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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 Do 17.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Eine quadratische Matrix H über den Komplexen Zahlen heißt hermitesch, wenn [mm] H=\overline{H^{T}}
[/mm]
Zeigen Sie:
1) Jede invertierbare Matrix M über [mm] \IC [/mm] lässt sich darstellen als M=H*U wobei H hermitesch ist und U unitär.
2) Zu einer hermiteschen Matrix H und zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine Matrix [mm] \wurzel[n]{H} [/mm] mit [mm] (\wurzel[n]{H})^{n}=H
[/mm]
3) Ist H hermitesch und seien A:=H+i*E und B:=H-i*E (E: Einheitsmatrix)
a) A und B sind invertierbar
b) A und B kommutieren
c) [mm] B*A^{-1} [/mm] ist unitär und hat 1 nicht als Eigenwert |
Haidiho!
Zu 1):
Na da hab ich mal so keinen blassen Schimmer, wie ich das zeigen sollte. -_-
Zu 2):
Hilft es da vielleicht, dass H konjugiert ist zu einer Diagonalmatrix über den reellen Zahlen? Denn wenn man solche potenziert muss man ja nur die Diagonaleinträge potenzieren...
Zu 3):
a) hängt doch sicherlich damit zusammen, dass H selbst nur reelle Diagonaleinträge hat...
Aber wie beweist man denn die Invertierbarkeit? Kann man irgendwie zeigen, dass die Determinanten ungleich 0 sind?
b) ist klar, kann man ja einfach ausrechnen: [mm] H^{2}+E
[/mm]
c) allerdings nicht mehr so...
Warum ist das Ding denn unitär? Und 1 nicht als EW???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Fr 18.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Das sind interessante Aufgaben.
1) Ich hab mal aufgeschrieben,was man alles hat
[mm] $M^{-1}M=1_n$,$H=\overline{H^T}$,$U\overline{U^T}=1_n=\overline{U^T}U$,$\overline{U^T}=U^{-1}$. [/mm] Außerdem sollte man Darauf kommen, dass H auch invertiebar ist. (Ich bin auch noch nicht weitergekommen. Vielleicht gilft dir dass. Ich mach mir auch noch ein paar gedanken)
3) a) Was heißt denn invertierbar? (Tipp:Rang,Skalarprodukt,Eigenwerte=0?) Nimm das Gegenteil an führe es zu dem Widerspruch, das am Ende ein imaginärer Eigenwert heraus kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Sa 19.06.2010 | | Autor: | valoo |
Zu 1):
Was ist denn wenn man die Basis aus den Spalten von M orthonormalisiert? Und U dann aus diesen Basisvektoren besteht? Gibts dann ne hermitesche Matrix, sodass das gilt?
Oder gibt es eine Matrix A zu der M unitär konjugiert ist [mm] M=U^{-1}*A*U, [/mm] sodass [mm] U^{-1}*A [/mm] hermitesch ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Fr 09.07.2010 | | Autor: | valoo |
So, da ich gebeten wurde, die Lösungen hier niederzuschreiben:
Aufgabe 1:
w.w.: [mm] \forall M\in Gl_{n}(\IC) \exists [/mm] U, [mm] U'\in [/mm] U(n), [mm] D=diag(d_{1},...,d_{n}) [/mm] mit [mm] d_{i}\in \IR^{+}, [/mm] sodass M=U*D*U'
Es gilt: [mm] M=U*D*U'=U*D*U^{-1}*U*U'
[/mm]
Setze [mm] H:=U*D*U^{-1} [/mm] und [mm] \overline{U}:=U*U'
[/mm]
H ist hermitesch und positiv definit, [mm] \overline{U} [/mm] natürlich unitär
Aufgabe 3:
a)
Die beiden sind invertierbar. Wäre nämlich 0 Eigenwert so wäre i bzw. -i EW von H, aber H ist hermitesch.
c)
[mm] [B*A^{-1}]*\overline{[B*A^{-1}]^{T}}=E [/mm] (nach ein bisschen Rumrechnen...)
1 EW von [mm] B*A^{-1} \Rightarrow -i*\vec{v}=i*\vec{v} [/mm] für einen EV [mm] \vec{v} [/mm] zu 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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