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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mo 04.07.2005 | | Autor: | tkdsabom |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich hab riesige Probleme die Stetigkeit von Funktionen über Intervalle nachzuweisen. Dazu brauche ich ja das Epsilon-Delta-Krtiterium, was ich grundsätzlich schon verstehe. Ich weiß leider nie wie ich anfangen soll. Zuerst Epsilon wählen oder doch lieber zuerst Delta? Was muss von was abhängig sein und was nicht. Es wäre toll wenn sich jemand die Mühe machen könnte und so eine Art Kochrezept für die verschiedenen Beweise aufschreiben könnte. (Wie wähle ich Epsilon bzw. Delta für Beweis von Stetigkeit, Unstetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und wie wenn ich zeigen will, dass die Funktion nicht gleichmäßig stetig ist?)
Dadurch wäre mir sehr geholfen.
Viele Grüße tkdsabom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Mo 04.07.2005 | | Autor: | mathedman |
> Ich hab riesige Probleme die Stetigkeit von Funktionen über
> Intervalle nachzuweisen. Dazu brauche ich ja das
> Epsilon-Delta-Krtiterium, was ich grundsätzlich schon
> verstehe. Ich weiß leider nie wie ich anfangen soll. Zuerst
> Epsilon wählen oder doch lieber zuerst Delta?
Also, allgemein gibt's da kein Kochrezept. Das hängt immer von der Funktion ab.
Generell kann man gucken, ob man [mm]|f(x)-f(y)|[/mm]
so umformen kann, dass man [mm]|x-y| < \delta[/mm] ausnutzen kann, um zu zeigen, dass daraus folgt [mm]|f(x)-f(y)| < \epsilon[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 04.07.2005 | | Autor: | tkdsabom |
>Generell kann man gucken, ob man $ |f(x)-f(y)| $
>so umformen kann, dass man $ |x-y| < [mm] \delta [/mm] $ ausnutzen kann, um zu >zeigen, dass daraus folgt $ |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon [/mm] $.
Wie kann ich denn $ |x-y| < [mm] \delta [/mm] $ ausnutzen um $ |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon [/mm] $ zu zeigen? Sagen wir mal am Beispiel der Siusfunktion.
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> >Generell kann man gucken, ob man [mm]|f(x)-f(y)|[/mm]
> >so umformen kann, dass man [mm]|x-y| < \delta[/mm] ausnutzen kann,
> um zu >zeigen, dass daraus folgt [mm]|f(x)-f(y)| < \epsilon [/mm].
>
> Wie kann ich denn [mm]|x-y| < \delta[/mm] ausnutzen um [mm]|f(x)-f(y)| < \epsilon[/mm]
> zu zeigen? Sagen wir mal am Beispiel der Siusfunktion.
Gutes Beispiel, das geht einfach  .
Mit dem Mittelwertsatz folgt
[mm]\frac{sin(x)-sin(y)}{x-y} = sin'(\xi) = cos(\xi)[/mm]
für ein [mm]\xi[/mm].
Daraus folgt
[mm]|sin(x)-sin(y)| \leq |x-y|[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Di 05.07.2005 | | Autor: | mathedman |
> Mit dem Mittelwertsatz folgt
> [mm]\frac{sin(x)-sin(y)}{x-y} = sin'(\xi) = cos(\xi)[/mm]
> für ein
> [mm]\xi[/mm].
>
> Daraus folgt
> [mm]|sin(x)-sin(y)| \leq |x-y|[/mm].
Was soll denn hieran bitte fehlerhaft sein?!
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> Mit dem Mittelwertsatz folgt
> [mm]\frac{sin(x)-sin(y)}{x-y} = sin'(\xi) = cos(\xi)[/mm]
> für ein
> [mm]\xi[/mm].
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> Daraus folgt
> [mm]|sin(x)-sin(y)| \leq |x-y|[/mm].
Noch mal als Frage: Wo soll hier ein Fehler stecken?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 05.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Noch mal als Frage: Wo soll hier ein Fehler stecken?
Da ist überhaupt kein Fehler - also habe ich das mal wieder auf okay gesetzt. Allgemeiener gilt sogar der Schrankensatz für die Differentialrechnung.
Allerdings sollte man auch eins beachten:für die Tatsache benutzt du die Differenzierbarkeit vom Sinus - also ist der sinus schon stetig. Wenn man also zeigen will, dass der Sinus stetig ist, ist das wohl nicht der richtige Weg ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 05.07.2005 | | Autor: | mathedman |
> Allerdings sollte man auch eins beachten:für die Tatsache
> benutzt du die Differenzierbarkeit vom Sinus - also ist der
> sinus schon stetig. Wenn man also zeigen will, dass der
> Sinus stetig ist, ist das wohl nicht der richtige Weg ...
Argl, stimmt.
Aber man sieht wenigstens, dass sin Lipschitz-stetig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 04.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo tksaborn
Beim sin ist das schwerer zu beantworten, weil es darauf ankommt, wie du den sinus definierst. Wenn du mir das sagst, kann ich auch da helfen.
Ich mach mirs einfacher: f(x) [mm] =x^{2} [/mm] betrachtetes Intervall [mm] 0\le x\le [/mm] a.
Zu zeigen es gibt ein [mm] \delta [/mm] derart dass für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt wenn [mm] |x-y|<\delta [/mm] dann [mm] ||x^{2}-y^{2}|<\varepsilon. [/mm] ich wähle erstmal |x-y|<d dann folgt
[mm] ||x^{2}-y^{2}|=|(x-y)*(x+y)|=|x-y|*|x+y|
damit sind wir fast fertig, denn wir haben jetzt [mm] ||x^{2}-y^{2}|
Sowas wie hier der einfache [mm] Trick:||x^{2}-y^{2}|=|(x-y)*(x+y)| [/mm] ist i.A. nur mit einigem Ausprobieren zu finden.( Bei sin(x) musst du ausnutzen das immer gilt [mm] sin(x)\le [/mm] x)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Do 07.07.2005 | | Autor: | tkdsabom |
DAnke für eure schnelle Hilfe hat mich weiter gebracht
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