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| Aufgabe | Sei $g$ eine Gerade,gegeben in Hessescher Normalform
$g= [mm] H_{C,\gamma}:= \{Z \in \IC . = \gamma \}$ [/mm] für $ 0 [mm] \neq [/mm] C [mm] \in \IC [/mm] $ und [mm] $\gamma \in \IR [/mm] $
$a)$ Bestimmen sie eine Formel für den Fußpunkt des Lotes auf die Gerade $ g= [mm] H_{C,\gamma}$ [/mm] durch einen Punkt $ P [mm] \in \IC.$
[/mm]
$b)$ Zeigen sie :Schreibt man die Gerade $ g= [mm] H_{C,\gamma}$ [/mm] in Hessescher Normalform mit $ |C|=1$ und $ [mm] \gamma \ge [/mm] 0$ ,so ist der Abstand eines Punktes $ P [mm] \in \IC$ [/mm] von der Geraden $g$ gleich [mm] $|-\gamma|$. [/mm] |
ich komme irgendwie nicht mit der aufgabe klar ,ich hab keinerlei Ansatz dafür ..:/ Hilfebitte..!!:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Do 02.07.2015 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Sei [mm]g[/mm] eine Gerade,gegeben in Hessescher Normalform
>
> [mm]g= H_{C,\gamma}:= \{Z \in \IC . = \gamma \}[/mm] für [mm]0 \neq C \in \IC[/mm]
Wie habt ihr eigentlich das Skalarprodukt in [mm] $\IC$ [/mm] definiert?
> und [mm]\gamma \in \IR[/mm]
>
> [mm]a)[/mm] Bestimmen sie eine Formel für den Fußpunkt des Lotes
> auf die Gerade [mm]g= H_{C,\gamma}[/mm] durch einen Punkt [mm]P \in \IC.[/mm]
Erstmal zu a: Das sieht schwieriger aus, als es ist. Analytische Geometrie aus der Schule ist bekannt? Ich gehe mal davon aus. Mach dir klar, dass Aufgabe a) aequivalent ist zu
Sei $g: [mm] (\vec{q}-\vec{x})\cdot\vec{n}=0$ [/mm] eine Gerade in [mm] $\IR^2$, [/mm] wobei [mm] $\vec{q}$ [/mm] ein Stuetzvektor und [mm] $\vec{n}$ [/mm] der Normalenvektor ist. Weiterhin sei ein Punkt [mm] $P\in\IR^2$ [/mm] gegeben. Bestimmt den Fusspunkt von $P$ auf $g$. (Hinweis: Bestimme die HIlfsgerade durch $P$ in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] und bestimme den Schnitt mit $g$.)
Wenn das klappt, dann sollte Aufgabe a) analog verlaufen.
>
> [mm]b)[/mm] Zeigen sie :Schreibt man die Gerade [mm]g= H_{C,\gamma}[/mm] in
> Hessescher Normalform mit [mm]|C|=1[/mm] und [mm]\gamma \ge 0[/mm] ,so ist
> der Abstand eines Punktes [mm]P \in \IC[/mm] von der Geraden [mm]g[/mm]
> gleich [mm]|-\gamma|[/mm].
Das geht auch aehnlich wie in der Geometrie. (Machen wir sonst spaeter!)
> ich komme irgendwie nicht mit der aufgabe klar ,ich hab
> keinerlei Ansatz dafür ..:/ Hilfebitte..!!:/
Gruss,
Chris
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hallo chris
sklaraprodukt ist so definiert
$<Z,W>= [mm] Re(\overline{Z},W)=xu+yv [/mm] , Z= x+iy, W=u+iv [mm] \in \IC$
[/mm]
also ich weis etwas ist orthogonal wenn das skalarprodukt null ist.
also
a)
Hilfsgerade
$h: [mm] \vec{p}+ \lambda *\vec{n} ;\forall \lambda \in \IR$
[/mm]
wo der punkt ist und n der normalenvektor
jetzt müsste ich h in die hesse normalform bringen und das dann gleich setzten mit g aber das fällt mir nicht so leicht. Eine gerade in parameterform in hesse zu bringen mit dem skalarprodukt..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Dich richtig verstehe hast Du gegeben (die blöden Pfeile lasse ich weg):
eine Gerade g in Normalform (1) $(q-x)*n=0$
und
eine Gerade h in Parameterform (2) $x=p+ [mm] \lambda [/mm] *n$.
Jetzt suchst Du den Schnittpunkt von g und h. Dazu setze (2) in (1) ein:
$(q-p- [mm] \lambda*n)*n=0$
[/mm]
Diese Gleichung kannst Du nach [mm] \lambda [/mm] auflösen ......
FRED
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Also ich hab da jetzt $ [mm] \lambda=\frac{q-p}{n}$ [/mm] raus. Kommt mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab da jetzt [mm]\lambda=\frac{q-p}{n}[/mm] raus.
Hä ?? Das ist Unfug ! [mm] \lambda [/mm] ist eine reelle Zahl. q-p ist ein Vektor , n ebenso. Du dividierst durch einen Vektor !!!!!!
FRED
> Kommt
> mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht
> wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Fr 03.07.2015 | | Autor: | Chris84 |
> > Also ich hab da jetzt [mm]\lambda=\frac{q-p}{n}[/mm] raus.
>
> Hä ?? Das ist Unfug ! [mm]\lambda[/mm] ist eine reelle Zahl. q-p
> ist ein Vektor , n ebenso. Du dividierst durch einen Vektor
> !!!!!!
Gerade bei Anfaengern ist es manchmal doch gut, diese bloeden Pfeile mitzunehmen ^^
>
> FRED
>
>
>
> > Kommt
> > mir aus der schule auch bekannt vor, aber ich weis nicht
> > wie ich das auf die a uebertragen soll. ..:/
>
Wie gesagt: Falsch!
Multipliziere die Klammer aus (Skalarprodukt). Dann hast du 1 Gleichung fuer [mm] $\lambda$.
[/mm]
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Also einfach $ [mm] n*q-n*p-\lambda*n*n [/mm] =<n, [mm] (q-p)>-\lambda*n$?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also einfach [mm]n*q-n*p-\lambda*n*n =-\lambda*n[/mm]?
Nein. Wir haben die Gleichung
[mm] $n*q-n*p-\lambda*n*n [/mm] =0$.
Oder wenn Dir die Schreibweise des Skalarprodukts mit spitzen Klammern lieber ist:
$<n,q-p>- [mm] \lambda*=0.$
[/mm]
Dann ist
[mm] \lambda=\bruch{}{}
[/mm]
FRED
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Himmelswillen.da haette ich auch selbst drauf kommen können. ..sorry Fred. ..
Ich versteh jetzt nicht ganz was das lambda da mir sagen soll.ist das jetzt das skalar was man einsetzen muss um den schnittpunkt zwischen der hilfsgeraden und der HNF-geraden bekommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Himmelswillen.da haette ich auch selbst drauf kommen
> können. ..sorry Fred. ..
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> Ich versteh jetzt nicht ganz was das lambda da mir sagen
> soll.ist das jetzt das skalar was man einsetzen muss um den
> schnittpunkt zwischen der hilfsgeraden und der HNF-geraden
> bekommt?
Wir hatten
eine Gerade g in Normalform (1) $ [mm] (q-x)\cdot{}n=0 [/mm] $
und
eine Gerade h in Parameterform (2) $ x=p+ [mm] \lambda \cdot{}n [/mm] $.
Gesucht ist der Schnittpunkt [mm] x_0 [/mm] von g und h.
Mit
$ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{} [/mm] $
ist dieser gegeben durch
$ [mm] x_0=p+ \lambda_0 \cdot{}n [/mm] $.
FRED
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bei der b) ist das nicht genau wie bei der a) nur dass das jetzt auf normiert wird,sprich mit normierten einheitsvektor [mm] \vec{n}?
[/mm]
würde es dann nicht einfach
$ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{||} [/mm] $ sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Sa 04.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> bei der b) ist das nicht genau wie bei der a) nur dass das
> jetzt auf normiert wird,sprich mit normierten
> einheitsvektor [mm]\vec{n}?[/mm]
>
> würde es dann nicht einfach
>
> [mm]\lambda_0:=\bruch{}{||}[/mm] sein?
Es ist $<n,n> >0$, also $<n,n>=|<n,n>|$. Wenn n normiert ist, so ist $|<n,n>|=1.$
FRED
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ist dann die b nicht einfach
$ [mm] \lambda_0:=\bruch{}{||}= \bruch{}{1} [/mm] =<n,q-p> $
mit der lotfußpunkt gerade ,sodass der abstand jetzt normiert ist. Ich hab mir das so gedacht weil ja |C|=1 gegeben ist..:/
falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 06.07.2015 | | Autor: | Chris84 |
> ist dann die b nicht einfach
>
> [mm]\lambda_0:=\bruch{}{||}= \bruch{}{1} =[/mm]
>
> mit der lotfußpunkt gerade ,sodass der abstand jetzt
> normiert ist. Ich hab mir das so gedacht weil ja |C|=1
> gegeben ist..:/
>
>
> falsch?
Sieht ok aus. Insbesondere ist $C$ dein Normalenvektor der komplexen Gerade.
Es waere im Sinne der Aufgabe vlt. nochmal ganz sinnvoll, das, was wir nun im [mm] $\IR^2$ [/mm] gemacht haben, auf deine Aufgabe in [mm] $\IC$ [/mm] zu uebertragen bzw. die Groessen, die wir nun gebraucht haben, mit denen deiner Aufgabe zu identifizieren.
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