Hilbertraum oder nicht? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 17.04.2006 | | Autor: | AT-Colt |
| Aufgabe | 3a)
Es sei $Q [mm] \not= \emptyset$ [/mm] eine beliebige Menge und [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] die Menge aller Funktionen $f: Q [mm] \to \IC$, [/mm] die folgende Eigenschaften haben:
(i) [mm] $\{q \in Q: f(q) \not= 0\}$ [/mm] ist endlich oder abzählbar unendlich,
(ii) [mm] $\summe_{q \in Q} |f(q)|^{2} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Man zeige: Definiert man auf [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] ein inneres Produkt durch
$(f,g) := [mm] \summe_{q \in Q} [/mm] f(q) [mm] \cdot \overline{g(q)}$,
[/mm]
so wird [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] zu einem Hilbertraum. Dabei sind Addition und skalare Multiplikation auf [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] wie bei Funktionen üblich, d.h. punktweise, definiert.
Hinweis: Beim Vollständigkeitsbeweis unterscheide man die Fälle, dass $Q$ endlich, abzählbar oder überabzählbar ist, und zeige, dass [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] im 1. Fall zu [mm] $\IR^{n,2}$ [/mm] und im 2. Fall zu [mm] $l^{2}$ [/mm] kongruent ist. Falls $Q$ überabzählbar ist, führe man die Behauptung auf den 2. Fall zurück.
3b)
Man beweise: Die Menge
$P = [mm] \{(f_{j})_{j=1}^{\infty} \subset \IC : f_{j} \not= 0$ höchstens endlich oft$\}$
[/mm]
wird durch die Definition
$(f,g) := [mm] \summe_{j=1}^{\infty} f_{j}\overline{g_{j}}$ [/mm] $(f = [mm] (f_{j})_{j=1}^{\infty} \in [/mm] P, g = [mm] (g_{j})_{j=1}^{\infty} \in [/mm] P)$
zu einem Prä-Hilbert-Raum, wobei Addition und skalare Multiplikation wie üblich elementweise erklärt sind. Dieser Raum ist nicht vollständig. Warum besteht hier kein Widerspruch zu der in Teil a) bewiesenen Vollständigkeit von [mm] $l^{2}[Q]$?
[/mm]
Hinweis: Bezüglich der Vollständigkeit betrachte man z.B. die Folge [mm] $(f^{(n)})_{n=1}^{\infty}$ [/mm] in $P$ mit [mm] $f^{(n)} [/mm] = [mm] (1,\bruch{1}{2},...,\bruch{1}{n},0,0,...) \in [/mm] P$. |
Das ist die vollständige Aufgabenstellung der Aufgabe, bis zum Prä-Hilbert-Raum bin ich recht flott vorgedrungen, jetzt stellen sich mir bei der Vollständigkeit im ersten Teil folgende Fragen:
1) Was ist [mm] $\IR^{n,2}$?
[/mm]
2) Wie zeige ich Kongruenz? Ist eine bijektive Abbildung zwischen $Q$ und den vorgeschlagenen Mengen zu finden? Ich konnte Funktionalanalysis I im letzten Semester nicht besuchen und werde mit dem Skript immer auf "nächste Vorlesung" vertröstet. Daher die Lücken in meinem Wissen.
Die viel entscheidendere Frage, die sich mir stellt, ist aber die, warum in Teil b) kein Widerspruch zu Teil a) besteht.
Für mich sieht es so aus, als wäre $Q = [mm] \IN$ [/mm] und [mm] $\{q \in Q : f(q) \not= 0\} [/mm] = [mm] \{j \in \IN : f_{j} \not= 0\}$ [/mm] ist endlich. Folglich ist auch die Summe [mm] $\summe_{j=1}^{\infty} |f_{j}|^{2}$ [/mm] für alle $f [mm] \in [/mm] P$ endlich, da sie nur endlich viele Summanden enthält, die nicht 0 sind.
[mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] scheint einfach $P$ zu sein und das innere Produkt scheint mir auch nicht von der Definition aus Teil a) abzuweichen.
Vielleicht kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben, ich sehe einfach nicht den Unterschied zwischen beiden Ausdrücken.
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> 1) Was ist [mm]\IR^{n,2}[/mm]?
Ich würde ja sagen in dme Kontext wäre n die Mächtigkeit der Menge Q - und dann der Raum erstmal kongruent zu [m]\IC^n[/m], also zu [m]\IR^2*n[/m]
> 2) Wie zeige ich Kongruenz? Ist eine bijektive Abbildung
> zwischen [mm]Q[/mm] und den vorgeschlagenen Mengen zu finden?
Ja, hmm. Also mit Kongruenz würde ich hier dann eher eine Art Isomorphie verstehen, oder? Also eine bijektive Abbildung, die hier noch linear ist und das Skalarprodukt respektiert. Aber da gibt es ja für den 2. Fall eher was kanonisches 
> Für mich sieht es so aus, als wäre [mm]Q = \IN[/mm] und [mm]\{q \in Q : f(q) \not= 0\} = \{j \in \IN : f_{j} \not= 0\}[/mm]
> ist endlich. Folglich ist auch die Summe
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty} |f_{j}|^{2}[/mm] für alle [mm]f \in P[/mm] endlich,
> da sie nur endlich viele Summanden enthält, die nicht 0
> sind.
Ja, das ist wahr.
> [mm]l^{2}[Q][/mm] scheint einfach [mm]P[/mm] zu sein und das innere Produkt
> scheint mir auch nicht von der Definition aus Teil a)
> abzuweichen.
Und das solltest du mal begründen! (Es ist flasch, btw) Der Hinweis geht ja auch noch weiter. Es gibt einen gravierenden Unterschied zur Definition oben, der wird mit dem Hinweis klarer!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 17.04.2006 | | Autor: | AT-Colt |
[snip erster Teil]
Schonmal Danke dafür, dass mit dem [mm] $\IR^{n,2}$ [/mm] hatte ich mir schon so gedacht, aber bevor ich jetzt was völlig falsches mache, hab ich lieber nochmal gefragt.
> > Für mich sieht es so aus, als wäre [mm]Q = \IN[/mm] und [mm]\{q \in Q : f(q) \not= 0\} = \{j \in \IN : f_{j} \not= 0\}[/mm]
> > ist endlich. Folglich ist auch die Summe
> > [mm]\summe_{j=1}^{\infty} |f_{j}|^{2}[/mm] für alle [mm]f \in P[/mm] endlich,
> > da sie nur endlich viele Summanden enthält, die nicht 0
> > sind.
>
> Ja, das ist wahr.
Soweit, so gut.
> > [mm]l^{2}[Q][/mm] scheint einfach [mm]P[/mm] zu sein und das innere Produkt
> > scheint mir auch nicht von der Definition aus Teil a)
> > abzuweichen.
>
> Und das solltest du mal begründen! (Es ist flasch, btw) Der
> Hinweis geht ja auch noch weiter. Es gibt einen
> gravierenden Unterschied zur Definition oben, der wird mit
> dem Hinweis klarer!
Ich versuche mal, es zu Begründen.
Also erster Teil: $P [mm] \hat= l^{2}[Q]$ [/mm] für $Q = [mm] \IN$:
[/mm]
[mm] $l^{2}[Q] [/mm] = [mm] \{f : Q \to \IC : |\{q \in Q : f(q) \not= 0\}|$ endlich od. abzählbar ue.$\}$ [/mm] mit (ii).
$P = [mm] \{f : \IN \to \IC : |\{j \in \IN : f(j) \not= 0\}|$ ist endlich $\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (ii) wg. oben. $P$ erfüllt also mit $Q = [mm] \IN$ [/mm] alle Bedingungen, die an [mm] $l^{2}[Q]$ [/mm] gestellt wurden.
Zweiter Teil:
In a) heisst es: $(f,g) = [mm] \summe_{q \in Q} f(q)\overline{g(q)}$
[/mm]
Sei $Q = [mm] \IN$:
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] (f,g) = [mm] \summe_{j \in \IN} f(j)\overline{g(j)} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{\infty} f_{j}\overline{g_{j}} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{\max_{j \in \IN} \{f_{j}\overline{g_{j}} \not= 0\}} f_{j}\overline{g_{j}}$
[/mm]
Das scheint mir die Definition aus Teil b) zu sein.
> SEcki
/e
Wald und Bäume, $P [mm] \subset l^{2}[\IN]$, [/mm] weil [mm] $l^{2}[\IN]$ [/mm] eben auch abzählbar unendliche Teilmengen zulässt, die in [mm] $\{f : \IN \to \IC\}$, [/mm] aber nicht in $P$ enthalten sind. Der Hinweis sollte aufzeigen, dass [mm] "$f^{(\infty)}$" [/mm] in [mm] $l^{2}[\IN]$ [/mm] enthalten ist, aber nicht in $P$.
Wenn das richtig ist, bitte sagen.
Trotzdem halte ich die inneren Produkte noch für gleichwertig.
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Wald und Bäume, [mm]P \subset l^{2}[\IN][/mm], weil [mm]l^{2}[\IN][/mm] eben
> auch abzählbar unendliche Teilmengen zulässt, die in [mm]\{f : \IN \to \IC\}[/mm],
> aber nicht in [mm]P[/mm] enthalten sind. Der Hinweis sollte
> aufzeigen, dass "[mm]f^{(\infty)}[/mm]" in [mm]l^{2}[\IN][/mm] enthalten ist,
> aber nicht in [mm]P[/mm].
Doch, doch - es ist in dem aus a) defjnierten Raum enthalten, es ist ein Unterraum im Sinne der linearen Algebra. aber du hast ja fast schon gesagt: der Hinwis zeigt, daß die Grenzfunktion eben nicht mehr endlich viele Glieder hat, sondern abzählbar unendlich viele. Also: der Unterraum ist nicht abgeschlossen (im Sinne der Topologie). Das ist auch wider anders ein lehrreiches Beispiel: endlich dimensionale Unterräume sind immer auch topol. abgeschlossen. Das muss bei unendlich-dim. nicht mehr der Fall sein. Und dieses Beispiel kann man eher noch selber beweisen, wie das andere, dazu oft zitierte: Polynome liegen dicht in den stetigen Funktionen.
> Trotzdem halte ich die inneren Produkte noch für
> gleichwertig.
Produkt != Raum. Der Raum ist, wie gesagt, ein linearer Unterraum der das Produkt vom richtigen erbt.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 17.04.2006 | | Autor: | AT-Colt |
Öhm, ok, ich war der Meinung, ich hätte das im Edit genauso gesagt, aber egal, ich weiss ja jetzt, was gemeint ist. Danke, nach mehr als 48 Stunden endlich die Lösung zu kennen, ist beruhigend.
greetz
AT-Colt
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