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| Aufgabe | Aus der Integralformel von Schwarz
f(z) = [mm] \bruch{1}{2i \pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{ }{\bruch{Re(f(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds} [/mm] + Im(f(0))i, z [mm] \in B_{r}(0)
[/mm]
soll die Integralformel son Poisson hergeleitet werden:
u(s cos [mm] \alpha [/mm] + is [mm] sin\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{u(r cos \beta + ir sin \beta) \bruch{r^{2}-s^{2}}{r^{2}-2rs cos (\beta- \alpha)+s^{2}} d\beta}
[/mm]
wobei u = Re(f) und [mm] 0\le [/mm] s < r |
Hallo,
Ich weiß nicht, wie ich die Integralformel von Poisson aus der Formel von Schwarz herleiten soll.
Das f zerlegt sich ja in einen Realteil Re(f) = u und einen Im.teil Im(f) = v. So weit ich es verstanden habe, glaube, ich dass man in die Schwarzsche Formel nur den Realteil u einsetzen darf links. Aber wie forme ich die Integralformel von Schwarz so um, dass ich am Ende die Poissonsche Vesion da stehen habe? Wie komme ich auf sin und cos, die da neu auftauchen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> Aus der Integralformel von Schwarz
>
> f(z) = [mm]\bruch{1}{2i \pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{ }{\bruch{Re(f(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds}[/mm]
> + Im(f(0))i, z [mm]\in B_{r}(0)[/mm]
>
> soll die Integralformel son Poisson hergeleitet werden:
>
> u(s cos [mm]\alpha[/mm] + is [mm]sin\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{u(r cos \beta + ir sin \beta) \bruch{r^{2}-s^{2}}{r^{2}-2rs cos (\beta- \alpha)+s^{2}} d\beta}[/mm]
>
> wobei u = Re(f) und [mm]0\le[/mm] s < r
> Hallo,
>
> Ich weiß nicht, wie ich die Integralformel von Poisson aus
> der Formel von Schwarz herleiten soll.
> Das f zerlegt sich ja in einen Realteil Re(f) = u und einen
> Im.teil Im(f) = v. So weit ich es verstanden habe, glaube,
> ich dass man in die Schwarzsche Formel nur den Realteil u
> einsetzen darf links.
Nee, Links (da wo $f(z)$) steht setzt du $u(z) + i v(z)$ ein.
Zuerst rechnest du mal das Kurvenintegral aus, also schreibst es als normales Integral. Dann nimmst du den Realteil von beiden Seiten; dann bleibt Links auch nur noch $u(z)$ uebrig. Und auf der rechten Seite ein Integral mit dem Realteil des ``alten'' Integranden als Integranden.
> Aber wie forme ich die
> Integralformel von Schwarz so um, dass ich am Ende die
> Poissonsche Vesion da stehen habe? Wie komme ich auf sin
> und cos, die da neu auftauchen?
Die kommen vom Realteil. Benutze, dass der Kreisrand [mm] $\partial B_r(0)$ [/mm] durch $r [mm] \cos [/mm] t + i r [mm] \sin [/mm] t$, $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] parametrisiert wird.
LG Felix
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort. Dennoch hab ich Schwierigkeiten gehabt, wenn ich deine Tipps befolge.
Wie du gesagt hast, habe ich links statt f(z) die Zerlegung u(z) + iv(z) hingeschrieben.
> Nee, Links (da wo [mm]f(z)[/mm]) steht setzt du [mm]u(z) + i v(z)[/mm] ein.
>
> Zuerst rechnest du mal das Kurvenintegral aus, also
> schreibst es als normales Integral. Dann nimmst du den
> Realteil von beiden Seiten; dann bleibt Links auch nur noch
> [mm]u(z)[/mm] uebrig. Und auf der rechten Seite ein Integral mit dem
> Realteil des ''alten'' Integranden als Integranden.
Ich bin so vorgegangen:
f(z) = u(z)+iv(z)
u(z) + iv(z) = [mm] \bruch{1}{2i \pi} \integral_{0}^{2\pi }{f(g(t)) g'(t) dt},wobei [/mm] g(t) der Integrationsweg ist, def. als g(t) : [mm] [0,2\pi] \to [/mm] r cos t+ i r sin t
Also: [mm] \bruch{1}{2i \pi} \integral_{0}^{2\pi }{[u(r cos t + i r sin t) +iv(r cos t + ir sin t)](-r sin t + ir cos t) dt}
[/mm]
Jetzt habe ich von beiden Seiten den Realteil genommen und bekomme:
u(z) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{0}^{2\pi }{[u(r cos t + i r sin t)](-r sin t + ir cos t) dt}
[/mm]
Jetzt taucht mein Problem auf; kann ich einfach von dem Vorfaktor [mm] \bruch{1}{2i \pi} [/mm] einfach das "i" weglassen?
Und das Ergebnis sieht ja schon so ähnlich aus wie das Gesuchte, aber wie komm ich jetzt auf den hinteren Bruch im Integranden, der bei Poisson noch auftaucht:
u(s cos [mm]\alpha[/mm] + is [mm]sin\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{u(r cos \beta + ir sin \beta) \bruch{r^{2}-s^{2}}{r^{2}-2rs cos (\beta- \alpha)+s^{2}} d\beta}[/mm]
Stimmt überhaupt mein Weg bis hierhin? Oder mach ich da was ganz falsches?
Vielen Dank!
milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> danke erstmal für deine Antwort. Dennoch hab ich
> Schwierigkeiten gehabt, wenn ich deine Tipps befolge.
> Wie du gesagt hast, habe ich links statt f(z) die Zerlegung
> u(z) + iv(z) hingeschrieben.
>
> > Nee, Links (da wo [mm]f(z)[/mm]) steht setzt du [mm]u(z) + i v(z)[/mm] ein.
> >
> > Zuerst rechnest du mal das Kurvenintegral aus, also
> > schreibst es als normales Integral. Dann nimmst du den
> > Realteil von beiden Seiten; dann bleibt Links auch nur noch
> > [mm]u(z)[/mm] uebrig. Und auf der rechten Seite ein Integral mit dem
> > Realteil des ''alten'' Integranden als Integranden.
>
> Ich bin so vorgegangen:
> f(z) = u(z)+iv(z)
>
> u(z) + iv(z) = [mm]\bruch{1}{2i \pi} \integral_{0}^{2\pi }{f(g(t)) g'(t) dt},wobei[/mm]
> g(t) der Integrationsweg ist, def. als g(t) : [mm][0,2\pi] \to[/mm]
> r cos t+ i r sin t
> Also: [mm]\bruch{1}{2i \pi} \integral_{0}^{2\pi }{[u(r cos t + i r sin t) +iv(r cos t + ir sin t)](-r sin t + ir cos t) dt}[/mm]
Wieso hast du nicht die Formel von Schwarz genommen und das da eingesetzt?
LG Felix
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Hallo Felix,
Ich habe jetzt die Schwarz'sche Integralformel hergenommen, aber ich komm einfach nicht auf einen grünen Zweig.
Die Schwarzsche Integralformel ist wie gegeben.
Nun habe ich folgendes gemacht, was du mir gesagt hast:
u(z)+ i v(z) = [mm] \bruch{1}{2i \pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{}{ \bruch{Re(u(s)+iv(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds} [/mm] + Im(u(0)+ iv(0))i
Dann habe ich die Parametrisierung angewendet und den Realteil extrahiert:
u(z) = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{Re(u(r cos t+ ir sin t)+iv(rcos t+i r sin t}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{u(r cos t+ ir sin t)}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds}
[/mm]
Ich weiß nicht genau, wie ich die Parametrisierung in die Schwarzsche Formel einsetzen soll; die Formel ist ja ohnehin schon so kompliziert mit den vielen Brüchen... Wenn ich die PArametrierung nehme, dann brauch ich ja eine Funktion f, wo ich den Integrationsweg [mm] g:[0,2\pi] \to [/mm] r cos t+ ir sin t einsetzen kann. Wo ist hier dieses f in der Schwarzen Integrationsformel? Ich hab hier einfach für s die Parametrisierung eingesetzt. Stimmt das?
Danke!
milka
Kann ich das "i" aus [mm] \bruch{1}{2i\p} [/mm] einfach weglassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> Hallo Felix,
>
> Ich habe jetzt die Schwarz'sche Integralformel hergenommen,
> aber ich komm einfach nicht auf einen grünen Zweig.
> Die Schwarzsche Integralformel ist wie gegeben.
> Nun habe ich folgendes gemacht, was du mir gesagt hast:
>
> u(z)+ i v(z) = [mm]\bruch{1}{2i \pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{}{ \bruch{Re(u(s)+iv(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds}[/mm]
> + Im(u(0)+ iv(0))i
> Dann habe ich die Parametrisierung angewendet und den
> Realteil extrahiert:
>
>
> u(z) = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{Re(u(r cos t+ ir sin t)+iv(rcos t+i r sin t}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{u(r cos t+ ir sin t)}{s} \bruch{s+z}{s-z} ds}[/mm]
Du musst schon jedes Vorkommen von $s$ durch die Parametrisierung tauschen! Ansonsten geht das nicht!
(Noch was: verwende bitte \cos und \sin anstatt nur cos und sin zu schreiben, das ist dann lesbarer...)
> Kann ich das "i" aus [mm]\bruch{1}{2i\p}[/mm] einfach weglassen?
Nein. Es ist [mm] $\frac{1}{i} [/mm] = -i$. Wenn du von allem den Realteil nimmst, musst du halt von dem was du mit $i$ multiplizierst den Imaginaerteil nehmen...
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:40 Do 01.06.2006 | | Autor: | wetterfrosch |
Keine Ahnung, was damit gemeint ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Do 01.06.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo wetterfrosch,
Löst du auch dieselbe Aufgabe?
lies einfach unten, was ich geschrieben habe, evtl. hilft dir das weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Keine Ahnung, was damit gemeint ist.
Eine selten kreative Aussage. Kannst du das etwas konkretisieren?
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich versteh nicht ganz, was du damit meinst, dass ich, wenn ich von allem dem Realteil nehme, dass ich dann den Imaginärteil nehmen muss. Was meinst du mit i multiplizieren?
Muss ich die ganze Gleichung mit i multiplizieren? Dann würde ja der Realteil zum Imaginärteil und der Imaginrteil zum Realteil werden. Aber dann würde ja dann links auch nicht mehr u(z) stehen, sondern -v(z).
Oder versteh ich das falsch?
Ich habe jetzt überall wo das s steht, die Parametrisierung eingetzt. Jetzt stecke ich fest, wenn ich u(z) =..... bestimmen muss. Was muss ich jetzt genau auf der rechten Seite " wegschmeißen" und was muss ich behalten? Den hinteren Teil mit dem Im(u(o)+i(v(0))i kann ich mir doch sparen, weil der ja imaginär ist. Wie siehts mit dem riesigen Bruch aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> Ich versteh nicht ganz, was du damit meinst, dass ich,
> wenn ich von allem dem Realteil nehme, dass ich dann den
> Imaginärteil nehmen muss. Was meinst du mit i
> multiplizieren?
Na, du hast $f(z) = [mm] \frac{1}{2\pi i} [/mm] ... + ... = [mm] -2\pi [/mm] i ... + ...$. Und wenn du den Realteil nimmst, ist das gerade [mm] $\Re [/mm] f(z) = [mm] \Re (-2\pi [/mm] i ...) + [mm] \Re [/mm] ... = [mm] -2\pi \Im [/mm] ... + [mm] \Re [/mm] ...$.
> Ich habe jetzt überall wo das s steht, die
> Parametrisierung eingetzt. Jetzt stecke ich fest, wenn ich
> u(z) =..... bestimmen muss. Was muss ich jetzt genau auf
> der rechten Seite " wegschmeißen" und was muss ich
> behalten? Den hinteren Teil mit dem Im(u(o)+i(v(0))i kann
> ich mir doch sparen, weil der ja imaginär ist. Wie siehts
> mit dem riesigen Bruch aus?
Schreib das doch mal hier hin. So kann ich (und auch sonst keiner) nicht sehen was du gerechnet hast, ob es evtl. falsch ist und wie es nun wohl weitergeht...
LG Felix
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Hallo,
Also ich schreib mal alles hin, was ich so gerechnet habe:
u(z)+i v(z)= [mm] \bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{}{\bruch{Re(u(s)+iv(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z}ds} [/mm] + Im(u(0)+iv(0))i = [mm] -2i\pi \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{Re(u(r \cos t+ i r\sin t)+iv(r \cos t+ir \sint))}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}ds} [/mm] + Im(u(0)+iv(0))i
Nun ist ja Im(u(0)+iv(0))i = v(0)i
Also: u(z) = [mm] Re(-2i\pi \integral_{0}^{2\pi}{.... ds}) [/mm] + Re(v(0)i) = [mm] -2\pi [/mm] Im( [mm] \integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{Re(u(r \cos t+ i r\sin t)+iv(r \cos t+ir \sint))}{r \cos t+ir \sin t ds}})+ [/mm] 0
Soweit bin ich gekommen. Weiter bin ich noch nicht gekommen, weil ich nicht genau weiß, was ich jetzt mit dem Ausdruck machen soll, der nun als Imaginärteil da steht.
Vielen Dank für deine Mühe, dass du dir meine Aufgabe anschaust und immer so schnell antwortest!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka!
> Also ich schreib mal alles hin, was ich so gerechnet habe:
>
> u(z)+i v(z)= [mm]\bruch{1}{2i\pi} \integral_{\partial B_{r}(0)}^{}{\bruch{Re(u(s)+iv(s))}{s} \bruch{s+z}{s-z}ds}[/mm]
> + Im(u(0)+iv(0))i = [mm]-2i\pi \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{Re(u(r \cos t+ i r\sin t)+iv(r \cos t+ir \sint))}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}ds}[/mm]
> + Im(u(0)+iv(0))i
>
> Nun ist ja Im(u(0)+iv(0))i = v(0)i
Bisher richtig. (Abgesehen davon, dass die Integrationsvariable $t$ und nicht mehr $s$ heisst...)
Hier ist was durcheinandergekommen:
> Also: u(z) = [mm]Re(-2i\pi \integral_{0}^{2\pi}{.... ds})[/mm] +
> Re(v(0)i) = [mm]-2\pi[/mm] Im( [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{Re(u(r \cos t+ i r\sin t)+iv(r \cos t+ir \sint))}{r \cos t+ir \sin t ds}})+[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 0
Du muesstest folgendes da stehen haben: $u(z) = -\bruch{1}{2\pi} \Im \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{u(r \cos t+ i r\sin t)}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}dt}$. (Pass auf die Integrationsvariable auf, die ist nun $t$!)
Das ist nun gleich $u(z) = -\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{u(r \cos t+ i r\sin t) \Im \bruch{1}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}dt}$.
Wenn du jetzt $z = s \cos \alpha + i s \sin \alpha$ schreibst, solltest du $\Im \bruch{1}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z} = ... = \frac{r^2 - s^2}{r^2 - 2 r s \cos(t - \alpha) + s^2$ herausbekommen (mach dazu erstmal den Nenner reell). Wenn du das einsetzt, hast du gerade die Poisson-Formel dort stehen (mit $\beta := t$)...
LG Felix
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Hallo Felix!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich hab fast eine DIN A4 Seite gerechnet, bis ich endlich den Bruch hinten vom Integranden bekomme habe... 
Jetzt habe ich noch eine Frage:
In der Formel von Poisson ist der Vorfaktor ganz vorne doch positiv, also [mm] \bruch{1}{2\pi}. [/mm] Bei mir taucht aber am Ende immer noch das Minuszeichen vor [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] auf. Das war auch schon die ganze Zeit über in den vorherigen Schritten so, da ich doch das [mm] \bruch{1}{i} [/mm] im Nenner als -i geschrieben habe und dann mit i multipliziert habe und dann jeweils den Imaginärteil genommen habe.
Also:
> Das ist nun gleich [mm]u(z) = -\bruch{1}{2\pi} \integral_{0}^{2\pi}{u(r \cos t+ i r\sin t) \Im \bruch{1}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}dt}[/mm].
>
Da stimmt doch was nicht, oder? Bin schon so nah am Ziel...
Danke! Milka
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 So 04.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Felix oder Milka
Entschuldigt, ich fürchte ich steh grad irgendwie auf dem Schlaúch. Woher kommt im Nenner zwischen cos und sin denn das Minus?
$ u(z) = [mm] -\bruch{1}{2\pi} \Im \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{u(r \cos t+ i r\sin t)}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}dt} [/mm] $
Und Milka ich hätte noch eine kurze Frage, hast du aus genau dem Bruch hier die Poisson Formel erhalten? Bei mir bleiben dauernd ein sin t und ein r zu viel übrig (vielleicht hab ich mich aber auch verrechnet)
Wär nett wenn ihr mir kurz auf die Sprünge helft.
Danke Binie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Binie!
> Entschuldigt, ich fürchte ich steh grad irgendwie auf dem
> Schlaúch. Woher kommt im Nenner zwischen cos und sin denn
> das Minus?
>
> [mm]u(z) = -\bruch{1}{2\pi} \Im \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{u(r \cos t+ i r\sin t)}{r \cos t+ir \sin t} \bruch{(r \cos t + ir \sin t)+z}{(r \cos t-ir \sin t)-z}dt}[/mm]
Mmmh, es scheint sich um einen klassischen copy'n'paste-Vervielfaeltigten Tippfehler zu handeln  Ich hab die Formel aus Milkas Posting zusammenkopiert und da stand schon ein $-$ (es muss wirklich ein $+$ sein)... Ich hoff mal Milka hat das ganze ausserhalb des Forums richtig gerechnet...
> Und Milka ich hätte noch eine kurze Frage, hast du aus
> genau dem Bruch hier die Poisson Formel erhalten? Bei mir
> bleiben dauernd ein sin t und ein r zu viel übrig
> (vielleicht hab ich mich aber auch verrechnet)
> Wär nett wenn ihr mir kurz auf die Sprünge helft.
Mmmh, ich seh grad, da fehlt auch noch was. Und zwar ist das Wegintegral falsch umgeschrieben, da fehlt noch der Faktor $-r [mm] \sin [/mm] t + i r [mm] \cos [/mm] t$, die Ableitung von der Parametrisierung...
Also nochmal von vorne:
Es ist $f(z) = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B_r(0)} \frac{\Re f(s)}{s} \frac{s + z}{s - z} \; [/mm] ds + i [mm] \Im [/mm] f(0)$ fuer alle $z [mm] \in \partial B_r(0)$. [/mm] Damit ist $u(z) = [mm] \Re [/mm] f(z) = [mm] \Re \left(\frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{u(r e^{i \beta})}{r e^{i \beta}} \frac{r e^{i \beta} + z}{r e^{i \beta} - z} i r e^{i \beta} \; d\beta \right) [/mm] + [mm] \Re [/mm] (i [mm] \Im [/mm] f(0)) = [mm] \Re\left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(r e^{i \beta}) \frac{r e^{i \beta} + z}{r e^{i \beta} - z} \; d\beta\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} [/mm] u(r [mm] e^{i \beta}) \Re \frac{r e^{i \beta} + z}{r e^{i \beta} - z} \; d\beta$. [/mm] Mit $z = s [mm] e^{i \alpha} [/mm] = s [mm] \cos \alpha [/mm] + s i [mm] \sin \alpha$ [/mm] und $r [mm] e^{i \beta} [/mm] = r [mm] \cos \beta [/mm] + i [mm] \sin \beta$ [/mm] musst du also zeigen, dass [mm] $\Re \frac{r e^{i \beta} + s e^{i \alpha}}{r e^{i \beta} - s e^{i \alpha}} [/mm] = [mm] \frac{r^2 - s^2}{r^2 - 2 r s \cos(\beta - \alpha) + s^2}$ [/mm] ist.
Hoffentlich stimmts jetzt
LG Felix
Nachtrag: Hab das letzte auch noch nachgerechnet, hat geklappt. Am Besten erstmal mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitern, [mm] $\overline{e^{i t}} [/mm] = [mm] e^{-i t}$ [/mm] fuer $t [mm] \in \IR$ [/mm] ausnutzen und die Identitaeten [mm] $\cos [/mm] z = [mm] \frac{1}{2} (e^{i z} [/mm] + [mm] e^{-i z})$ [/mm] und [mm] $\sin [/mm] z = [mm] \frac{1}{2 i} (e^{i z} [/mm] - [mm] e^{-i z})$. [/mm] Dann steht das Ergebnis ein paar Zeilen spaeter da.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hey Felix
Danke, du bist echt ein Schatz und ich dachte schon ich spinne, nun ist es aber klar.
Liebe Grüße Binie
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Hallo,
ich glaube mit der Nachdifferenzierung der Parametrisierung stimmt was nicht, die lautet doch -r sin t + ir cost. Das ist doch nie im Leben gleich ir [mm] e^{i\beta}, [/mm] da fehlt doch so, wie Felix es schreibt, ein Minuszeichen, denn ich multipliziere den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{2i\pi} [/mm] mit i.
Ich hoffe, ich mach jetzt keinen Wurm rein....
Gruß milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Also der Weg ist doch
r cos(t) + i r sin(t)
abgeleitet nach t ergibt das
-r sin(t) + i r cos(t)
nun klammer i aus und du erhälst
i(i r sin(t) + r cos(t)) = i(r cos(t) + i r sin(t)) = i r [mm] e^{it}
[/mm]
dann zieh das i vor das Integral und du kannst es wegkürzen.
Wo lag jetzt das Problem, ist doch alles richtig, oder?
Liebe Grüße Binie
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Tut mir leid, ich hab mich vertan :)
Hab noch eine andere Frage,
wie lang hast du für die Berechnung des Zählers gebraucht? Bei mir ist das ne ganze Din A4 Seite. Gib es da vielleicht einen schnelleren Weg?
Das ist ja eine ewige Rechnerei bei mir....
Liebe Grüße,
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Ich schätze du hast mit sin und cos gerechent, das verkompliziert die Sache sehr. Mit der e-Funktion sinds echt nur ein paar Schritte (siehe Felix), aber mach dir keine Gedanken, ich hab mich auch am Anfang verhauen und dann erstmal ins Leere gerechnet.
Vielleicht hast du ja morgen die Zeit in Ruhe nochmal alles aufzuschrieben und dann siehst du es geht ganz schnell.
Gute Nacht Binie
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