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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Es sei [mm] (e_n)_{n\in\IZ} [/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X. Zeigen Sie:
(1) Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ liegt die Folge [mm] $\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}$ [/mm] in [mm] $l^2(\IZ)$.
[/mm]
(2) Die Zuordnung [mm] $x\mapsto \hat{x}$ [/mm] definiert einen isometrischen Isomorphismus [mm] $T:X\to l^2(\IZ)$; [/mm] m.a.W. ist $T$ ein [mm] $\IC$-linearer [/mm] Isomorphismus, der das Skalarprodukt invariant lässt: [mm] $\langle Tx|Ty\rangle$, [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$. |
Hallo nochmal!
Auch das hier ist eine alte Übungsaufgabe, deren Lösung ich nicht verstehe...
Zu 1) haben wir nur geschrieben:
[mm] $x\in [/mm] X$: [mm] $\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||x||^2<\infty$
[/mm]
Was soll mir das sagen? Was genau muss man hier zeigen?
Und bei 2) haben wir etwas mehr aufgeschrieben, was ich aber nicht verstehe. Aber hier verstehe ich auch die Aufgabenstellung gar nicht wirklich - was muss man denn hier zeigen? Evtl. tippe ich morgen noch "unsere Lösung"...
Wäre schön, wenn mir jemand ein paar erklärende Worte hierzu schreiben könnte, vllt verstehe ich diese Lösung ja dann.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Es sei [mm](e_n)_{n\in\IZ}[/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X.
> Zeigen Sie:
> (1) Für jedes [mm]x\in X[/mm] liegt die Folge [mm]\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}[/mm]
> in [mm]l^2(\IZ)[/mm].
> Auch das hier ist eine alte Übungsaufgabe, deren Lösung ich
> nicht verstehe...
> Zu 1) haben wir nur geschrieben:
> [mm]x\in X[/mm]: [mm]\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2<\infty[/mm]
>
> Was soll mir das sagen? Was genau muss man hier zeigen?
[mm] $\ell^2(\IZ)$ [/mm] ist als die Menge aller Folgen [mm] $x:\;\IZ\rightarrow \IC$, [/mm] mit [mm] $\sum_{i\in \IZ} |x_i|^2<\infty$, [/mm] definiert ("Raum der quadratsummierbaren Folgen").
Diese Beschränktheit der Summe der Betragsquadrate der Folgenglieder von [mm] $\hat{x} [/mm] := [mm] (\langle [/mm] x| [mm] e_i\rangle)_{i\in \IZ}$ [/mm] gilt es also zu zeigen. Beim Beweis wurde die sogenannte "Parseval'sche Gleichung" [mm] $\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2$ [/mm] verwendet, die für jede Hilbertraumbasis [mm] $(e_i)_{i\in\IZ}$ [/mm] von $X$ und jedes [mm] $x\in [/mm] X$ gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Somebody!
> > Es sei [mm](e_n)_{n\in\IZ}[/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X.
> > Zeigen Sie:
> > (1) Für jedes [mm]x\in X[/mm] liegt die Folge [mm]\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}[/mm]
> > in [mm]l^2(\IZ)[/mm].
>
> > Auch das hier ist eine alte Übungsaufgabe, deren Lösung ich
> > nicht verstehe...
> > Zu 1) haben wir nur geschrieben:
> > [mm]x\in X[/mm]: [mm]\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2<\infty[/mm]
>
> >
> > Was soll mir das sagen? Was genau muss man hier zeigen?
>
> [mm]\ell^2(\IZ)[/mm] ist als die Menge aller Folgen
> [mm]x:\;\IZ\rightarrow \IC[/mm], mit [mm]\sum_{i\in \IZ} |x_i|^2<\infty[/mm],
> definiert ("Raum der quadratsummierbaren Folgen").
> Diese Beschränktheit der Summe der Betragsquadrate der
> Folgenglieder von [mm]\hat{x} := (\langle x| e_i\rangle)_{i\in \IZ}[/mm]
> gilt es also zu zeigen. Beim Beweis wurde die sogenannte
> "Parseval'sche Gleichung" [mm]\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2[/mm]
> verwendet, die für jede Hilbertraumbasis [mm](e_i)_{i\in\IZ}[/mm]
> von [mm]X[/mm] und jedes [mm]x\in X[/mm] gilt.
Danke, aber warum ist das Ganze dann endlich?
Viele Grüße
Bastiane
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> Hallo Somebody!
>
> > > Es sei [mm](e_n)_{n\in\IZ}[/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X.
> > > Zeigen Sie:
> > > (1) Für jedes [mm]x\in X[/mm] liegt die Folge
> [mm]\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}[/mm]
> > > in [mm]l^2(\IZ)[/mm].
> >
> > > Auch das hier ist eine alte Übungsaufgabe, deren Lösung ich
> > > nicht verstehe...
> > > Zu 1) haben wir nur geschrieben:
> > > [mm]x\in X[/mm]: [mm]\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2<\infty[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was soll mir das sagen? Was genau muss man hier zeigen?
> >
> > [mm]\ell^2(\IZ)[/mm] ist als die Menge aller Folgen
> > [mm]x:\;\IZ\rightarrow \IC[/mm], mit [mm]\sum_{i\in \IZ} |x_i|^2<\infty[/mm],
> > definiert ("Raum der quadratsummierbaren Folgen").
> > Diese Beschränktheit der Summe der Betragsquadrate der
> > Folgenglieder von [mm]\hat{x} := (\langle x| e_i\rangle)_{i\in \IZ}[/mm]
> > gilt es also zu zeigen. Beim Beweis wurde die sogenannte
> > "Parseval'sche Gleichung" [mm]\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2\red{=}||x||^2[/mm]
> > verwendet, die für jede Hilbertraumbasis [mm](e_i)_{i\in\IZ}[/mm]
> > von [mm]X[/mm] und jedes [mm]x\in X[/mm] gilt.
>
> Danke, aber warum ist das Ganze dann endlich?
Weil [mm] $||x||^2<\infty$, [/mm] d.h. die Norm eines Vektors von $X$ ist endlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
> Es sei [mm](e_n)_{n\in\IZ}[/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X.
> Zeigen Sie:
> (1) Für jedes [mm]x\in X[/mm] liegt die Folge [mm]\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}[/mm]
> in [mm]l^2(\IZ)[/mm].
> (2) Die Zuordnung [mm]x\mapsto \hat{x}[/mm] definiert einen
> isometrischen Isomorphismus [mm]T:X\to l^2(\IZ)[/mm]; m.a.W. ist [mm]T[/mm]
> ein [mm]\IC[/mm]-linearer Isomorphismus, der das Skalarprodukt
> invariant lässt: [mm]\langle Tx|Ty\rangle[/mm], für alle [mm]x,y\in X[/mm].
Also zum zweiten haben wir folgendes aufgeschrieben:
[mm] $\langle \cdot|\cdot\rangle$ [/mm] ist linear in der 1. Komponente (das ist klar)
[mm] $||x||^2=\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||\hat{x}||^2$ [/mm] (das erste ist ja wieder die Parseval-Gleichung, aber wieso gilt das zweite Gleichheitszeichen?)
[mm] $\forall f\in l^2(\IZ)\:\exists x\in [/mm] X: [mm] \hat{x}=f$
[/mm]
[mm] $f\in l^2(\IZ)$ [/mm] bel.
[mm] $x:=\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n\in X\;\;\hat{x}=f$
[/mm]
[mm] $x\in X$\;\;\exists y\in X\;\;\hat{y}=(\langle x|e_n\rangle)_n$
[/mm]
[mm] $y=\sum\limits_{n\in \IZ}\langle y|e_n\rangle e_n=\sum\limits_{n\in\IZ}\langle x|e_n\rangle e_n=x$
[/mm]
Leider habe ich keinerlei Kommentare dazu und keine Ahnung, was hier gemacht wird. Vielleicht könnte mir das ja jemand erklären.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo nochmal!
>
> > Es sei [mm](e_n)_{n\in\IZ}[/mm] eine Hilbertbasis im Hilbertraum X.
> > Zeigen Sie:
> > (1) Für jedes [mm]x\in X[/mm] liegt die Folge [mm]\hat{x}:=(\langle x|e_n\rangle )_{n\in\IZ}[/mm]
> > in [mm]l^2(\IZ)[/mm].
> > (2) Die Zuordnung [mm]x\mapsto \hat{x}[/mm] definiert einen
> > isometrischen Isomorphismus [mm]T:X\to l^2(\IZ)[/mm]; m.a.W. ist [mm]T[/mm]
> > ein [mm]\IC[/mm]-linearer Isomorphismus, der das Skalarprodukt
> > invariant lässt: [mm]\langle Tx|Ty\rangle[/mm], für alle [mm]x,y\in X[/mm].
>
> Also zum zweiten haben wir folgendes aufgeschrieben:
>
> [mm]\langle \cdot|\cdot\rangle[/mm] ist linear in der 1. Komponente
> (das ist klar)
> [mm]||x||^2=\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||\hat{x}||^2[/mm]
> (das erste ist ja wieder die Parseval-Gleichung, aber wieso
> gilt das zweite Gleichheitszeichen?)
Richtig: das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Parseval'schen Gleichung. Das zweite Gleichheitszeichen gilt aufgrund der Definition der Norm von [mm] $\ell^2(\IZ)$. [/mm] Die Argumentation ist verwirrend, weil zwei Hilberträume und deren durch [mm] $\hat{\phantom{x}}:x\mapsto \hat{x}$ [/mm] vermittelte Beziehung zueinander, zur Diskussion stehen. Einerseits der Hilbertraum $X$ mit Hilbertbasis [mm] $(e_i)_{i\in \IZ}$ [/mm] und, andererseits, der Hilbertraum [mm] $\ell^2(\IZ)$, [/mm] mit Hilbertbasis [mm] $(\delta_{ij})_{i\in \IZ}$.
[/mm]
Die Sache wird nicht übersichtlicher dadurch, dass z.B. für die Norm eines Elementes $x$ von $X$ und eines Elementes [mm] $\hat{x}$ [/mm] von [mm] $\ell^2(\IZ)$, [/mm] dasselbe Symbol verwendet wird. Analog mit dem Skalarprodukt, das auch für beide Räume gleich geschrieben wird. Man muss sich eben, aufgrund des Kontexts der Verwendung solcher Symbole, klar machen, welche Norm und welches Skalarprodukt nun genau gemeint ist.
[mm] $\hat{x}$ [/mm] liegt in [mm] $\ell^2(\IZ)$ [/mm] (dem Raum der quadratsummierbaren Folgen), weil wir mit der obigen Gleichung gezeigt haben, dass [mm] $||\hat{x}||^2=||x||^2< \infty$. [/mm] Das heisst: die Summe der Betragsquadrate der Folge [mm] $\hat{x}$ [/mm] aus [mm] $\IC^{\IZ}$ [/mm] ist endlich (mit anderen Worten: [mm] $\hat{x}$ [/mm] ist eine quadratsummierbare Folge).
> [mm]\forall f\in l^2(\IZ)\:\exists x\in X: \hat{x}=f[/mm]
Dies besagt, dass die Abbildung [mm] $\hat{\phantom{x}}: X\ni x\mapsto \hat{x}\in\ell^2(\IZ)$ [/mm] surjektiv ist. Das heisst, jedes Element von [mm] $\ell^2(\IZ)$ [/mm] tritt effektiv als Bild unter [mm] $\hat{\phantom{x}}$ [/mm] auf.
Dies wird mit den folgenden Zeilen bewiesen.
> [mm]f\in l^2(\IZ)[/mm] bel.
Damit wird angenommen, uns sei ein beliebiges [mm] $f\in \ell^2(\IZ)$ [/mm] vorgegeben. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir ein [mm] $x\in [/mm] X$ nachweisen, für das [mm] $\hat{x}=f$ [/mm] gilt.
>
> [mm]x:=\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n\in X\;\;\hat{x}=f[/mm]
Damit ist ein [mm] $x\in [/mm] X$, aufgrund der gegebenen quadratsummierbaren Folge [mm] $f\in \ell^2(\IZ)$, [/mm] definiert (konstruiert), von dem man nun also hofft, die gewünschte Eigenschaft [mm] $\hat{x}=f$ [/mm] beweisen zu können.
Nun soll noch die Injektivität der Abbildung [mm] $\hat{\phantom{x}}: X\ni x\mapsto \hat{x}\in\ell^2(\IZ)$ [/mm] nachgewiesen werden. Zu diesem Zweck nehmen wir an, es sei ein beliebiges [mm] $y\in [/mm] X$ gegeben, das auf dasselbe Bild abgebildet wird, wir unser [mm] $x\in [/mm] X$. Für das also [mm] $\hat{y}=\hat{x}$ [/mm] gilt. Zum Nachweis der Injektivität von [mm] $\hat{\phantom{x}}$ [/mm] müssen wir zeigen, dass daraus $y=x$ folgt.
>
> [mm]$x\in X$\;\;\exists y\in X\;\;\hat{y}=(\langle x|e_n\rangle)_n$[/mm]
>
> [mm]y=\sum\limits_{n\in \IZ}\langle y|e_n\rangle e_n=\sum\limits_{n\in\IZ}\langle x|e_n\rangle e_n=x[/mm]
>
Dies ist nichts anderes als zu sagen, dass, falls $y$ und $x$ dieselben "Fourierkoeffizienten" besitzen, auch $y=x$ gelten muss. (Ist wieder eine der äquivalenten Chrarakterisierungen einer Hilbertbasis: siehe dort.)
Mit der Surjektivität und der Injektivität haben wir nun insgesamt also die Bijektivität von [mm] $\hat{\phantom{x}}:X\ni x\mapsto \hat{x}\in \ell^2(\IZ)$ [/mm] nachgewiesen.
Nun müsste man, um die Aufgabe ganz zu lösen, nur noch die Erhaltung des Skalarproduktes zeigen. Dies sehe ich hier aber nirgends ausdrücklich ausgeführt. - Wird vielleicht als trivial empfunden 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Somebody!
Super, vielen Dank! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Habe fast alles verstanden. Nur zwei kleine Fragen noch:
> > Also zum zweiten haben wir folgendes aufgeschrieben:
> >
> > [mm]\langle \cdot|\cdot\rangle[/mm] ist linear in der 1. Komponente
> > (das ist klar)
> > [mm]||x||^2=\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||\hat{x}||^2[/mm]
> > (das erste ist ja wieder die Parseval-Gleichung, aber
> wieso
> > gilt das zweite Gleichheitszeichen?)
> Richtig: das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der
> Parseval'schen Gleichung. Das zweite Gleichheitszeichen
> gilt aufgrund der Definition der Norm von [mm]\ell^2(\IZ)[/mm]. Die
> Argumentation ist verwirrend, weil zwei Hilberträume und
> deren durch [mm]\hat{\phantom{x}}:x\mapsto \hat{x}[/mm] vermittelte
> Beziehung zueinander, zur Diskussion stehen. Einerseits der
> Hilbertraum [mm]X[/mm] mit Hilbertbasis [mm](e_i)_{i\in \IZ}[/mm] und,
> andererseits, der Hilbertraum [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], mit Hilbertbasis
> [mm](\delta_{ij})_{i\in \IZ}[/mm].
> Die Sache wird nicht
> übersichtlicher dadurch, dass z.B. für die Norm eines
> Elementes [mm]x[/mm] von [mm]X[/mm] und eines Elementes [mm]\hat{x}[/mm] von
> [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], dasselbe Symbol verwendet wird. Analog mit dem
> Skalarprodukt, das auch für beide Räume gleich geschrieben
> wird. Man muss sich eben, aufgrund des Kontexts der
> Verwendung solcher Symbole, klar machen, welche Norm und
> welches Skalarprodukt nun genau gemeint ist.
> [mm]\hat{x}[/mm] liegt in [mm]\ell^2(\IZ)[/mm] (dem Raum der
> quadratsummierbaren Folgen), weil wir mit der obigen
> Gleichung gezeigt haben, dass [mm]||\hat{x}||^2=||x||^2< \infty[/mm].
> Das heisst: die Summe der Betragsquadrate der Folge [mm]\hat{x}[/mm]
> aus [mm]\IC^{\IZ}[/mm] ist endlich (mit anderen Worten: [mm]\hat{x}[/mm] ist
> eine quadratsummierbare Folge).
Aber hatten wir nicht eigentlich mit (1) schon gezeigt, dass [mm] $\hat{x}\in l^2(\IZ)$ [/mm] liegt, und das ist es doch, was hier gemacht werden soll, oder?
> Dies wird mit den folgenden Zeilen bewiesen.
> > [mm]f\in l^2(\IZ)[/mm] bel.
> Damit wird angenommen, uns sei ein beliebiges [mm]f\in \ell^2(\IZ)[/mm]
> vorgegeben. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir ein
> [mm]x\in X[/mm] nachweisen, für das [mm]\hat{x}=f[/mm] gilt.
> >
> > [mm]x:=\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n\in X\;\;\hat{x}=f[/mm]
>
> Damit ist ein [mm]x\in X[/mm], aufgrund der gegebenen
> quadratsummierbaren Folge [mm]f\in \ell^2(\IZ)[/mm], definiert
> (konstruiert), von dem man nun also hofft, die gewünschte
> Eigenschaft [mm]\hat{x}=f[/mm] beweisen zu können.
Mmh, "von dem man hofft,..."? Ist das denn jetzt trivial oder wieso wird das hier nicht gezeigt? Ich habe das mal ausprobiert, und bei mir steht da dann folgendes:
[mm] $\hat{x}=(\langle x|e_n\rangle)_{n\in\IZ}=(\langle\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n|e_m\rangle)_{n\in\IZ}=(\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)\langle e_n|e_m\rangle)_{n\in\IZ}$
[/mm]
und ist das jetzt $=f$? Irgendwie verwirren mich da die Folgenindizes, aber ich glaube, das kommt hin, oder? 
> Nun müsste man, um die Aufgabe ganz zu lösen, nur noch die Erhaltung des Skalarproduktes zeigen. Dies sehe ich hier aber > nirgends ausdrücklich ausgeführt. - Wird vielleicht als trivial empfunden
Was genau heißt denn "Erhaltung"? Und wie würde man das denn ungefähr machen?
Ach ja, und allgemein bedeutet die Aussage doch: [mm] $\langle x|y\rangle=\langle\hat{x}|\hat{y}\rangle$, [/mm] oder?
Vielen Dank für die guten Erklärungen, mittlerweile ist mir so einiges klar geworden.
Viele Grüße
Bastiane
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> Hallo Somebody!
>
> Super, vielen Dank!
Ich hoffe Du schaust dann noch meine Revision 2 meiner letzten Mitteilung an: ich habe die korrigierte (und nun hoffentlich richtige) Umformung inzwischen geschrieben.
> Habe fast alles verstanden.
> Nur zwei kleine Fragen noch:
>
> > > Also zum zweiten haben wir folgendes aufgeschrieben:
> > >
> > > [mm]\langle \cdot|\cdot\rangle[/mm] ist linear in der 1. Komponente
> > > (das ist klar)
> > > [mm]||x||^2=\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||\hat{x}||^2[/mm]
> > > (das erste ist ja wieder die Parseval-Gleichung, aber
> > wieso
> > > gilt das zweite Gleichheitszeichen?)
> > Richtig: das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund der
> > Parseval'schen Gleichung. Das zweite Gleichheitszeichen
> > gilt aufgrund der Definition der Norm von [mm]\ell^2(\IZ)[/mm]. Die
> > Argumentation ist verwirrend, weil zwei Hilberträume und
> > deren durch [mm]\hat{\phantom{x}}:x\mapsto \hat{x}[/mm] vermittelte
> > Beziehung zueinander, zur Diskussion stehen. Einerseits der
> > Hilbertraum [mm]X[/mm] mit Hilbertbasis [mm](e_i)_{i\in \IZ}[/mm] und,
> > andererseits, der Hilbertraum [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], mit Hilbertbasis
> > [mm](\delta_{ij})_{i\in \IZ}[/mm].
> > Die Sache wird nicht
> > übersichtlicher dadurch, dass z.B. für die Norm eines
> > Elementes [mm]x[/mm] von [mm]X[/mm] und eines Elementes [mm]\hat{x}[/mm] von
> > [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], dasselbe Symbol verwendet wird. Analog mit dem
> > Skalarprodukt, das auch für beide Räume gleich geschrieben
> > wird. Man muss sich eben, aufgrund des Kontexts der
> > Verwendung solcher Symbole, klar machen, welche Norm und
> > welches Skalarprodukt nun genau gemeint ist.
> > [mm]\hat{x}[/mm] liegt in [mm]\ell^2(\IZ)[/mm] (dem Raum der
> > quadratsummierbaren Folgen), weil wir mit der obigen
> > Gleichung gezeigt haben, dass [mm]||\hat{x}||^2=||x||^2< \infty[/mm].
> > Das heisst: die Summe der Betragsquadrate der Folge [mm]\hat{x}[/mm]
> > aus [mm]\IC^{\IZ}[/mm] ist endlich (mit anderen Worten: [mm]\hat{x}[/mm] ist
> > eine quadratsummierbare Folge).
>
> Aber hatten wir nicht eigentlich mit (1) schon gezeigt,
> dass [mm]\hat{x}\in l^2(\IZ)[/mm] liegt, und das ist es doch, was
> hier gemacht werden soll, oder?
Es ist gut möglich, dass diese Überlegung schon vorher mal gemacht wurde (ich habe den Überblick über den Gesamtkontext der Diskusion wohl nicht mehr so ganz).
Wichtig ist eigentlich nur zu sehen, was hier gemacht wurde. Weshalb dies den Schluss von [mm] $x\in [/mm] E$ auf [mm] $\hat{x}\in \ell^2(\IZ)$ [/mm] ermöglicht.
>
> > Dies wird mit den folgenden Zeilen bewiesen.
> > > [mm]f\in l^2(\IZ)[/mm] bel.
> > Damit wird angenommen, uns sei ein beliebiges [mm]f\in \ell^2(\IZ)[/mm]
> > vorgegeben. Zum Beweis der Surjektivität müssen wir ein
> > [mm]x\in X[/mm] nachweisen, für das [mm]\hat{x}=f[/mm] gilt.
> > >
> > > [mm]x:=\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n\in X\;\;\hat{x}=f[/mm]
> >
> > Damit ist ein [mm]x\in X[/mm], aufgrund der gegebenen
> > quadratsummierbaren Folge [mm]f\in \ell^2(\IZ)[/mm], definiert
> > (konstruiert), von dem man nun also hofft, die gewünschte
> > Eigenschaft [mm]\hat{x}=f[/mm] beweisen zu können.
>
> Mmh, "von dem man hofft,..."? Ist das denn jetzt trivial
> oder wieso wird das hier nicht gezeigt? Ich habe das mal
> ausprobiert, und bei mir steht da dann folgendes:
>
> [mm]\hat{x}=(\langle x|e_n\rangle)_{n\in\IZ}=(\langle\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n|e_m\rangle)_{n\in\IZ}=(\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)\langle e_n|e_m\rangle)_{n\in\IZ}[/mm]
> und ist das jetzt [mm]=f[/mm]? Irgendwie verwirren mich da die
> Folgenindizes, aber ich glaube, das kommt hin, oder?
Ja, dies verwirrt mich auch ganz schön Deine Bemerkung zu den Folgenindizes trifft den Nagel exakt auf den Kopf. Du musst eben den Folgenindex, sagen wir $m$, und den Index in der Fourierdarstellung von $x$, sagen wir $n$, auseinanderhalten:
[mm]\hat{x}=(\langle x|e_m\rangle)_{m\in\IZ}=(\langle\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)e_n|e_m\rangle)_{m\in\IZ}=(\sum\limits_{n\in\IZ}f(n)\langle e_n|e_m\rangle)_{m\in\IZ}
=(f(m))_{m\in \IZ}=f[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Orthonormiertheit der Hilbertbasis: [mm] $\langle e_n|e_m\rangle [/mm] = [mm] \delta_{nm}$, [/mm] weshalb die Summation über $n$ wegfällt.
>
> > Nun müsste man, um die Aufgabe ganz zu lösen, nur noch die
> Erhaltung des Skalarproduktes zeigen. Dies sehe ich hier
> aber > nirgends ausdrücklich ausgeführt. - Wird vielleicht
> als trivial empfunden
>
> Was genau heißt denn "Erhaltung"? Und wie würde man das
> denn ungefähr machen?
Du würdest einfach [mm] $\langle x|y\rangle$ [/mm] ausrechnen, indem Du für $x$ und $y$ deren Fourierdarstellung einsetzt. Dann wieder das Skalarprodukt vereinfachen, bis Du auf der Form [mm] $\sum_{i\in \IZ} \hat{x}(i)\overline{\hat{y}(i)}$ [/mm] angekommen bist: dies ist nämlich dann [mm] $\langle \hat{x}|\hat{y}\rangle$
[/mm]
>
> Ach ja, und allgemein bedeutet die Aussage doch: [mm]\langle x|y\rangle=\langle\hat{x}|\hat{y}\rangle[/mm],
> oder?
Genau! - und gute Nacht.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:08 So 13.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Habe fast alles verstanden.
> > Nur zwei kleine Fragen noch:
> >
> > > > Also zum zweiten haben wir folgendes aufgeschrieben:
> > > >
> > > > [mm]\langle \cdot|\cdot\rangle[/mm] ist linear in der 1. Komponente
> > > > (das ist klar)
> > > > [mm]||x||^2=\sum\limits_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2=||\hat{x}||^2[/mm]
> > > > (das erste ist ja wieder die Parseval-Gleichung, aber
> > > wieso
> > > > gilt das zweite Gleichheitszeichen?)
> > > Richtig: das erste Gleichheitszeichen gilt aufgrund
> der
> > > Parseval'schen Gleichung. Das zweite Gleichheitszeichen
> > > gilt aufgrund der Definition der Norm von [mm]\ell^2(\IZ)[/mm]. Die
> > > Argumentation ist verwirrend, weil zwei Hilberträume und
> > > deren durch [mm]\hat{\phantom{x}}:x\mapsto \hat{x}[/mm] vermittelte
> > > Beziehung zueinander, zur Diskussion stehen. Einerseits der
> > > Hilbertraum [mm]X[/mm] mit Hilbertbasis [mm](e_i)_{i\in \IZ}[/mm] und,
> > > andererseits, der Hilbertraum [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], mit Hilbertbasis
> > > [mm](\delta_{ij})_{i\in \IZ}[/mm].
> > > Die Sache wird nicht
> > > übersichtlicher dadurch, dass z.B. für die Norm eines
> > > Elementes [mm]x[/mm] von [mm]X[/mm] und eines Elementes [mm]\hat{x}[/mm] von
> > > [mm]\ell^2(\IZ)[/mm], dasselbe Symbol verwendet wird. Analog mit dem
> > > Skalarprodukt, das auch für beide Räume gleich geschrieben
> > > wird. Man muss sich eben, aufgrund des Kontexts der
> > > Verwendung solcher Symbole, klar machen, welche Norm und
> > > welches Skalarprodukt nun genau gemeint ist.
> > > [mm]\hat{x}[/mm] liegt in [mm]\ell^2(\IZ)[/mm] (dem Raum der
> > > quadratsummierbaren Folgen), weil wir mit der obigen
> > > Gleichung gezeigt haben, dass [mm]||\hat{x}||^2=||x||^2< \infty[/mm].
> > > Das heisst: die Summe der Betragsquadrate der Folge [mm]\hat{x}[/mm]
> > > aus [mm]\IC^{\IZ}[/mm] ist endlich (mit anderen Worten: [mm]\hat{x}[/mm] ist
> > > eine quadratsummierbare Folge).
> >
> > Aber hatten wir nicht eigentlich mit (1) schon gezeigt,
> > dass [mm]\hat{x}\in l^2(\IZ)[/mm] liegt, und das ist es doch, was
> > hier gemacht werden soll, oder?
Hier hätte ich antworten sollen, dass das Ziel ist zu zeigen, dass [mm] $\hat{\phantom{x}}:E\rightarrow \ell^2(\IZ)$ [/mm] normerhaltend (längentreu, eine Isomorphie) ist, d.h. dass [mm] $||\hat{x}||=||x||$ [/mm] gilt. - Nicht mehr: zu zeigen, dass [mm] $\hat{x}\in \ell^2(\IZ)$ [/mm] ist.
Aus der Längentreue folgt übrigens auch die Erhaltung des Skalarproduktes [mm] $\langle \hat{x}|\hat{y}\rangle=\langle x|y\rangle$, [/mm] weil sich das Skalarprodukt mit Hilfe der Norm darstellen lässt. Im reellen Fall ist dies einfacher zu zeigen. Es ist
[mm]||x+y||^2=||x||^2+2\langle x|y\rangle+||y||^2[/mm]
also
[mm]\langle x|y\rangle = \tfrac{1}{2}\left[||x+y||^2-||x||^2-||y||^2\right][/mm]
Im komplexen Fall muss man beim Ausmultiplizieren des Skalarproduktes einfach ein wenig mehr rechnen. Den Realteil von [mm] $\langle [/mm] x [mm] |y\rangle$ [/mm] erhalten wir aus
[mm]||x+y||^2=||x||^2+\langle x|y\rangle+\langle y|x\rangle+||y||^2=||x||^2+2\mathrm{Re}\big(\langle x|y\rangle\big)+||y||^2[/mm]
also
[mm]\mathrm{Re}\big(\langle x|y\rangle\big)=\tfrac{1}{2}\left[||x+y||^2-||x||^2-||y||^2\right][/mm]
Und für den Imaginärteil hat man
[mm]||x-\mathrm{i}y||^2=||x||^2+\langle x|-\mathrm{i}y\rangle+\langle -\mathrm{i}y|x\rangle+||y||^2=||x||^2+2\mathrm{i}\mathrm{Im}\big(\langle x|y\rangle\big)+||y||^2[/mm]
also
[mm]\mathrm{Im}\big(\langle x|y\rangle\big)=\tfrac{1}{2\mathrm{i}}\left[||x-\mathrm{i}y||^2-||x||^2-||y||^2\right][/mm]
Aus diesem Grund muss also die Erhaltung des Skalarproduktes, nachdem Normerhaltung gezeigt wurde, nicht mehr ausdrücklich gezeigt werden.
Aus der Normerhaltung folgt (sofern man Linearität von [mm] $\hat{\phantom{x}}:E\rightarrow \ell^2(\IZ)$ [/mm] bereits gezeigt hat) auch die Injektivität, denn
[mm]\hat{x}=\hat{y}\Leftrightarrow ||\hat{x}-\hat{y}||=0 \red{\Leftrightarrow}||x-y||=0\Leftrightarrow x=y[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:39 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Somebody!
>
> Leider kann man zu einer Korrekturmitteilung keine
> Mitteilung mehr schreiben, deswegen muss ich das hier
> machen. Und zwar ist mir eine Kleinigkeit nicht klar (der
> Rest hoffe ich schon), und zwar wie du beim Imaginärteil
> nach demselben aufgelöst hast, denn in der Gleichung drüber
> steht ja der Realteil... ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Du hast natürlich recht: das war ein Schreibfehler. Auf der rechten Seite der darüberliegenden Gleichung hätte nicht Re sondern Im stehen sollen. Ich hoffe, es ist nun richtig. Eigentlich müsste man dies klein-klein Vorrechnen, aber ich war zu faul. Am besten rechnest Du dies selbst durch: und wenn Du meine Schreibe bestätigen oder richtigstellen kannst ist dies auch ein kleines Erfolgserlebnis.
>
> Und warum im ersten Teil [mm]||x||<\infty[/mm] ist ist mir doch noch
> nicht klar...
Dies verstehe nun ich nicht: ist [mm] $x\in [/mm] X$, dann ist doch sicher auch [mm] $||x||<\infty$. [/mm] Dass [mm] $||x||^2=\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2$ [/mm] (Parseval'sche Gleichung) gilt, ist wieder eine andere Sache: dies folgt einfach aus der Eigenschaft der [mm] $e_i$ [/mm] eine "Hilbertbasis" zu sein.
Aber vielleicht war Deine Frage eine ganz andere?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Somebody!
> > Hallo Somebody!
> >
> > Leider kann man zu einer Korrekturmitteilung keine
> > Mitteilung mehr schreiben, deswegen muss ich das hier
> > machen. Und zwar ist mir eine Kleinigkeit nicht klar (der
> > Rest hoffe ich schon), und zwar wie du beim Imaginärteil
> > nach demselben aufgelöst hast, denn in der Gleichung drüber
> > steht ja der Realteil...
>
> Du hast natürlich recht: das war ein Schreibfehler. Auf der
> rechten Seite der darüberliegenden Gleichung hätte nicht Re
> sondern Im stehen sollen. Ich hoffe, es ist nun richtig.
> Eigentlich müsste man dies klein-klein Vorrechnen, aber ich
> war zu faul. Am besten rechnest Du dies selbst durch: und
> wenn Du meine Schreibe bestätigen oder richtigstellen
> kannst ist dies auch ein kleines Erfolgserlebnis.
Ich hatte es auch nachgerechnet und war auch der Meinung, dass da der Realteil stehen muss! Hab's jetzt nochmal nachgerechnet und bin immer noch dieser Meinung:
[mm] \begin{array}{lcl}||x-iy||^2&=&\langle x-iy|x-iy\rangle\\
&=&\langle x|x-iy\rangle+\langle -iy|x-iy\rangle\\
&=&\langle x|x\rangle+\langle x|-iy\rangle+\langle -iy|x\rangle+\langle-iy|-iy\rangle\\
&=&||x||^2+\langle x|-iy\rangle+\overline{\langle x|-iy\rangle}-i\langle y|-iy\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)-i(-\overline{i})\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)-i^2\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)+\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)+||y||^2
\end{array} [/mm]
Wo ist denn hier der Fehler? (Ha, und langsam lerne ich sogar das TeXen mit Arrays - ist ja eigentlich gar nicht so schwierig... )
> > Und warum im ersten Teil [mm]||x||<\infty[/mm] ist ist mir doch noch
> > nicht klar...
>
> Dies verstehe nun ich nicht: ist [mm]x\in X[/mm], dann ist doch
> sicher auch [mm]||x||<\infty[/mm]. Dass
> [mm]||x||^2=\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2[/mm]
> (Parseval'sche Gleichung) gilt, ist wieder eine andere
> Sache: dies folgt einfach aus der Eigenschaft der [mm]e_i[/mm] eine
> "Hilbertbasis" zu sein.
>
> Aber vielleicht war Deine Frage eine ganz andere?
Nein, die Frage war genau die. Nur weiß ich nicht, warum für [mm] $x\in [/mm] X$ gelten soll [mm] ||x||<\infty. [/mm] Denn irgendwann dachte ich mir, dass wenn [mm] ||x||<\infty, [/mm] warum dann nicht direkt auch [mm] ||\hat{x}||<\infty. [/mm] Hilbertraum ist doch "nur" so definiert, als Banachraum, in dem die Norm von einem Skalarprodukt stammt, oder nicht? Und warum muss es dann direkt endlich sein?
Viele Grüße
Bastiane
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> Hallo Somebody!
>
> > > Hallo Somebody!
> > >
> > > Leider kann man zu einer Korrekturmitteilung keine
> > > Mitteilung mehr schreiben, deswegen muss ich das hier
> > > machen. Und zwar ist mir eine Kleinigkeit nicht klar (der
> > > Rest hoffe ich schon), und zwar wie du beim Imaginärteil
> > > nach demselben aufgelöst hast, denn in der Gleichung drüber
> > > steht ja der Realteil...
> >
> > Du hast natürlich recht: das war ein Schreibfehler. Auf der
> > rechten Seite der darüberliegenden Gleichung hätte nicht Re
> > sondern Im stehen sollen. Ich hoffe, es ist nun richtig.
> > Eigentlich müsste man dies klein-klein Vorrechnen, aber ich
> > war zu faul. Am besten rechnest Du dies selbst durch: und
> > wenn Du meine Schreibe bestätigen oder richtigstellen
> > kannst ist dies auch ein kleines Erfolgserlebnis.
>
> Ich hatte es auch nachgerechnet und war auch der Meinung,
> dass da der Realteil stehen muss! Hab's jetzt nochmal
> nachgerechnet und bin immer noch dieser Meinung:
>
> [mm]\begin{array}{lcl}||x-iy||^2&=&\langle x-iy|x-iy\rangle\\
&=&\langle x|x-iy\rangle+\langle -iy|x-iy\rangle\\
&=&\langle x|x\rangle+\langle x|-iy\rangle+\langle -iy|x\rangle+\langle-iy|-iy\rangle\\
&=&||x||^2+\langle x|-iy\rangle+\overline{\langle x|-iy\rangle}-i\langle y|-iy\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)-i(-\overline{i})\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)-i^2\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)+\langle y|y\rangle\\
&=&||x||^2+2Re(\langle x|-iy\rangle)+||y||^2
\end{array}[/mm]
>
> Wo ist denn hier der Fehler?
In jedem Falle wollen wir nicht wissen was Real- oder Imaginärteil von [mm] $\langle x|\red{-i}y\rangle$ [/mm] ist, sondern was Real- bzw. Imaginärteil des Skalarproduktes [mm] $\langle x|y\rangle$ [/mm] ist.
Ich schreibe den Anfang Deiner Umformung nochmals soweit ab, wie ich ihn direkt brauchen kann (blau) und fahre dann so fort, wie ich dies für unseren Zweck (der Bestimmung des Imaginärteils von [mm] $\langle x|y\rangle$) [/mm] richtig finde:
[mm]\begin{array}{lcl}
||x-iy||^2&=&\blue{\langle x-iy|x-iy\rangle}\\
&=&\blue{\langle x|x-iy\rangle+\langle -iy|x-iy\rangle}\\
&=&\blue\langle x|x\rangle+\langle x|-iy\rangle+\langle -iy|x\rangle+\langle-iy|-iy\rangle}\\
&=& ||x||^2\green{+i\langle x|y\rangle}-i\langle y|x \rangle}+||iy||^2\\
&=& ||x||^2+i\big(\langle x|y\rangle-\overline{\langle x|y\rangle}\big)+\green{||y||^2}\\
\multicolumn{3}{l}{\text{Revision 1: die letzte Zeile war falsch, ich mache einen zweiten Anlauf:}}\\
&=& ||x||^2+i\cdot 2i\mathrm{Im}\big(\langle x|y\rangle\big)+||y||^2\\
&=& ||x||^2-2\mathrm{Im}\big(\langle x|y\rangle\big)+||y||^2
\end{array}[/mm]
Wenn man diese Gleichung nun nach [mm] $\mathrm{Im}\big(\langle x|y\rangle\big)$ [/mm] auflöst, erhält man eine Darstellung des Imaginärteils von [mm] $\langle x|y\rangle$ [/mm] alleine mit Hilfe der zugehörigen Norm. Also gilt bei Normerhaltung durch [mm] $\hat{\phantom{x}}:X\rightarrow \ell^2(\IZ)$ [/mm] auch Erhaltung des Imaginärteils des Skalarproduktes durch [mm] $\hat{\phantom{x}}:X\rightarrow \ell^2(\IZ)$ [/mm] (analog für Realteil: insgesamt folgt also Erhaltung des Skalarproduktes durch [mm] $\hat{\phantom{x}}:X\rightarrow \ell^2(\IZ)$).
[/mm]
Dabei habe ich benutzt, dass gilt [mm] $||\lambda y||=|\lambda|\cdot [/mm] ||y||$ und zwar in der Form [mm] $||iy||=|i|\cdot [/mm] ||y||=||y||$ bzw. [mm] $||iy||^2=\green{||y|^2}$.
[/mm]
Ebenso habe ich verwendet, dass gilt [mm] $\langle x|\lambda y\rangle=\overline{\lambda}\langle x|y\rangle$ [/mm] und zwar in der genauen Form [mm] $\langle x|-iy\rangle=\overline{-i}\langle x|y\rangle=\green{+i\langle x|y\rangle}$.
[/mm]
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Des weiteren ist allgemein [mm] $\lambda-\overline{\lambda}=2\mathrm{Im}(\lambda)$.
[/mm]
Revision 1: Richtig wäre gewesen: Des weiteren ist allgemein [mm] $\lambda -\overline{\lambda}=2\mathrm{i}\mathrm{Im}(\lambda)$. [/mm] Genau dies habe ich in der obigen Umformung von [mm] $||x-iy||^2$ [/mm] auch falsch gemacht...
> (Ha, und langsam lerne ich
> sogar das TeXen mit Arrays - ist ja eigentlich gar nicht so
> schwierig... )
>
> > > Und warum im ersten Teil [mm]||x||<\infty[/mm] ist ist mir doch noch
> > > nicht klar...
> >
> > Dies verstehe nun ich nicht: ist [mm]x\in X[/mm], dann ist doch
> > sicher auch [mm]||x||<\infty[/mm]. Dass
> > [mm]||x||^2=\sum_{i\in\IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2[/mm]
> > (Parseval'sche Gleichung) gilt, ist wieder eine andere
> > Sache: dies folgt einfach aus der Eigenschaft der [mm]e_i[/mm] eine
> > "Hilbertbasis" zu sein.
> >
> > Aber vielleicht war Deine Frage eine ganz andere?
>
> Nein, die Frage war genau die. Nur weiß ich nicht, warum
> für [mm]x\in X[/mm] gelten soll [mm]||x||<\infty.[/mm] Denn irgendwann dachte
> ich mir, dass wenn [mm]||x||<\infty,[/mm] warum dann nicht direkt
> auch [mm]||\hat{x}||<\infty.[/mm] Hilbertraum ist doch "nur" so
> definiert, als Banachraum, in dem die Norm von einem
> Skalarprodukt stammt, oder nicht? Und warum muss es dann
> direkt endlich sein?
Die Norm eines normierten Raumes $X$ (ganz gleich ob vollständig - d.h. banachsch - oder nicht) ist immer eine Abbildung [mm] $||\;\;||:X\rightarrow [0;+\infty[$ [/mm] (mit gewissen Eigenschaften...).
Was allenfalls nicht so klar war ist dies: ob [mm] $\sum_{i\in \IZ}|\langle x|e_i\rangle|^2<\infty$ [/mm] ist. Aber weil für [mm] $x\in [/mm] X$ eben sicherlich (definitionsgemäss) [mm] $||x||<\infty$ [/mm] gilt und weil (nicht selbstverständlich sondern nur gerade für eine Hilbertbasis [mm] $(e_i)_{i\in \IZ}$) $||x||^2=\sum_{i\in\IZ}||^2$, [/mm] aufgrund der Definition von [mm] $\hat{x}$ [/mm] aber auch das Normquadrat [mm] $||\hat{x}||^2$ [/mm] von [mm] $\hat{x}$ [/mm] ist (und zwar das Normquadrat nun nicht mehr bezüglich $X$ sondern bezüglich [mm] $\ell^2(\IZ)$), [/mm] war [mm] $||\hat{x}||<\infty$, [/mm] im Unterschied zu [mm] $||x||<\infty$ [/mm] zuerst zu beweisen. Denn zwar ist für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ die Folge [mm] $\hat{x}$ [/mm] komplexer Zahlen eine Zahlenfolge aus [mm] $\IC^{\IZ}$, [/mm] aber es ist nicht sicher (bzw. erst durch den Nachweis von [mm] $||\hat{x}||^2<\infty$ [/mm] sichergestellt), dass [mm] $\hat{x}$ [/mm] "quadratsummierbar" ist, d.h. dass [mm] $\hat{x}\in\ell^2(\IZ)$ [/mm] ist.
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