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| Aufgabe | | 1) Bestimmen Sie im [mm] \IR^2 [/mm] den Abstand des Punktes P = (-3,10) von der Geraden durch die Punkte A = (1,1) und B = (5,4). |
Hallo,
dies sollen wir mithilfe der Hesseschen Normalenform machen.
Die lautet bei uns genau so:
[mm] \vec{x}*\vec{n}-\vec{p}*\vec{n}=\vec{x}*\vec{n}-d=0
[/mm]
mit d der Abstand des Punktes von der Geraden glaube ich.
So, ich kann also die Geradengleichung auf für die Gerade durch A und B und die Geradengleichung für die Lotgerade kann ich auch aufstellen; aber ich verstehe nicht, was ich in diese Hessesche Normalform wie einsetzen kann!!?!
Muss man für den Vektor x jetzt die ganze Parameterdarstellung der Gerade durch A und B einsetzen und dann noch lamda ausrechenen? Oder was kommt darein? Vektor n ist in meinem Fall [mm] (-3,4)^t, [/mm] das ist schon klar. Aber was ist dann Vektor p? Ist damit vielleicht der Vektor OP gemeint, durch den die Lotgerade geht?
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte!!
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Fr 13.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> 1) Bestimmen Sie im [mm]\IR^2[/mm] den Abstand des Punktes P =
> (-3,10) von der Geraden durch die Punkte A = (1,1) und B =
> (5,4).
> Hallo,
> dies sollen wir mithilfe der Hesseschen Normalenform
> machen.
> Die lautet bei uns genau so:
>
> [mm]\vec{x}*\vec{n}-\vec{p}*\vec{n}=\vec{x}*\vec{n}-d=0[/mm]
>
> mit d der Abstand des Punktes von der Geraden glaube ich.
wie soll denn die HNF oben erraten, welchen Punkt du meinst?
p ist hier ein beliebiger Ortsvektor zur Geraden und nicht etwa ein Ortsvektor zum aussen liegenden Punkt P.
d ist der Abstand vom Ursprung.
> Muss man für den Vektor x jetzt die ganze
> Parameterdarstellung der Gerade durch A und B einsetzen und
> dann noch lamda ausrechenen?
Die Parameterdarstellung ist hier gar nicht erforderlich.
> Oder was kommt darein? Vektor
> n ist in meinem Fall [mm](-3,4)^t,[/mm] das ist schon klar.
nicht ganz. Bei der HNF muß n die Länge 1 haben, also dividiere n durch seine Länge.
> Aber was ist dann Vektor p?
irgendein Ortsvektor, nimm einfach den zu A.
Wenn du dann die HNF hast, setze für x einfach den Ortsvektor zum aussen liegenden Punkt P ein.
Dann kommt nach Ausrechnen der linken Seite der Abstand der Geraden zu P heraus.
LG
Will
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Hallo,
danke schonmal für die Antwort..
ist dann also mein Vektor [mm] n=\vektor{-3 \\ 4} [/mm] / [mm] |\vektor{-3 \\ 4}|
[/mm]
Also n = [mm] \vektor{-3 \\ 4} [/mm] / 5
Ist das richtig? Das kommt mir irgendwie komisch vor. Oder war das schon mit dem Vektor [mm] \vektor{-3 \\ 4} [/mm] falsch? Aber er muss doch orthogonal sein zu dem Richtungsvektor der Geraden, oder?
Und wie kann ich das verstehen, dass man das Ergebnis nach Errechnen der linken Seite bekommt? Ist nicht d der gesuchte Abstand? Also braucht man die rechte Seite der Gleichung, die ich mit aufgeschrieben habe, gar nicht?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 15.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Anna,
> ist dann also mein Vektor ... n = [mm]\vektor{-3 \\ 4}[/mm] / 5
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oder hübscher: [mm] $\vec{n}_0=\frac{1}{5}\vektor{-3 \\ 4}$
[/mm]
Allgemein: [mm] $\vec{n}_0=\frac{\vec {n}}{|\vec{n}|}$ [/mm] (mit [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] als "Hesseschem Normalenvektor" der Länge 1).
> Ist das richtig? Das kommt mir irgendwie komisch vor. Oder
> war das schon mit dem Vektor [mm]\vektor{-3 \\ 4}[/mm] falsch?
Da der Richtungsvektor [mm] $\vektor{4 \\ 3}$ [/mm] lautet (wenn ich richtig geschaut habe), ist Dein Normalenvektor völlig richtig.
> Und wie kann ich das verstehen, dass man das Ergebnis nach
> Errechnen der linken Seite bekommt? Ist nicht d der
> gesuchte Abstand?
Wie koepper schon schrieb: d ist der Abstand zum Ursprung.
Verschiedene Punkte haben verschiedene Abstände zu Geraden.
Das d ist aber für die Gerade konstant.
Wie koepper ebenfalls schon anmerkte: Der Vektor [mm] $\vec [/mm] p$ in Deiner HNF ist nicht der Punkt (natürlich korrekter: "Ortsvektor zu dem Punkt"), dessen Abstand wir haben wollen, sondern ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Das, was man in der Parameterform als Stützvektor oder Hinführungsvektor (o.ä.) kennt.
Wenn Du für [mm] $\vec{x}$ [/mm] einen Punkt der Geraden einsetzt, muss die Gleichung "stimmen", dann muss also null rauskommen.
Wenn Du einen Punkt einsetzt, der nicht auf der Geraden liegt, dann stimmt die Gleichung nicht, dann kommt nämlich nicht null raus. Stattdessen erhält man praktischerweise eben gerade den Abstand, den dieser Punkt von der Geraden hat.
(Und wenn Du für [mm] $\vec{x}$ [/mm] den Ursprung einsetzt, bleibt nur noch das d übrig, somit ist d der Abstand zum Ursprung.)
Nochmal, weil man's gern mal übersieht: Der Normalenvektor muss dafür die Länge eins haben, sonst stimmt sozusagen der Maßstab nicht.
> Also braucht man die rechte Seite der
> Gleichung, die ich mit aufgeschrieben habe, gar nicht?
Die Null auf der rechten Seite gehört natürlich zur korrekten (H)NF, aber für die Abstandsberechnung ist sie irrelevant.
Du könntest die HNF abwandeln und Dir daraus diese Abstandsformel bilden (sei s der gesuchte Abstand und [mm] $\vec [/mm] q$ der Ortsvektor zum gegebenen Punkt):
$ [mm] \vec{q}*\vec{n}_0-d=s [/mm] $
Schöne Grüße
ardik
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Di 17.06.2008 | | Autor: | jersey17 |
Hallo,
ich muss die selbe Aufgabe auch berechnen.
Wie ist es dabei, wenn ich das d berechne?
Ich weiß ja, dass [mm] d= \vec p * \vec n [/mm]
muss ich dabei den normierten [mm] \vec n [/mm] nehmen?
für den Fall ohne den Normierten bekomme ich hinterher [mm] \bruch{44}{5} [/mm]
heraus und für den anderen Fall [mm] \bruch{48}{5} [/mm]
Was kann denn das richtige Ergebnis sein?
LG
Jersey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 17.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Ich weiß ja, dass [mm]d= \vec p * \vec n[/mm]
> muss ich dabei den
> normierten [mm]\vec n[/mm] nehmen?
für die HNF ist immer der normierte Normalenvektor zu verwenden.
LG
Will
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