [/mm] \ : \ (x-1) \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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