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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Mi 10.07.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Seien A [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] mit A = [mm] A^{H} [/mm] , f(z) : = [mm] \bruch{z-i}{z+i} [/mm] und g(z):= i [mm] \bruch{1+z}{1-z}. [/mm] Zeigen Sie:
a) f it auf dem Spektrum von A definiert und für U:= f(A) gilt [mm] U^{H} [/mm] = [mm] U^{-1}
[/mm]
b) g ist auf dem Spektrum von U definiert und es gilt A= g(U)
2) Zeigen Sie: Ist A [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] normal und f(z) = [mm] \bruch{az + b}{cz+d} [/mm] mit ad - bc [mm] \not= [/mm] 0 auf dem Spektrum von A definiert, so gilt f(A) = (aA + bI)(cA + [mm] dI)^{-1}
[/mm]
Bemerkung f(A) und g(U) sind jeweils über die JNF definiert. |
Guten Abend =)
die 1a) habe ich gezeigt, indem ich festgestellt habe, dass es n Jordanblöcke in der Form 1x1 gibt. Und [mm] U^{H} [/mm] = [mm] U^{-1} [/mm] habe ich gezeigt, indem ich einfach eingesetzt habe.
b) wie kann ich die nun zeigen? muss ich hier nicht auch feststellen, wie groß die jordanblöcke sind?
lg Richler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien A [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] mit A = [mm]A^{H}[/mm] , f(z) : =
> [mm]\bruch{z-i}{z+i}[/mm] und g(z):= i [mm]\bruch{1+z}{1-z}.[/mm] Zeigen
> Sie:
>
> a) f it auf dem Spektrum von A definiert und für U:= f(A)
> gilt [mm]U^{H}[/mm] = [mm]U^{-1}[/mm]
> b) g ist auf dem Spektrum von U definiert und es gilt A=
> g(U)
>
> 2) Zeigen Sie: Ist A [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] normal und f(z) =
> [mm]\bruch{az + b}{cz+d}[/mm] mit ad - bc [mm]\not=[/mm] 0 auf dem Spektrum
> von A definiert, so gilt f(A) = (aA + bI)(cA + [mm]dI)^{-1}[/mm]
>
> Bemerkung f(A) und g(U) sind jeweils über die JNF
> definiert.
>
> Guten Abend =)
> die 1a) habe ich gezeigt, indem ich festgestellt habe,
> dass es n Jordanblöcke in der Form 1x1 gibt. Und [mm]U^{H}[/mm] =
> [mm]U^{-1}[/mm] habe ich gezeigt, indem ich einfach eingesetzt habe.
Gut.
> b) wie kann ich die nun zeigen? muss ich hier nicht auch
> feststellen, wie groß die jordanblöcke sind?
Die haben auch Groesse 1: normale Matrizen sind unitaer diagonalisierbar (Spektralsatz).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
stimmt ja, danke =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
wieso gilt hier A= g(U) und wieso ist der eigenwert ungleich z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> wieso gilt hier A= g(U) und
Du hast doch eine recht explizite Beschreibung fuer $U$, mit der du $U [mm] U^H [/mm] = [mm] U^H [/mm] U = [mm] E_n$ [/mm] gezeigt hast. Mit dieser kannst du jetzt $g(U)$ berechnen und solltest sehen, dass da gerade $A$ herauskommt.
Wenn nicht, rechne doch mal $g(f(z))$ aus.
> wieso ist der eigenwert ungleich z?
Was meinst du damit? $z$ ist eine Variable in den Funktionsdefinitionen von $f$ und $g$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
Kann mir jmd. einen Tipp zu der 2. Aufgabe geben? Ich habe keine Idee, wie ich daran gehen soll. Das soll wohl mit irgend einen Trick funktionieren, den ich leider nicht kenne =(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Do 11.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kann mir jmd. einen Tipp zu der 2. Aufgabe geben? Ich habe
> keine Idee, wie ich daran gehen soll. Das soll wohl mit
> irgend einen Trick funktionieren, den ich leider nicht
> kenne =(
Auch hier wieder: die Matrix ist normal, also unitaer diagonalisierbar. Verwende die Definition via JNF.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
was meinst du mit def via jnf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Do 11.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> was meinst du mit def via jnf?
Das solltest Du doch wissen !
In der Aufgabenstellung steht doch:
"Bemerkung f(A) und g(U) sind jeweils über die JNF definiert. "
Also: wie habt Ihr den Funktionalkalkül definiert ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Do 11.07.2013 | | Autor: | Richler |
f(A) = S f(J) [mm] S^{-1} [/mm] mit f(j) = diag ( f ( [mm] J_{1}(lambda_{1} [/mm] , ..., f ( [mm] J_{m}(lambda_{m}
[/mm]
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