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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter Matheraum,
leider habe ich ein kleines Problem zu folgender Aufgabe:
Es geht darum für die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) mapsto [mm] y^2 x-3y^2-5x^2-6x [/mm] die kritischen Punkte, sowie alle lokalen Extremalstellen zu finden und zu prüfen, ob es sich um lokale Minima oder lokale Maxima handelt.
Mein Lösungsvorschlag:
Ich berechne zunächst [mm] grad_{(x,y)}f=\vec{0}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2-10x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2yx-6y
[/mm]
Es ergibt sich somit: [mm] grad_{(x,y)}f=\pmat{ y^2-10x \\ 2yx-6y }=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
2yx=6y [mm] \Rightarrow [/mm] x=3
[mm] y^2=10x+6 \Rightarrow y=\pm [/mm] 6
Es ergeben sich somit die Punkte [mm] P_1=(3,6) [/mm] und [mm] P_2=(3,-6)
[/mm]
Als nächstes berechne ich die Hessematrix
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-10
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2x-6
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)= \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)=2y
[/mm]
Und die Hessemtarix ergibt sich somit zu:
[mm] hess_{x,y}f=\pmat{ -10 & 2y \\ 2y & 2x-6 }
[/mm]
in [mm] P_1=(3,6) [/mm] ergibt sich die Hessematrix zu [mm] hess_{(3,6)}f=\pmat{ -10 & 12 \\ 12 & 0 }
[/mm]
in [mm] P_2=(3,-6) [/mm] ergibt sich die Hessemaztrix zu [mm] hess_{(3,-6)}=\pmat{ -10 & -12 \\ -12 & 0 }
[/mm]
Nun gilt laut Sprechstunde:
det [mm] hess_{x,y}f [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] keine Extrema
det [mm] hess_{x,y}f [/mm] > 0 und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Minimum
det [mm] hess_{x,y}f [/mm] > 0 und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Maximum
det [mm] hess_{x,y}f [/mm] = 0 keine Aussage
Ich berechne also:
det [mm] hess_{(3,6)}f=\pmat{ -10 & 12 \\ 12 & 0 }=(-10 \cdot [/mm] 0)-(12 [mm] \cdot [/mm] 12)=-144
det [mm] hess_{(3,-6)}=\pmat{ -10 & -12 \\ -12 & 0 }=(-10 \cdot [/mm] 0)-(-12 [mm] \cdot [/mm] -12)=-144
Es wäre ja somit jeweils im Punkt [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] keine lokalen Extremalstellen...
Kann das stimmen oder nicht???
mfg thadod
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Hallo thadod,
> Sehr geehrter Matheraum,
>
> leider habe ich ein kleines Problem zu folgender Aufgabe:
>
> Es geht darum für die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR,[/mm] (x,y)
> mapsto [mm]y^2 x-3y^2-5x^2-6x[/mm] die kritischen Punkte, sowie alle
> lokalen Extremalstellen zu finden und zu prüfen, ob es
> sich um lokale Minima oder lokale Maxima handelt.
>
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> Ich berechne zunächst [mm]grad_{(x,y)}f=\vec{0}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2-10x[/mm]
>
Hier muses doch stehen:[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2-10x\red{-6}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)=2yx-6y[/mm]
>
> Es ergibt sich somit: [mm]grad_{(x,y)}f=\pmat{ y^2-10x \\ 2yx-6y }=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> 2yx=6y [mm]\Rightarrow[/mm] x=3
> [mm]y^2=10x+6 \Rightarrow y=\pm[/mm] 6
>
> Es ergeben sich somit die Punkte [mm]P_1=(3,6)[/mm] und [mm]P_2=(3,-6)[/mm]
>
> Als nächstes berechne ich die Hessematrix
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-10[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=2x-6[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y)= \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)=2y[/mm]
>
> Und die Hessemtarix ergibt sich somit zu:
>
> [mm]hess_{x,y}f=\pmat{ -10 & 2y \\ 2y & 2x-6 }[/mm]
>
> in [mm]P_1=(3,6)[/mm] ergibt sich die Hessematrix zu
> [mm]hess_{(3,6)}f=\pmat{ -10 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
>
> in [mm]P_2=(3,-6)[/mm] ergibt sich die Hessemaztrix zu
> [mm]hess_{(3,-6)}=\pmat{ -10 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm]
>
> Nun gilt laut Sprechstunde:
>
> det [mm]hess_{x,y}f[/mm] < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] keine Extrema
>
> det [mm]hess_{x,y}f[/mm] > 0 und [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm]
> > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] lokales Minimum
>
> det [mm]hess_{x,y}f[/mm] > 0 und [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm]
> < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] lokales Maximum
>
> det [mm]hess_{x,y}f[/mm] = 0 keine Aussage
>
> Ich berechne also:
>
> det [mm]hess_{(3,6)}f=\pmat{ -10 & 12 \\ 12 & 0 }=(-10 \cdot[/mm]
> 0)-(12 [mm]\cdot[/mm] 12)=-144
>
> det [mm]hess_{(3,-6)}=\pmat{ -10 & -12 \\ -12 & 0 }=(-10 \cdot[/mm]
> 0)-(-12 [mm]\cdot[/mm] -12)=-144
>
> Es wäre ja somit jeweils im Punkt [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] keine
> lokalen Extremalstellen...
>
> Kann das stimmen oder nicht???
>
Ja, das stimmt.
Es liegt in [mm]P_{1}[/mm] bzw.[mm]P_{2}[/mm] ein Sattelpunkt vor.
> mfg thadod
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo MathePower und danke für die Antwort...
Ich habe leider noch 2 allgemene Fragen... Kann man generell sagen, dass eine Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] immer nur 2 Punkte mit Nullstellen [mm] P_1=(x_1,y_1) [/mm] und [mm] P_2=(x_2,y_2) [/mm] besitzt, genauso wie dann eine Funktion [mm] \IR^3 \to \IR [/mm] nur 3 Punkte mit Nullstellen [mm] P_1=(x_1,y_1,z_1) [/mm] und [mm] P_2=(x_2,y_2,z_2) [/mm] und [mm] P_3=(x_3,y_3,z_3) [/mm] besitzt???
Und wie lässt sich begründen, dass es sich bei der gegebenen Funktion um einen Scheitelpunkt handelt???
Vielen Dank nochmal und mfg thadod
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Hallo thadod,
> Hallo MathePower und danke für die Antwort...
>
> Ich habe leider noch 2 allgemene Fragen... Kann man
> generell sagen, dass eine Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] immer
> nur 2 Punkte mit Nullstellen [mm]P_1=(x_1,y_1)[/mm] und
> [mm]P_2=(x_2,y_2)[/mm] besitzt, genauso wie dann eine Funktion [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> nur 3 Punkte mit Nullstellen [mm]P_1=(x_1,y_1,z_1)[/mm] und
> [mm]P_2=(x_2,y_2,z_2)[/mm] und [mm]P_3=(x_3,y_3,z_3)[/mm] besitzt???
>
Du meinst hier bestimmt Extremstellen.
Hier in diesem Beispiel hat die Funktion f sogar
3 Kandidaten für mögliche Extremstellen.
> Und wie lässt sich begründen, dass es sich bei der
> gegebenen Funktion um einen Scheitelpunkt handelt???
>
> Vielen Dank nochmal und mfg thadod
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo :)
Dann dürfte die Aufgabe ja eigentlich noch nicht fertig sein... Ja ich meinte Extremstellen bzw. Kritische Punkte (Sorry!!!)
Wieso haben wir 3 Extremstellen? Ich habe bisher nur 2 gefunden...
mfg thadod
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Hallo thadod,
> Hallo :)
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> Dann dürfte die Aufgabe ja eigentlich noch nicht fertig
> sein... Ja ich meinte Extremstellen bzw. Kritische Punkte
> (Sorry!!!)
>
> Wieso haben wir 3 Extremstellen? Ich habe bisher nur 2
> gefunden...
Zum einen hattest du bei der einen partiellen Ableitung [mm]-6[/mm] vergessen (siehe Mathepowers 1.Antwort)
Zum anderen gibt es in der korrigierten Fassung (in deiner auch) eine weitere Lösung für [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{0\\
0}[/mm]
Du kannst bei (deinem auch richtigen) [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] mal $2y$ ausklammern und bekommst neben $x=3$ auch $y=0$ als Lösung für [mm] $f_y(x,y)=0$
[/mm]
Damit dann in [mm] $f_x$ [/mm] rein ...
Mach' mal !
>
> mfg thadod
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
hallo und danke...
ja das stimmt ich hatte in der einen partiellen Ableitungen -6 vergessen (Sorry!!!) Die Ergebnisse sind aber trotzdem richtig da ich sie auf meinem Papier nicht vergessen habe :)
Okay dann setze ich y=0 dann erhalte ich natürlich noch [mm] P_3=(-\bruch{3}{5},0)
[/mm]
das muss ich dann auch noch in die Hessematrix einsetzen...
Meine Hessematrix lautet ja noch immer [mm] hess_{x,y}f=\pmat{ -10 & 2y \\ 2y & 2x-6 }
[/mm]
und für den Punkt [mm] P_3=(-\bruch{3}{5},0) [/mm] ergibt sich somit [mm] hess_{(-\bruch{3}{5},0)}f=\pmat{ -10 & 0 \\ 0 & -\bruch{6}{5} }
[/mm]
Es ergibt sich dann det [mm] hess_{(-\bruch{3}{5},0)}f=\pmat{ -10 & 0 \\ 0 & -\bruch{6}{5} }=\bruch{60}{5}-0=12 [/mm] > 0
und da [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-10 [/mm] < 0, haben wir ein lokales Maximum
mfg thadod
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Hallo thadod,
> hallo und danke...
>
> ja das stimmt ich hatte in der einen partiellen Ableitungen
> -6 vergessen (Sorry!!!) Die Ergebnisse sind aber trotzdem
> richtig da ich sie auf meinem Papier nicht vergessen habe
> :)
>
> Okay dann setze ich y=0 dann erhalte ich natürlich noch
> [mm]P_3=(-\bruch{3}{5},0)[/mm]
>
> das muss ich dann auch noch in die Hessematrix
> einsetzen...
>
> Meine Hessematrix lautet ja noch immer [mm]hess_{x,y}f=\pmat{ -10 & 2y \\ 2y & 2x-6 }[/mm]
>
> und für den Punkt [mm]P_3=(-\bruch{3}{5},0)[/mm] ergibt sich somit
> [mm]hess_{(-\bruch{3}{5},0)}f=\pmat{ -10 & 0 \\ 0 & -\bruch{6}{5} }[/mm]
>
>
> Es ergibt sich dann det [mm]hess_{(-\bruch{3}{5},0)}f=\pmat{ -10 & 0 \\ 0 & -\bruch{6}{5} }=\bruch{60}{5}-0=12[/mm]
> > 0
>
> und da [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=-10[/mm] < 0,
> haben wir ein lokales Maximum
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mfg thadod
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 06.12.2011 | | Autor: | thadod |
Fett dankeschön---
mfg thadod
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