Herleitung Rentenformeln < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 27.05.2009 | | Autor: | engel19 |
| Aufgabe | Herleitung der Rentenendwertformel für vorschüssige unterjährige Rente.
Herleitung der Rentenbarwertformel für vorschüssige unterjährige Rente.
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Hallo,
hoffentlich kann mir jemand helfen! Ich muss als Aufgabe die beiden Formeln herleiten!
Habe aber keine Ahnung wie das geht und was genau von mir verlangt wird.
Vielen dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 27.05.2009 | | Autor: | jini_9791 |
hast du die aufgabe richtig gestellt? es ist beides mal dieselbe frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 27.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Die genaue Aufgabenstellung die ich bekommen habe lautet wie folgt:
Sie haben eine unterjährige Rente mit übereinstimmender Zins- und Rentenperiode.
a) Leiten Sie die unterjährig-vorschüssige Rentenendwertformel her!
b) Leiten Sie die unterjährig-vorschüssige Rentenbarwertformel her!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Jini,
es ist nicht beidemale die gleiche Aufgabe, denn bar != end 
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Hallo engel19,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Herleitung der Rentenendwertformel für vorschüssige
> unterjährige Rente.
> Herleitung der Rentenbarwertformel für vorschüssige
> unterjährige Rente.
>
> Hallo,
> hoffentlich kann mir jemand helfen! Ich muss als Aufgabe
> die beiden Formeln herleiten!
> Habe aber keine Ahnung wie das geht und was genau von mir
> verlangt wird.
Im Fall des Rentenendwertes für vorschüssige unterjährige Rente
wird ein konstanter Betrag r eingezahlt , und dann wird der Gesambetrag
(vorhandener Betrag + konstanter Betrag) verzinst.
Du erhältst demnach die Rekursionsformel:
[mm]b_{1}=r*q[/mm]
[mm]b_{k}=\left(b_{k-1}+r\right)*q, \ k=2 ... n[/mm]
Daraus mußt Du nun die Formel für den Rentenendwert herleiten.
Im Fall des Rentenbarwertes wird ein konstanter Betrag r
von einem vorhandenen Betrag abgehoben und dann verzinst.
> Vielen dank für die Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:52 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Hallo,
danke schonmal für die Hilfe, es ist mir schon etwas geläufiger geworden und ich habe glaub ich jetzt den unterschied zwischen Rentenendwert und Rentenbarwert verstanden. Aber irgendwie weiß ich bei der Herleitung noch nicht an welcher Stelle ich wirklich anfangen soll! Und was ich alles benötige, um es vollständig herzuleiten.
Wäre super, wenn mir nochmal jemand auf die Sprünge helfen würde.
Vielen vielen Dank!
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> Aber irgendwie weiß ich bei der Herleitung noch
> nicht an welcher Stelle ich wirklich anfangen soll!
Hallo,
MathePower hatte Dir den Rentenendwert erklärt und gesagt, daß man den Rentenendwert nach k Jahren, [mm] b_k [/mm] wie folgt erhäl:
> > $ [mm] b_{1}=r\cdot{}q [/mm] $
> > $ [mm] b_{k}=\left(b_{k-1}+r\right)\cdot{}q, [/mm] \ k=2 ... n $
Um gute Ideen für die allgemeine Formel zu entwickeln, würde ich jetzt mal die Rentenendwerte für etwa k=1,2,..., 10 hinschreiben - eventuell kannst Du schon etwas vorher aufhören, aber sei nicht zuuuu knauserig. An der Stelle [mm] b_{k-1} [/mm] setzt Du natürlich immer das vorher Ausgerechnete ein.
Du erhältst Formeln, in denen nur noch q und c vorkommen. Danach solltest Du Dich an die geometrische Reihe erinnern.
Poste bei Rückfragen bitte Deine bisherigen Rechnungen mit. Wir wollen jetzt was sehen!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Hallo,
hab das jetzt mal soweit gerechnet.
[mm] b_{1} [/mm] = r * q
[mm] b_{2} [/mm] = r * q²
[mm] b_{3} [/mm] = r * q³
.
.
.
[mm] b_{n} [/mm] = r * [mm] q^{n}
[/mm]
Meine Frage nun ist das eben gemeinte c = q???
Ich bin nun einfach mal davon ausgegangen und hab weiter mit geometrischer Reihe gemacht.
Aber an dieser stelle bin ich mir dann unsicher. Ob ich das einfach so machen kann!
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] r * [mm] q^{i}
[/mm]
Irgendwie kommt mir das zu einfach vor mit der geometrischen Reihe.
Aber normal könnte man da jetzt die Partialsummen bilden.
Das würde dann ja schon eher nach der gesuchten Formel aussehen.
Rend = r * [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
bin aber total unsicher. Ne Rückmeldung wäre nochmal echt super. Aber ich glaube bin schon irgendwie auf dem richtigen Weg!
Vielen Dank
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> Hallo,
> hab das jetzt mal soweit gerechnet.
>
> [mm]b_{1}[/mm] = r * q
> [mm]b_{2}[/mm] = r * q²
> [mm]b_{3}[/mm] = r * q³
> .
> .
> .
> [mm]b_{n}[/mm] = r * [mm]q^{n}[/mm]
>
> Meine Frage nun ist das eben gemeinte c = q???
Hallo,
nein, das oben gemeinte c war wohl eher das r...
Aber das, was Du oben schreibst, ist nicht richtig, und ich glaube, das kommt, weil Du zu sparsam mit Papier und Tinte warst.
Mach das doch mal gescheit:
[mm]b_{1}[/mm] = r * q
[mm] b_2= (b_1+r)*q= [/mm] ...
[mm] b_3=(b_2+r)*q=...
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
> Ich bin nun einfach mal davon ausgegangen und hab weiter
> mit geometrischer Reihe gemacht.
>
> Aber an dieser stelle bin ich mir dann unsicher. Ob ich das
> einfach so machen kann!
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] r * [mm]q^{i}[/mm]
Auf sowas läuft's schon hinaus, aber das konntest Du aus dem, was Du bisher getan hattest, eigentlich noch nicht schließen.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Rückfragen zu Antworten besser als Fragen (roter Kasten.) Sie werden besser gesehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Also dann mach ich das jetzt nochmal ordentlich:
[mm] b_{1} [/mm] = r * q
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] (b_{1} [/mm] + r) * q
--> ((r * q) + r) * q
[mm] b_{3} [/mm] = [mm] (b_{2} [/mm] + r) * q
--> ((((r * q) + r) * q) + r) * q
[mm] b_{4} [/mm] = [mm] (b_{3} [/mm] + r) * q
--> ((((((r * q) + r) * q) + r) * q) + r) * q
Kann man da die Klammern jetzt einfach wegstreichen?
Das sieht aus nach bei [mm] b_{4}
[/mm]
[mm] b_{4} [/mm] = r * q + r *q + r *q + r * q
Keine Ahnung ob das richtig ist so. Oder wie ich nun damit weiter rechne.
Aber danke für die schnelle Hilfe immer.
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Hallo,
stell Rückfragen bitte als Fragen (roter Kasten) und nicht als Mitteilung.
So kannst Du sicher sein, daß es nicht dem Zufall überlassen bleibt, daß sie gesehen werden.
> Also dann mach ich das jetzt nochmal ordentlich:
>
> [mm]b_{1}[/mm] = r * q
>
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm](b_{1}[/mm] + r) * q
> --> ((r * q) + r) * q
>
> [mm]b_{3}[/mm] = [mm](b_{2}[/mm] + r) * q
> --> ((((r * q) + r) * q) + r) * q
>
> [mm]b_{4}[/mm] = [mm](b_{3}[/mm] + r) * q
> --> ((((((r * q) + r) * q) + r) * q) + r) * q
>
> Kann man da die Klammern jetzt einfach wegstreichen?
Oh weh! Neiiiiiin!
Du mußt alles von Anfang an fein säuberlich ausmultiplizieren.
Dann bekommst Du sowas:
[mm]b_{1}[/mm] = r * q
[mm]b_{2}[/mm] = [mm](b_{1}[/mm] + r) * q= ((r * q) + r) * q [mm] =r*q^2 [/mm] +r*q
[mm]b_{3}[/mm] = [mm](b_{2}[/mm] + r) * [mm] q=(r*q^2 [/mm] +r*q)*q= ...
[mm]b_{4}[/mm] = [mm](b_{3}[/mm] + r) * q= ...
[mm] \vdots.
[/mm]
Wenn Du das hast, dann wirst Du auch die Verbindung zur geometrischen Reihe erkennen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Ich glaube jetzt hab ichs verstanden:
[mm] b_{1} [/mm] = r * q
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] (b_{1} [/mm] + r) * q
= ((r * q) + r) * q
= r * [mm] q^{2} [/mm] + r * q
[mm] b_{3} [/mm] = [mm] (b_{2} [/mm] + r) * q
= (( r * [mm] q^{2} [/mm] + r * q) + r) * q
= r * [mm] q^{3} [/mm] + r * [mm] q^{2} [/mm] + r * q
[mm] b_{4} [/mm] = [mm] (b_{3} [/mm] + r) * q
= ((r * [mm] q^{3} [/mm] + r * [mm] q^{2} [/mm] + r * q) + r) * q
= r * [mm] q^{4} [/mm] + r * [mm] q^{3} [/mm] + r * [mm] q^{2} [/mm] + r * q
Das sieht jetzt auch schon mehr nach einer Summenformel aus.
Meiner Meinung nach:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] r * [mm] q^{i}
[/mm]
Hoffentlich stimmt es jetzt!
Keine Ahnung ob das jemand von den Verantwortlichen des Forums liest. Aber am Rande ein kleines Komplement. Ist echt super gemacht! Auch die Formeleingabe ist sehr Benutzerfreundlich und gelungen! Echt eine tolle Sache!!!!
Vielen Dank!
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> Ich glaube jetzt hab ichs verstanden:
>
> [mm]b_{1}[/mm] = r * q
>
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm](b_{1}[/mm] + r) * q
> = ((r * q) + r) * q
> = r * [mm]q^{2}[/mm] + r * q
>
> [mm]b_{3}[/mm] = [mm](b_{2}[/mm] + r) * q
> = (( r * [mm]q^{2}[/mm] + r * q) + r) * q
> = r * [mm]q^{3}[/mm] + r * [mm]q^{2}[/mm] + r * q
>
> [mm]b_{4}[/mm] = [mm](b_{3}[/mm] + r) * q
> = ((r * [mm]q^{3}[/mm] + r * [mm]q^{2}[/mm] + r * q) + r) * q
> = r * [mm]q^{4}[/mm] + r * [mm]q^{3}[/mm] + r * [mm]q^{2}[/mm] + r * q
>
>
> Das sieht jetzt auch schon mehr nach einer Summenformel
> aus.
>
> Meiner Meinung nach:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] r * [mm]q^{i}[/mm]
Hallo,
ja, aus dem, was Du nun hast, kannst Du die Behauptung aufstellen, daß der Rentenendwert nach n Jahren, [mm] b_n, [/mm] wie folgt berechnet werden kann:
[mm] b_n=
[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] r * [mm]q^{i}[/mm]
Ich weiß nun nicht, ob Du dies noch beweisen mußt, oder ob es in Deinem Studienfach so reicht.
Einen eventuellen Beweis würde man mit vollständiger Induktion führen.
Für die endliche geometrische Reihe habt Ihr in der Mathevorlesung sicher schon die Formel gehabt, die kannst und mußt Du oben nun verwenden. (Beachte dabei, daß oben die Summation bei i=1 beginnt, möglicherweise habt Ihr es nur für i=0 notiert.)
> Keine Ahnung ob das jemand von den Verantwortlichen des
> Forums liest.
Den Moderatoren entgeht hier (fast) nichts.
> Aber am Rande ein kleines Komplement. Ist
> echt super gemacht! Auch die Formeleingabe ist sehr
> Benutzerfreundlich und gelungen! Echt eine tolle Sache!!!!
Schön zu hören!
Oftmals werden nämlich die Hilfen zur Formeleingabe gar nicht verwendet, so daß man schon ins Grübeln kommen kann.
Kompliment zurück also: prima, daß Du Dich gleich mit der Eingabe der Formeln beschäftigt hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Vielen Dank.
Aber ich soll ja die unterjährig-vorschüssige Rentenendwertformel herleiten. Wie bezieh ich das jetzt da noch mit rein. Also unterjährig und vorschüssig. Das ist jetzt nur die normal Formel oder?
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> Vielen Dank.
> Aber ich soll ja die unterjährig-vorschüssige
> Rentenendwertformel herleiten.
Achso.
Ich war genau da eingestiegen, wo es aufgehört hatte.
> Wie bezieh ich das jetzt da
> noch mit rein. Also unterjährig und vorschüssig. Das ist
> jetzt nur die normal Formel oder?
"Vorschüssig" ist drin, denn die Zahlung r war zum Jahresanfang, und würde immer zum Jahresende verzinst.
Wir haben jetzt also die Formel für den rentenendwert für eine jährlich vorschüssige Rente. (Du hast's bereits ohne Summenzeichen dastehen?)
Nun zu "unterjährig": Mal überlegen:
hier wird die Jahresrente r nicht zum Jahresanfang ausgezahlt, sondern portionsweise über das Jahr verteilt, typisch wären sicher 12 Zahlungen.
Wir nehmen m Zahlungen, pro Zahlung wird also [mm] \bruch{r}{m} [/mm] ausgezahlt, die erste Zahlung direkt am Jahresanfang.
Die erste der Zahlungen des Jahres wird ein volles Jahr, [mm] \bruch{m}{m} [/mm] Jahre, verzinst.
Die zweite der Zahlungen des Jahres wird nur [mm] \bruch{m-1}{m} [/mm] Jahre, verzinst.
[mm] \vdots
[/mm]
Die letzte der Zahlungen des Jahres wird nur [mm] \bruch{1}{m} [/mm] Jahre, verzinst.
Du kannst Dir das an einem Zahlenstrahl mit den Zahlungsterminen klarmachen.
Der Rentenendwert am Ende des 1. Jahres ist dann
[mm] b_{1,m}=\bruch{r}{m}*\bruch{m}{m}*q [/mm] + [mm] \bruch{r}{m}*\bruch{m-1}{m}*q +\bruch{r}{m}*\bruch{m-2}{m}*q [/mm] + [mm] ...+\bruch{r}{m}*\bruch{1}{m}*q [/mm]
= [mm] (\bruch{m}{m}+\bruch{m-1}{m}+\bruch{m-2}{m}+...+\bruch{1}{m})\bruch{r}{m}*q
[/mm]
[mm] =\bruch{m*(m+1)}{2m}\bruch{r}{m}*q [/mm] (Die Schrumpfung der vorderen Klammer kommt zustande, weil ich [mm] \summe_{i=1}^{m}i [/mm] berechnet habe, die entsprechende Summenformel war in der Volesung oder Übung sicher dran.)
[mm] =\bruch{(m+1)}{2}\bruch{r}{m}*q [/mm]
Am Ende des zweiten Jahres wird der Betrag, der am Ende des 1. Jahres da war, also [mm] b_1 [/mm] voll verzinst, und die Anteile [mm] \bruch{r}{m} [/mm] wieder wie im Vorjahr:
[mm] b_2= b_1*q +b_1
[/mm]
Am Ende des dritten Jahres wird der Betrag, der am Ende des 2. Jahres da war, also [mm] b_2 [/mm] voll verzinst, und die Anteile [mm] \bruch{r}{m} [/mm] wieder wie im ersten Jahr.
[mm] b_3= b_2*q +b_1
[/mm]
So geht's dann weiter bis zum k-ten Jahr
[mm] b_k=b_{k-1}*q +b_1.
[/mm]
Lös das jetzt mal wie zuvor auf. Laß aber der besseren Übersicht wegen immer [mm] b_1 [/mm] stehen, statt dafür den ermittelten Ausdrück einzusetzen. Dieses Einsetzen machen wir erst ganz am Ende.
Ziel ist es zunächst, daß Du [mm] b_n [/mm] so dastehen hast, daß nur q und [mm] b_1 [/mm] drin vorkommen.
Vielleicht bekommst Du dann auch schon eine Ahnung, wie's weitergeht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 28.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Also hab ich jetzt
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{(m+1)}{2} \bruch{r}{m} [/mm] * q
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] * q + [mm] b_{1}
[/mm]
--> [mm] (\bruch{(m+1)}{2} \bruch{r}{m} [/mm] * q) * q + [mm] b_{1}
[/mm]
--> [mm] \bruch{(m+1+r)}{2m} [/mm] * [mm] q^{2} [/mm] + [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] b_{3} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] * q + [mm] b_{1}
[/mm]
--> [mm] (\bruch{(m+1+r)}{2m} [/mm] * [mm] q^{2} [/mm] + [mm] b_{1}) [/mm] * q + [mm] b_{1}
[/mm]
--> [mm] \bruch{(m+1+r)}{2m} [/mm] * [mm] q^{3} [/mm] + [mm] 2b_{1}
[/mm]
[mm] b_{4} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] * q + [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] b_{5} [/mm] = [mm] b_{4} [/mm] * q + [mm] b_{1}
[/mm]
Ist das richtig so????
Das wäre dann für n:
[mm] \bruch{(m+1+r)}{2m} [/mm] * [mm] q^{n} [/mm] + [mm] (n-1)b_{1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo engel19,
im Beispiel einer nachschüssigen Vierteljahresrente (m=4) ergibt sich ein jährlicher Endbetrag von
r' = [mm] r*(1+3*\bruch{i}{4})+r*(1+2*\bruch{i}{4})+r*(1+1*\bruch{i}{4})+r*(1+0*\bruch{i}{4})
[/mm]
= [mm] r*(4+\bruch{i}{4}*(0+1+2+3))
[/mm]
Geht man allgemeiner von m Subperioden eines Jahres aus, so heißt es
r' = [mm] r*(m+\bruch{i}{m}*(0+1+2+ [/mm] ... +(m-1)))
Bei dem Ausdruck
0+1+2+ ... +(m-1)
handelt es sich um eine arithmetische Reihe, da die Differenz zwischen je zwei benachbarten Summanden konstant ist. Unter Benutzung der Summenformel für die endliche arithmetische Reihe
0+1+2+ ... +(m-1) = [mm] \bruch{(m-1)*m}{2}
[/mm]
kann man auch
r' = [mm] r*(m+\bruch{i}{m}*\bruch{(m-1)*m}{2})
[/mm]
oder kürzer
r' = [mm] r*(m+\bruch{i}{2}*(m-1))
[/mm]
schreiben.
Wenn nun die Anzahl der konformen Jahresrente r' ganzzahlig ist - und dies wird ja vorausgesetzt -, so kann man zur Berechnung des Endwerts Gleichung
[mm] R_n [/mm] = [mm] r'*\bruch{q^n -1}{i}
[/mm]
sinngemäß benutzen, also
[mm] r*(m+\bruch{i}{2}*(m-1))*\bruch{q^n -1}{i}
[/mm]
Vorstehendes gilt bei unterjährliche Renten mit jährlicher Zinsverrechnung. Dies ist die gängige Praxis!
Viele Grüße
Josef
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> Also hab ich jetzt
>
> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\bruch{(m+1)}{2} \bruch{r}{m}[/mm] * q
>
> [mm]b_{2}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]
>
> --> [mm](\bruch{(m+1)}{2} \bruch{r}{m}[/mm] * q) * q + [mm]b_{1}[/mm]
> --> [mm]\bruch{(m+1+r)}{2m}[/mm] * [mm]q^{2}[/mm] + [mm]b_{1}[/mm]
>
> [mm]b_{3}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]
> --> [mm](\bruch{(m+1+r)}{2m}[/mm] * [mm]q^{2}[/mm] + [mm]b_{1})[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]
= [mm]\bruch{(m+1+r)}{2m}[/mm] * [mm]q^{3}[/mm] + [mm]b_{1}q[/mm] * + [mm]b_{1}[/mm]
> --> [mm]\bruch{(m+1+r)}{2m}[/mm] * [mm]q^{3}[/mm] + [mm]2b_{1}[/mm]
Das ist falsch.
>
>
>
> [mm]b_{4}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]
>
> [mm]b_{5}[/mm] = [mm]b_{4}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]
>
>
> Ist das richtig so????
>
>
> Das wäre dann für n:
>
> [mm]\bruch{(m+1+r)}{2m}[/mm] * [mm]q^{n}[/mm] + [mm](n-1)b_{1}[/mm]
Hallo,
ich hatte Dir doch gesagt, daß Du so auflösen sollst, daß Du das [mm] b_1 [/mm] und q behältst.
So bekommst Du
[mm] b_2=[/mm] [mm]b_{1}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm][mm] =b_1(q+1)
[/mm]
>
>
> [mm]b_{3}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm]=
( [mm]b_{1}[/mm] * q + [mm]b_{1}[/mm][mm] =b_1(q+1))*q+b_1=b_1(1+q+q^2)
[/mm]
[mm] b_3= [/mm] ...
[mm] b_4=...,
[/mm]
und daraus kannst Du vermuten, daß
[mm] b_n= b_1*(1+q+q^2+...+q^{n-1}), [/mm]
nun die Formel für die geometrische Reihe, und am Ende erinnere Dich daran, was wir für [mm] b_1 [/mm] ausgerechnet hatten.
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 30.05.2009 | | Autor: | engel19 |
Ich bin das Wochenende über leider verreist und werde die Aufgabe erst ab Montagabend bzw. Dienstagmorgen weiter rechnen können! Vielen Dank aber schon mal für die beiden Antworten!
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Di 02.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Also nun habe ich gesehen das [mm] b_{1} [/mm] immer ausgeklammert ist.
Und erkenne durchaus die geometrische Reihe.
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] * [mm] \bruch{q^{n} - 1}{q - 1}
[/mm]
und dann setze ich b1 ein:
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{m + r}{2} [/mm] * [mm] \bruch{r}{m} [/mm] * q
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{m + r}{2} [/mm] * [mm] \bruch{r}{m} [/mm] * q * [mm] \bruch{q^{n} - 1}{q - 1}
[/mm]
Ist das so richtig?
Kann ich die Formel noch irgendwie vereinfachen?
Das ist jetzt die Rentenendwertformel oder?
Wie komme ich auf die Rentenbarwertformel?
Vielen Dank
Und Sorry nochmal wegen der Pause, war das Wochenende über nicht zuhause!
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> Also nun habe ich gesehen das [mm]b_{1}[/mm] immer ausgeklammert
> ist.
> Und erkenne durchaus die geometrische Reihe.
>
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] * [mm]\bruch{q^{n} - 1}{q - 1}[/mm]
>
> und dann setze ich b1 ein:
>
> [mm]b_{1}[/mm] = [mm]\bruch{m + \red{1}}{2}[/mm] * [mm]\bruch{r}{m}[/mm] * q
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{m + \red{1}}{2}[/mm] * [mm]\bruch{r}{m}[/mm] * q * [mm]\bruch{q^{n} - 1}{q - 1}[/mm]
>
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
ja.
>
> Kann ich die Formel noch irgendwie vereinfachen?
Großartige Vereinfachungsmöglichkeiten sehe ich hier nicht.
Wichtig ist, daß Dir klar ist, was die einzelnen Buchstaben bedeuten.
Im meiner Rechnung ist [mm] \bruch{r}{m} [/mm] der Betrag, der an den m Zahlungsterminen jeweils ausgezahlt wird.
> Das ist jetzt die Rentenendwertformel oder?
Ja.
>
> Wie komme ich auf die Rentenbarwertformel?
Erkläre dazu erstmal, was der Rentenbarwert ist. Vorher kann man ja nicht sinnvoll überlegen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 02.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Also der Rentenbarwert ist quasi der Wert alles Ein- und Auszahlungen. Das wird aber für den heutigen Tag zurück gerechnet. Das heißt die Zinsen werden abgerechnet auf heute.
Oder lieg ich da falsch?
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> Also der Rentenbarwert ist quasi der Wert alles Ein- und
> Auszahlungen. Das wird aber für den heutigen Tag zurück
> gerechnet. Das heißt die Zinsen werden abgerechnet auf
> heute.
>
> Oder lieg ich da falsch?
Hallo,
nein, Du liegst richtig.
Du mußt nun jede der Zahlungen, die Du erhältst, auf den Zahlungsbeginn abzinsen.
Was hast Du Dir denn bisher überlegt und getan? Vielleicht erzählst Du das mal, oder ggf. auch, wo Dein Problem liegt.
Du kannst es ja zunächst etwas vereinfachen, indem Du für die Anzahl m der jählichen Auszahleungen eine konkrete Zahl nimmst, etwa m=12 oder m=4, vielleicht auch einen konkreten Zinssatz.
Den jeweiligen Auszahlungsbetrag kannst Du R nennen.
Schau Dir nun die einzelnen Zahltermine an und rechne zurück - auch über ein Jahr hinaus.
Auf diese Art kannst Du erkennen, wie der Hase läuft, bevor nur noch Buchstaben im Spiel sind.
Danach kann man weitersehen.
Gruß v.Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 03.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Also wichtig ist ja jetzt die Verzinsung.
Und ich hab mir jetzt die Informationen von eben genommen:
In der ersten Zahlung wird es [mm] \bruch{m}{m} [/mm] verzinst!
In der zweiten Zahlung wird es [mm] \bruch{m-1}{m} [/mm] verzinst!
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In der letzten Zahlung wird es [mm] \bruch{1}{m} [/mm] verzinst!
Das war jetzt auf ein Jahr gesehen!
Jetzt gehe ich mal von zwei Jahren und m = 4 aus!
1. Zahlung 1. Jahr: [mm] \bruch{4}{4}
[/mm]
2. Zahlung 1. Jahr: [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
3. Zahlung 1. Jahr: [mm] \bruch{2}{4}
[/mm]
4. Zahlung 1. Jahr: [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
Rückwärtsbetrachtet weils ja auch zurück gerechnet wird:
1. Zahlung 1. Jahr: [mm] b_{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{4}
[/mm]
2. Zahlung 1. Jahr: [mm] b_{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{3}
[/mm]
3. Zahlung 1. Jahr: [mm] b_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
4. Zahlung 1. Jahr: [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
Jetzt ist die Frage wie das im zweiten Jahr ist.
Komm ich so weiter? Das war jetzt die Überlegung die ich mir gemacht habe!
Liebe Grüße und vielen vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Mi 03.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Hab doch noch ne Idee fürs zweite Jahr...!
Normal müsste das ja so weiter gehen!
1. Zahlung 2. Jahr: [mm] b_{7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{8}
[/mm]
2. Zahlung 2. Jahr: [mm] b_{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{7}
[/mm]
3. Zahlung 2. Jahr: [mm] b_{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{6}
[/mm]
4. Zahlung 2. Jahr: [mm] b_{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = [mm] b_{5} [/mm] , weil ja die Rente im ersten Jahr verzinst wurde + Für das zweite jahr nochmal [mm] \bruch{1}{m}
[/mm]
Kann man das so sagen?
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Hallo,
wir suchen jetzt den Rentenbarwert einer unterjährigen, vorschüssigen Rente.
Die Situation:
An m Terminen im Jahr wird der Betrag R ausgezahlt. Die Zinsen betragen p.
Um den Barwert dieser Zahlungen zu kennen, müssen sie abgezinst werden auf den Beginn der Laufzeit.
Wir überlegen uns jetzt erstmal, was wir statt der m Zahlungen pro Jahr jeweils am Jahresanfang ausgezahlt bekommen müßten.
Die erste Zahlung R erfolgt am Jahresanfang. Abgezinst auf den Jahresanfang: [mm] r_1=R
[/mm]
Die zweite Zahlung R erfolgt [mm] nach\bruch{1}{m} [/mm] des Jahres. Welchen Betrag [mm] r_2 [/mm] hätten wir am Jahresanfang anlegen müssen?
[mm] R=r_2+r_2*\bruch{1}{m}p=r_2(1+\bruch{1}{m}p) [/mm] ==> [mm] r_2=R*\bruch{1}{1+\bruch{1}{m}p}
[/mm]
Die dritte Zahlung R erfolgt [mm] nach\bruch{2}{m} [/mm] des Jahres. Welchen Betrag [mm] r_3 [/mm] hätten wir am Jahresanfang anlegen müssen?
[mm] R=r_3+r_3*\bruch{2}{m}p=r_3(1+\bruch{2}{m}p) [/mm] ==> [mm] r_3=R*\bruch{1}{1+\bruch{2}{m}p}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Die letzte Zahlung R erfolgt [mm] nach\bruch{m-1}{m} [/mm] des Jahres. Welchen Betrag [mm] r_m [/mm] hätten wir am Jahresanfang anlegen müssen?
[mm] R=r_m+r_m*\bruch{m-1}{m}p=r_m(1+\bruch{m-1}{m}p) [/mm] ==> [mm] r_m=R*\bruch{1}{1+\bruch{m-1}{m}p}
[/mm]
Ergebnis: die Rente, die vorschüssig unterjährig in m Raten ausgezahlt wird, entspricht einer Einmalzahlung von [mm] r=r_1+...+r_m= R\summe_{k=0}^{m-1}\bruch{1}{1+\bruch{k}{m}p} [/mm]
(Eine gescheite Summenformel für [mm] \summe_{k=0}^{m-1}\bruch{1}{1+\bruch{k}{m}p} [/mm] fällt mir leider im moment nicht ein.)
So, und jetzt schauen wir das über die Jahre an:
(q=1+p)
Wir haben nun die oben errechnete Jahresrente r, auszuzahlen am Jahresanfang, und wollen deren Barwert bestimmen:
1.Zahlung r am Laufzeitbeginn. Barwert [mm] b_1=r
[/mm]
2.Zahlung am Beginn des zweiten Jahres:
Welchen Betrag [mm] b_2 [/mm] hätte man am Laufzeitbeginn anlegen müssen, um jetzt den Betrag r zu erhalten?
[mm] r=b_2 [/mm] + [mm] b_2*p=b_2*q [/mm] ==> [mm] b_2=\bruch{r}{q}
[/mm]
3.Zahlung am Beginn des 3.Jahres:
Welchen Betrag [mm] b_3 [/mm] hätte man am Laufzeitbeginn anlegen müssen, um jetzt den Betrag r zu erhalten?
[mm] r=b_3*q^2 [/mm] ==> [mm] b_3=\bruch{r}{q^2}
[/mm]
4.Zahlung am Beginn des 4.Jahres:
Welchen Betrag [mm] b_4 [/mm] hätte man am Laufzeitbeginn anlegen müssen, um jetzt den Betrag r zu erhalten?
[mm] r=b_4*q^3 [/mm] ==> [mm] b_4=\bruch{r}{q^3}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
n.Zahlung am Beginn des n.Jahres:
Welchen Betrag [mm] b_n [/mm] hätte man am Laufzeitbeginn anlegen müssen, um jetzt den Betrag r zu erhalten?
[mm] r=b_n*q^{n-1} [/mm] ==> [mm] b_n=\bruch{r}{q^{n-1}}
[/mm]
Den Barwert [mm] B_n [/mm] der Rente für n-jährige Zahlung erhält man durch Summieren:
[mm] B_n=b_1+...+b_n=\summe_{i=1}^{n}\bruch{r}{q^{i-1}}=r*\summe_{i=1}^{n}q^{1-i}= r*\summe_{i=0}^{n-1}q^{-i},
[/mm]
und jetzt kannst u wieder mit der geometrischen Reihe anrücken.
Berücksichtigst Du dann noch, was für r ausgerechnet wurde, so hast Du den Barwert für die unterjährige vorschüssige Rente.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Fr 05.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Hallo!
vielen vielen Dank!
Also wenn ich die geometrische Reihe anwende komme ich dann auf:
r * [mm] \summe_{i=0}^{n-1} q^{-i}
[/mm]
= r * [mm] \bruch{q^{-n} - 1}{q - 1}
[/mm]
Dann r einsetzen:
r = R * [mm] \summe_{k=0}^{m-1} \bruch{1}{1 +\bruch{k}{m}p}
[/mm]
barwert = R * [mm] \summe_{k=0}^{m-1} \bruch{1}{1 +\bruch{k}{m}p} [/mm] * [mm] \bruch{q^{-n} - 1}{q - 1}
[/mm]
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> Hallo!
> vielen vielen Dank!
>
> Also wenn ich die geometrische Reihe anwende komme ich dann
> auf:
>
> r * [mm]\summe_{i=0}^{n-1} q^{-i}[/mm]
>
> = r * [mm]\bruch{q^{-n} - 1}{q^{\red{-1}} - 1}[/mm]
Hallo,
fast. beachte meine rot gekennzeichnete Korrektur. Du hast's ja mit [mm] \summe(q^{-1})^i [/mm] zu tun.
>
> Dann r einsetzen:
>
> r = R * [mm]\summe_{k=0}^{m-1} \bruch{1}{1 +\bruch{k}{m}p}[/mm]
>
> barwert = R * [mm]\summe_{k=0}^{m-1} \bruch{1}{1 +\bruch{k}{m}p}[/mm]
> * [mm]\bruch{q^{-n} - 1}{q{\red{-1}} - 1}[/mm]
Ein bißchen Kosmetik kann man noch an r * [mm]\bruch{q^{-n} - 1}{q{\red{-1}} - 1}[/mm] treiben:
r * [mm]\bruch{q^{-n} - 1}{q{\red{-1}} - 1}[/mm]= r * [mm]\bruch{q^{-n} - 1}{q{\red{-1}} - 1}[/mm][mm] *\bruch{q^n}{q^n}= [/mm] r * [mm]\bruch{1 - q^{n}}{q^{n-1} - q^n}[/mm] [mm] =\bruch{r }{q^{n-1}}*[/mm] [mm]\bruch{1 - q^{n}}{1 - q}[/mm] [mm] =\bruch{r }{q^{n-1}}*[/mm] [mm]\bruch{q^{n}-1}{q-1}[/mm].
So dürfte es dem, was Du in der Literatur findest, ähnlicher sehen.
Falls Ihr bereits Formeln notiert habt für die beiden in Deiner Aufgabe herzuleitenden Formeln, solltest Du diese nun anschauen und versuchen, sie in Deckung mit dem Ausgerechneten zu bringen. Durch etwas andere Variablenwähl, vor allem die r, R betreffend, können sie etwas anders aussehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Fr 05.06.2009 | | Autor: | engel19 |
Ok super danke! Dann denke ich mal ist die Aufgabe beendet! Ich möchte mich an dieser Stelle für die großartige und immer schnelle Hilfe bedanken!
Es hat mir große Freude gemacht die Aufgabe zu Erarbeiten und ich werde das Forum mit Sicherheit noch öfters verwenden und weiterempfehlen!
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Josef |
Hallo engel19,
> Herleitung der Rentenendwertformel für vorschüssige
> unterjährige Rente.
> Herleitung der Rentenbarwertformel für vorschüssige
> unterjährige Rente.
>
Im Fall der vorschüssigen Rente wird jede Rate eine Periode länger verzinst, da sie bereits zu Beginn der Periode angelegt wurde. Die erste Rate wird so für den vollen Zeitraum, d.h. für n Perioden verzinst und ist am Ende der n-ten Zinsperiode [mm] r*(1+i)^n [/mm] wert. Die zweite Rate wird zum Beginn der zweiten Zinsperiode eingezahlt. Sie verbleibt so noch (n-1)Perioden auf dem Konto. Zum Zeitpunkt n hat sie einen Wert von [mm] r*(1+i)^{n-1}. [/mm] Die letzte Ratenzahlung wird im Falle der vorschüssigen Rente noch ein Jahr lang verzinst und ist am Ende des n-ten Jahres r*(1+i) wert.
Aufaddiert erhält man so als Wert der n Ratenzahlungen bei der vorschüssigen Rente:
[mm] R_{vor,n} [/mm] = [mm] r*(1+i)^n [/mm] + [mm] r*(1+i)^{n-1} [/mm] +
+ r*(1+i) = [mm] r*q^n [/mm] + [mm] r*q^{n-1} [/mm] + ... + r*q.
Wir klammern so aus, dass sich in der Klammer eine Partialsumme der geometrischen Reihe ergibt. Dazu müssen die Raten r und ein Aufzinsungsfaktor q ausgeklammert werden:
[mm] R_{vor,n} [/mm] = r*q*(1+q+
+ [mm] q^{n-2} [/mm] + [mm] q^{n-1}) [/mm] = [mm] r*q*\bruch{q^n -1}{q-1} [/mm] = [mm] r*q*\bruch{q^n -1}{i}.
[/mm]
Wenn wir die hergeleitete Formel des vorschüssigen Rentenendwerts mit der Formel für den Endwert einer nachschüssigen Rente vergleichen, so fällt auf, dass beide Formeln sich nur um den Faktor q unterscheiden.
Dieses kann man leicht nachvollziehen, da bei der vorschüssigen Rente jeder Betrag eine Periode länger verzinst wird. Dieses entspricht einer Verzinsung des gesamten Rentenendwertes für eine Periode.
Sucht man den Rentenbarwert der vorschüssigen Rente, d.h. den zur Rente äquivalenten Geldbetrag, den man zu Beginn der Laufzeit hätte einzahlen können, um nach n Perioden denselben Endwert zu erhalten, so ergibt sich durch Abzinsen des Endwertes [mm] R_{vor,n} [/mm] mit [mm] q^n [/mm] :
[mm] R_{vor,0} [/mm] = [mm] \bruch{R_{vor,n}}{q^n} [/mm] = [mm] \bruch{r*q*\bruch{q^n -1}{i}}{q^n} [/mm] = [mm] \bruch{r*q}{q^n}*\bruch{q^n -1}{i} [/mm] = [mm] \bruch{r}{q^{n-1}}*\bruch{q^{n -1}}{i}.
[/mm]
Liegen monatliche Rentenzahlungen über n Jahre vor, dann werden n*12 Rentenperioden betrachtet, die wegen der monatlichen Zinstermine mit den Zinsperioden übereinstimmen. Der linear proportionale Zinssatz beträt dann [mm] \bruch{i}{12}.
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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