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Ich habe riesige Probleme zu Beginn meines Studiums mit den Übungsaufgaben, da oft nicht mal die Aufgabe für mich verständlich ist. Bitte helft mir doch...
Sei x>0. Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] x^{-n}:=( x^{-1})^{n}, [/mm] für k [mm] \in \IZ, [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] sei [mm]x^{k/m}:= \wurzel[m]{x^{k}}[/mm] definiert. Damit ist also [mm] x^{q} [/mm] für jedes q [mm] \in \IQ [/mm] erklärt (warum eindeutig?).
Zeigen Sie für x>0 und q, r [mm] \in \IQ: x^{q} x^{r}= x^{q+r} [/mm] und [mm] (x^{q})^{r}=x^{qr}.
[/mm]
Mir fehlt noch jegliches Verständis mich einer solchen Aufgabe zu nähern. Also Danke im Voraus
Maik
Dies ist mein erster Forenbeitrag. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 So 07.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo MAIKfragt,
> Sei x>0. Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]x^{-n}:=( x^{-1})^{n},[/mm] für k
> [mm]\in \IZ,[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]x^{k/m}:= \wurzel[m]{x^{k}}[/mm] definiert. Damit ist also [mm]x^{q}[/mm] für jedes q [mm]\in \IQ[/mm] erklärt (warum eindeutig?).
Problematisch ist bei den rationalen Zahl ja, dass es für dasselbe Element [mm] $q\in\IQ$ [/mm] verschiedene (äquivalente) Darstellungen gibt:
Zum Beispiel [mm] $\bruch{1}{2}=\bruch{2}{4}=\bruch{3}{6}=\ldots$
[/mm]
Nun ist hier die Frage, ob die Definition [mm]x^q:=x^{k/m}:=\wurzel[m]{x^{k}}[/mm] tatsächlich unabhängig davon ist, wie man q als Bruch darstellt ("Wohldefiniertheit").
Das üblicher Verfahren dazu ist, zwei Darstellungen desselben Elements q herzunehmen und dann zu zeigen, dass die Definition auf dasselbe Ergebnis führt:
Sei [mm] $q=\bruch{k}{m}=\bruch{a}{b}\in\IQ$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\wurzel[m ]{x^{k}}=\wurzel[b]{x^{a}}$
[/mm]
Das überlasse ich dir 
> Zeigen Sie für x>0 und q, r [mm]\in \IQ: x^{q} x^{r}= x^{q+r}[/mm] und [mm](x^{q})^{r}=x^{qr}.[/mm]
Das ist aber doch nicht schwierig, oder?
Du mußt doch nur die obige Definition mehrmals auszunutzen und bist fertig:
Sei [mm] $\bruch{k}{m}=q$ [/mm] und [mm] $\bruch{a}{b}=r$
[/mm]
Dann haben wir
[mm] $x^q*x^r$
[/mm]
[mm] $=x^{\bruch{k}{m}}*x^{\bruch{a}{b}}$ [/mm]
[mm] $=x^{\bruch{k*b}{m*b}}*x^{\bruch{a*m}{m*b}}$
[/mm]
Defintionen ausnutzen:
[mm] $=\wurzel[m*b]{x^{k*b}}*\wurzel[m*b]{x^{a*m}}$
[/mm]
Wurzelgesetze ausnutzen:
[mm] $=\wurzel[m*b]{x^{k*b}*x^{a*m}}$
[/mm]
Potenzgesetze für natürliche Exponenten anwenden:
[mm] $=\wurzel[m*b]{x^{k*b+a*m}}$
[/mm]
Definition anwenden:
[mm] $=x^{\bruch{k*b+a*m}{m*b}}$
[/mm]
[mm] $=x^{\bruch{k*b}{m*b}+\bruch{a*m}{m*b}}$
[/mm]
[mm] $=x^{\bruch{k}{m}+\bruch{a}{b}}$
[/mm]
[mm] $=x^{q+r}$
[/mm]
Den zweiten Teil des Potenzgesetzes für rationale Exponenten bekommst du jetzt alleine hin, oder?
Falls nicht, frage doch einfach nach
Viele Grüße,
Marc
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