Herleitung Arcusfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 31.12.2006 | | Autor: | flogger |
Hallo ich habe ein Problem damit die genau Herleitung der Arcusfunktionen als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen darzustellen.
Mir ist klar dass zB arcsin(x) die Umkehrfunktion von sin(x) ist, nur wie man darauf kommt ist mir momenat völlig unklar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Sinunsfunktion bildet das Intervall [mm] [-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] [/mm] bijektiv auf [-1,1] ab.
Daher kann man eine Umkehrfunktion u: [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] definieren durch u(x):=y mit sin(y)=x.
Diese Umkehrfunktion u nennt man Arcussinusfunktion.
Wichtig ist die Einschränkung der Sinunsfunktion auf das Intervall [mm] [-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}], [/mm] weil man so die Bijektivität hat. Nur so sichert man, daß die Funktion u wohldefiniert ist, daß dem x in eindeutiger Weise ein y zugeordnet werden kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 31.12.2006 | | Autor: | flogger |
das war mir schon klar. Das wird ja auch klar auf Wikipedia erklärt.
das Problem das ich habe ist allerdings dass ich die Umkehrfunktionen also arcus-Funktionen schritt für schritt herleiten möchte
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> das Problem das ich habe ist allerdings dass ich die
> Umkehrfunktionen also arcus-Funktionen schritt für schritt
> herleiten möchte
Ich weiß anscheinend nicht, was Du mit "herleiten" meinst.
Die Arcusfunktionen sind doch einfach die Umkehrfunktionen, und die Hauptarbeit ist die, daß man, falls die Ausgangsfunktion nicht bijektiv ist, sich ein sinnvolles Intervall auswählt, um die Existenz der Umkehrfunktion zu sichern.
Oder möchtest Du über die Existenz hinaus bestimmte Eigenschaften z.B. der Arcussinusfunktion nachweisen?
Gruß v. Angela
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Hallo flogger!
> das war mir schon klar. Das wird ja auch klar auf Wikipedia
> erklärt.
> das Problem das ich habe ist allerdings dass ich die
> Umkehrfunktionen also arcus-Funktionen schritt für schritt
> herleiten möchte
Ich glaube, ich verstehe, was du meinst: du willst so etwas, wie bei [mm] y=x^2 [/mm] zuerst x und y vertauschen und dann nach y auflösen: [mm] x=y^2 \gdw \wurzel{x}=y. [/mm] Aber das geht bei den Arcusfunktionen nicht näher, weil halt einfach die Umkehrfunktion genau der Arcus ist. Man kann es nicht näher auflösen, die Funktion hat eben einfach genau die Eigenschaft, dass [mm] \sin(y)=x. [/mm] Und das Ganze nennt man dann halt einfach arcussin, genau wie man das bei dem Parabelbeispiel einfach Wurzel genannt hat und mit [mm] \wurzel [/mm] bezeichnet.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Mo 01.01.2007 | | Autor: | flogger |
Danke für die Hilfe Bastiane genau das war meine Frage.
Hatte mir fast scho so was gedacht aber danke nochmals für die Bestätigung
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> Die Sinunsfunktion bildet das Intervall $ [mm] [-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] [/mm] $ bijektiv auf [-1,1] ab.
>
> Daher kann man eine Umkehrfunktion u: [-1,1] $ [mm] \to \IR [/mm] $ definieren durch u(x):=y mit sin(y)=x.
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Hab' dazu ne generelle Frage, weil ich das jetzt schön öfter gesehen hab'.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wenn bei }\sin [/mm] x \ [mm] \left[-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right]\text{ auf }\left[-1;1\right]\text{ abbildet, dann muss}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{ mann doch bei der Vorschrift für die Umkehrfunktion dann schreiben }u:\left[-1;1\right]\to \left[-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right]\text{ und nicht }u:\left[-1;1\right]\to \IR\text{, oder?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dankeschön, Stefan.}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mo 01.01.2007 | | Autor: | flogger |
ja man müsste normalerwesie dann schreiben u: [-1;1] [mm] \to [/mm] $ [mm] [-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 02.01.2007 | | Autor: | flogger |
Hallo ich hab schon wieder ne Frage (leider)
und zwar such ich momentan nach ner genauen Beschreibung wie ich die 1.Ableitung von Arcsin und Arccos bilden kann.
Für Arctan hab ich diese bereits bilden können:
tan [mm] \alpha [/mm] =sin [mm] \alpha [/mm] / cos [mm] \alpha
[/mm]
(tan [mm] \alpha [/mm] )´=(sin [mm] \alpha [/mm] / cos [mm] \alpha [/mm] )´
da sin [mm] \alpha [/mm] ´= cos [mm] \alpha
[/mm]
und cos [mm] \alpha [/mm] ´=-sin [mm] \alpha [/mm] ergibt sich dann:
(sin [mm] \alpha [/mm] / cos [mm] \alpha [/mm] )´= [cos [mm] \alpha [/mm] *cos [mm] \alpha [/mm] -(-sin [mm] \alpha [/mm] *sin [mm] \alpha [/mm] )]/cos² [mm] \alpha [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] cos² [mm] \alpha [/mm] /cos² [mm] \alpha [/mm] + sin² [mm] \alpha [/mm] /cos² [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+(sin [mm] \alpha [/mm] /cos [mm] \alpha [/mm] )²
[mm] \Rightarrow [/mm] (tan [mm] \alpha [/mm] )´= 1+tan² [mm] \alpha [/mm]
nun weis man dass (f^−1 (x))´= (x´)/[f´(f^-1(x))] def:f^-1 = umkehrfunktion
also (arctan(x))´=(x´)/[1+tan(arctan(x))²]
(arctan(x))´=1/[1+x²]
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Mach's mit dem Arcussinus und Arcuscosinus genau so. Beachte:
[mm]\sin^2{t} + \cos^2{t} = 1[/mm]
Daher gilt:
[mm]\sin{t} = \pm \sqrt{1 - \cos^2{t}} \, , \ \ \cos{t} = \pm \sqrt{1 - \sin^2{t}}[/mm]
Nur ein Vorzeichen ist jeweils richtig. Welches es ist, entscheidet sich nach dem [mm]t[/mm]-Intervall, das man betrachtet. Bei der ersten Formel muß z.B. das Pluszeichen stehen, wenn [mm]t \in \left[ 0 \, , \, \pi \right][/mm] ist, und das Minuszeichen, wenn [mm]t \in \left[ \pi \, , \, 2 \pi \right][/mm] ist. Das setzt sich entsprechend [mm]2 \pi[/mm]-periodisch fort. Ähnlich sieht es bei der zweiten Formel aus.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Fr 05.01.2007 | | Autor: | flogger |
ohje jetz muss ich euch leider schon wieder "nerven". tut mir echt leid.
Meine neue Frage an euch lautet wie folgt:
Hat wer von euch ne Internetseite wo die genaue Funktion der Arcusfunktionen erklärt wird? Dass es Umkehrfunktionen von trigonometrischen Funktionen sind weis ich ja nur was genau kann man in welche Situation mit ihnen ausrechnen?
So weit ich mich erinnern kann haben wir sie in der 11.ten immer zum Ausrechnen von Winkeln in Dreiecken verwendet aber jetzt bräuchte ich halt noch mal genau beschrieben wo und wann genau Arcusfuntkionen in der analytischen Mathematik verwendet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 07.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 07.01.2007 | | Autor: | flogger |
hallo ich bin natürlich nach wie vor an dem thema interessiert und hoffe das mir jmd den genauen verwendungszweck der arcusfunktionen erklären kann
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Hallo flogger,
> hallo ich bin natürlich nach wie vor an dem thema
> interessiert und hoffe das mir jmd den genauen
> verwendungszweck der arcusfunktionen erklären kann
Wie bei allen Umkehrfunktionen dienen auch die Arcus-Funktionen "nur" dem Zweck, zu einem bestimmten y-Wert den zugehörigen x-Wert der jeweiligen Winkelfunktion zu bestimmen.
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:57 So 21.01.2007 | | Autor: | flogger |
Hallo ich bin inzwischen mit allen Herleitungen und Ableitungen fertig geworden nun stehe ich aber vor einem kleinen Problem was den Einsatz betrifft. Und zwar habe ich folgende Aufgabe bekommen:
Gegeben ist die Funktion f:x [mm] \to \bruch{1}{2} [/mm] arcsin [mm] \bruch{2x}{(x^{2}+1)} [/mm] ;x [mm] \in D_{f}
[/mm]
a)Bestimme den maximalen Defbereich [mm] D_{f} [/mm] und die Extremwerte von f ohne Berechnung von f´
b)Berechne die Ableitung von f und stelle fest, wo sie nicht definiert is. Ermittle hierzu auch [mm] \limes_{x\rightarrow 1^{+}} [/mm] f´(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow 1^{-}} [/mm] f´(x) Was sagen die Ergebnisse über den Graphen [mm] G_{f} [/mm] aus? Fertige hierfür auch eine geeignete Skizze an.
c)Welche Beziehung besteht zwischen f und der Funktion arctan? Leite die Beziehung für [mm] x\in [/mm] ]0;1[ auch ohne Benutzung der Ableitung her.
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Hallo flogger,
> Hallo ich bin inzwischen mit allen Herleitungen und
> Ableitungen fertig geworden nun stehe ich aber vor einem
> kleinen Problem was den Einsatz betrifft. Und zwar habe ich
> folgende Aufgabe bekommen:
> Gegeben ist die Funktion f:x [mm]\to \bruch{1}{2}[/mm] arcsin
> [mm]\bruch{2x}{(x^{2}+1)}[/mm] ;x [mm]\in D_{f}[/mm]
> a)Bestimme den
> maximalen Defbereich [mm]D_{f}[/mm] und die Extremwerte von f ohne
> Berechnung von f´
> b)Berechne die Ableitung von f und stelle fest, wo sie
> nicht definiert is. Ermittle hierzu auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{+}}[/mm] f´(x) und [mm]\limes_{x\rightarrow 1^{-}}[/mm]
> f´(x) Was sagen die Ergebnisse über den Graphen [mm]G_{f}[/mm] aus?
> Fertige hierfür auch eine geeignete Skizze an.
> c)Welche Beziehung besteht zwischen f und der Funktion
> arctan? Leite die Beziehung für [mm]x\in[/mm] ]0;1[ auch ohne
> Benutzung der Ableitung her.
Wie wär's mit ein paar eigenen Ideen?
Du erwartest doch nicht, dass wir hier deine Hausaufgaben machen?!
ad a) wie ist denn der [mm] \arcsin [/mm] definiert? Für welche x ist er also (nicht) definiert?
ad b) ableiten siehe: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
Schreib dazu mal was auf, dann sehen wir weiter...
Gruß informix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:13 Mo 22.01.2007 | | Autor: | flogger |
Tut mir leid dass ich die eigenen Ideen nicht gepostet hatte. Also hier einige meiner Ansätze:
Also was ich bis jetz habe:
a) arcsin ist ja von [-1;1] definiert wenn man den Hauptzweig verwendet
hat.
ne Definitionslücke sollte es in diesem Beispiel also nicht geben weil im
Nenner ja ein Quadratische x-Wert steht. Jetzt stellt sich die frage gilt
Def-Bereich auch bei der Funktion?
Zu den Extrema fällt mir keine Möglichkeit ein diese ohne Ableitung zu
berechnen. Aus Graph geht aber hervor dass sie bei [mm] +-\pi/4 [/mm] sein
müssten.
EDIT: ok aufgrund der Wertemenge und dem Vorfaktor konnt ich nun beweisen wo die Extrema liegen müssen
b) ja Ableitung von arcsin ist [mm] \bruch{a}{(1-(ax+b)²)} [/mm] jetzt ist es mir aber
nicht verständlich wie ich mit dieser Formel die gegebene Funktion
ableiten soll. Also der Vorfaktor bleibt soviel ist klar also wär f´(x)
auf jeden Fall 1/2.... nur wie ich das arcsin [mm] \bruch{2x}{(x^{2}+1)} [/mm] dann
ableiten soll ist mir nicht klar da ich dies nicht über die obige Formel kann
bzw nicht erkenne wie ich dies tun soll.
c) Die Funktion stimmt im Intervall ]0;1[ mit der Arctan-Funktion komplett
überein nur wie weise ich das nach? Ableiten darf ich ja nicht
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:11 Mo 22.01.2007 | | Autor: | flogger |
hi ich habe jetz noch mal über die Ableitungsformel anchgedacht.
wär es möglich dass als Ableitung
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\bruch{6x^{2}+2}{(x^{2}+1)^{2}}}{\wurzel{1-(\bruch{2x}{x^{2}+1})^{2}}}
[/mm]
herauskommt?
also dass im Zähler nach dem schema (f/g)´,also qoutientenregel, abgeleitet wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 24.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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