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Forum "Algebraische Geometrie" - Hilbertschen Nullstellensatz
Hilbertschen Nullstellensatz < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hilbertschen Nullstellensatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:09 Mi 25.04.2018
Autor: noglue

Aufgabe
Sei K ein beliebiger Körper und [mm] a=(a_1,...,a_n)\in A^n_K [/mm] ein Punkt. Zeige

[mm] I(\lbrace a\rbrace)=\langle x_1-a_1,...,x_n-a_n\rangle [/mm]

Hallo,

meine Überlegung:

Sei [mm] \mathfak{m}:=\langle x_1-a_1,...,x_n-a_n\rangle [/mm] maximales Ideal von [mm] K[x_1,...,x_n]. [/mm] Nach Hilbertschen Nullstellensatz gilt dann [mm] V(\mathfrak{m})\not=\emptyset. [/mm] Für jedea [mm] a\in V(\mathfrak{m}) [/mm] gilt also [mm] \mathfrak{m}\subset I(\lbrace a\rbrace). [/mm] Da [mm] \mathfrak{m} [/mm] maximal ist folgt [mm] I(\lbrace a\rbrace)=\langle x_1-a_1,...,x_n-a_n\rangle [/mm]

Ist das richtig?

        
Bezug
Hilbertschen Nullstellensatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 27.04.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Hilbertschen Nullstellensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 Fr 04.05.2018
Autor: felixf

Moin

> Sei K ein beliebiger Körper und [mm]a=(a_1,...,a_n)\in A^n_K[/mm]
> ein Punkt. Zeige
>  
> [mm]I(\lbrace a\rbrace)=\langle x_1-a_1,...,x_n-a_n\rangle[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> meine Überlegung:
>  
> Sei [mm]\mathfak{m}:=\langle x_1-a_1,...,x_n-a_n\rangle[/mm]
> maximales Ideal von [mm]K[x_1,...,x_n].[/mm] Nach Hilbertschen
> Nullstellensatz gilt dann [mm]V(\mathfrak{m})\not=\emptyset.[/mm]

Der Körper $K$ ist nicht algebraisch abgeschlossen, womit du den Nullstellensatz hier nicht verwenden kannst.

Du brauchst folgende beiden Zutaten:
a) [mm] $x_i [/mm] - [mm] a_i$ [/mm] liegt in [mm] $I(\{ a \})$ [/mm] für alle $i$;
b) das Ideal [mm] $\mathfak{m}$ [/mm] ist maximal (zeige, dass [mm] $\mathfak{m}$ [/mm] der Kern vom Auswertungshomomorphismus $f [mm] \mapsto [/mm] f(a)$ ist, und wende dann den Homormophiesatz an).

LG Felix



Bezug
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