Hilfe zur komplexer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Do 08.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle w [mm] \in \IC, [/mm] die folgende Gleichung lösen:
[mm] w^{2}-\overline{w}=5w-9 [/mm] |
Ich habe hier totale Schwierigkeiten erstmal alle w's auf eine Seite zu bringen. Bitte um Tipps und Hilfen. Ich will mit Moivre weiterrechnen.
Danke im voraus für eure Bemühungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Do 08.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
Setze hier ein: $w \ = \ a+b*i$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Dann ist:
[mm] (a+bi)^{2}-(a-bi)=(5a+5bi)-9
[/mm]
Meinst du das so in etwa? Nur wie mache ich dann weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Fr 09.07.2010 | | Autor: | algieba |
> Dann ist:
>
> [mm](a+bi)^{2}-(a-bi)=(5a+5bi)-9[/mm]
>
> Meinst du das so in etwa? Nur wie mache ich dann weiter?
Das ist richtig eingesetzt! Jetzt formst du diese Gleichung einfach um
[mm] $(a+bi)^2 [/mm] - (a-bi) = 5a + 5bi - 9$
[mm] $a^2 [/mm] +2abi - [mm] b^2 [/mm] - a + bi - 5a - 5bi = -9$
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] - 6a + i (2ab - 4b) = -9$
Jetzt überlege mal was du aus dieser Gleichung erkennen kannst
(Tipp: links steht eine komplexe Zahl, rechts eine relle, die beiden sind gleich, was kannst du nun über den Real- und den Imaginärteil der komplexen Zahl sagen?)
Damit kannst du dann die Lösung für a und b rausfinden
Viele Grüße
algieba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ich glaube es ist ist schon spät und werde morgen weiter tüfteln, ich verstehe nur nicht wieso
[mm] (a+b)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2} [/mm] ist? Ich würde es so schreiben:
[mm] a^{2}+2abi+b^{2} [/mm] (1. binomische Formel halt!)
oh oh ich muss die komplexen Zahlen übers Wochenende können, und deshalb habe ich Panik!
Aber wenn ich mir das so ansehe, dann ist der Imaginärteil = 0 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 09.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> [mm](a+b)^{2}=a^{2}+2abi-b^{2}[/mm] ist? Ich würde es so
> schreiben:
>
> [mm]a^{2}+2abi+b^{2}[/mm] (1. binomische Formel halt!)
Das stimmt nicht ganz. Es muss lauten [mm] a^{2}+2abi+i^2*b^{2}=a^{2}+2abi-b^{2}, [/mm] wegen [mm] i^2=-1.
[/mm]
> Aber wenn ich mir das so ansehe, dann ist der Imaginärteil
> = 0 oder?
Richtig und demenstprechend ist der Realteil gerade -9.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
habs gerade auch gesehen [mm] i^{2}=-1. [/mm] trotzdem vielen Dank, aber ich sagte ja schon: es ist spät und es wird nichts mehr bringen weiter zu machen. Dennoch möchte ich weiter im Schlaf denken:
Und um weiter zu träumen, müsste ich wissen ob dieser Gedanke richtig ist:
[mm] a^{2}-b^{2}-6a=-9 [/mm] (I)
[mm] \22ab-4b=0 [/mm] (II) (dann müsste a=2 sein?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:44 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
So und wenn a=2 ist, dann ist b wegen [mm] a^{2}-b^{2}-6a=-9 [/mm] gleich 1 oder -1, also komme ich auf 2+i oder 2-i.
Und das sind die beide gesuchten Lösungen für w aus [mm] \IC
[/mm]
richtig oder doch falsch? Falls es falsch ist, dann bitte nochmals um kleine Hilfestellungen.
Gute Nacht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo,
das stimmt!
EDIT: Das stimmt halb. In deiner Gleichung (II) gibt es zwei Lösungen:
$2ab-4b=0 [mm] \quad\Rightarrow\quad [/mm] a=2$ oder $b=0$
Für den ersten Fall erhältst du die Lösungen [mm] $w=2\pm [/mm] i$, im zweiten Fall ergibt sich $w=3$ (was ja auch in [mm] $\mathbb [/mm] C$ liegt).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:36 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle w [mm]\in \IC,[/mm] die folgende Gleichung
> lösen:
>
> [mm]w^{2}-\overline{w}=5w-9[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe hier totale Schwierigkeiten erstmal alle w's auf
> eine Seite zu bringen. Bitte um Tipps und Hilfen. Ich will
> mit Moivre weiterrechnen.
>
> Danke im voraus für eure Bemühungen.
es gilt
$$w^2-\overline{w}=5w-9$$
$$\gdw w^2-4w=w+\overline{w}-9$$
$$\gdw w^2-4w+4=2*\text{Re } w-5$$
$$\gdw (\*)\;\;\;(w-2)^2=2*\text{Re } w-5\,.$$
Da für $x,y \in \IR \setminus \{0\}$ gilt
$$(x+i*y)^2=x^2-y^2+i*(2xy) \in \IC \setminus \IR \text{ (wegen Im}(x+i*y)^2=2xy \not=0}\text{)},$$
folgt aus $(\*)$ nun $\text{Re }(w-2)=\text{Re }w-2=0$ oder $\text{Im } (w-2)=0\,.$ Ist $\text{Im }(w-2)=\text{Im }w=0,$ so folgt $w=\text{Re }w=:x$ und damit ist $(\*)$ äquivalent zu
$$(x-2)^2=2x-5$$
$$\gdw x^2-6x+9=0$$
$$\gdw (x-3)^2=0$$
$$\gdw x=3\,,$$
und da oben einmal eine notwendige Bedingung steht, haben wir mit einer der vorhergehenden äquivalenten Gleichungen nachzuprüfen, ob die Gleichheit gilt. Da wir dies aber in $(\*)$ machen könnten und in diesem Spezialfall mit zu $(\*)$ äquivalenten Umformungen gerechnet haben, ist $w=3 \in \IR=\IR \cap \IC$ eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Gilt nun andererseits $\text{Re}(w-2)=0$ bzw. $\text{Re} w=2\,,$ so folgt mit $y:=\text{Im }w$, dass $(\*)$ gleichwertig ist mit
$$y^2=2*2-5\,,$$
also $y=\pm i$ bzw. $w=2\pm i\,.$ Damit haben wir insgesamt
$$\IL=\{2 \pm i, 3\}$$
als Lösungsmenge.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo nochmal, ich würde gerne mehr zu diesem Ausdruck erfahren,
[mm] w^2-4w+4=2*\text{Re } w-5[/mm]
da kann ich mir zur Zeit nichts drunter vorstellen. Wie kommt man da drauf? Vielleicht könnt Ihr ein paar Worte drüber verlieren? Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal, ich würde gerne mehr zu diesem Ausdruck
> erfahren,
> [mm]w^2-4w+4=2*\text{Re } w-5[/mm]
> da kann ich mir zur Zeit nichts
> drunter vorstellen. Wie kommt man da drauf? Vielleicht
> könnt Ihr ein paar Worte drüber verlieren? Danke.
das folgt aus
$$ [mm] w^{2}-\overline{w}=5w-9\,,$$
[/mm]
wenn man auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $-4w+4+\overline{w}$ [/mm] rechnet und dann [mm] $w+\overline{w}=2*\text{Re }w$ [/mm] benutzt.
Vorstellen kann ich mir darunter auch nichts, aber rechts stehen nur noch Zahlen aus [mm] $\IR\,,$ [/mm] und links kann man dann die zweite binomische Formel benutzen. Zudem muss man sich danach dann überlegen, dass das Quadrat einer komplexen Zahl genau dann reell ist, wenn der Realteil- oder der Imaginärteil verschwindet.
P.S.:
Ich glaube, es ist sehr schwer, sich eine Funktion [mm] $\IC \to \IC\,,$ [/mm] wie z.B. [mm] $f(z):=(z-2)^2$ "vorzustellen\,," [/mm] da ja [mm] $\IC \cong \IR^2$ [/mm] und daher der Graph von solchen Funktionen [mm] $\IC \to \IC\,,$ [/mm] als z.B. der Graph von obigem [mm] $f\,,$ [/mm] dann eine Teilmenge des [mm] $\IC^2 \cong \IR^4$ [/mm] ist. Unsere "Vorstellungskraft" hört meist beim [mm] $\IR^3$ [/mm] auf ^^
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hallo Marcel, genau darum geht es mir:
[mm]w+\overline{w}=2*\text{Re }w[/mm]
ich schaffe es nicht mir das herzuleiten, vielleicht hast du einen kleinen Denkanstoss für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Fr 09.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Marcel, genau darum geht es mir:
> [mm]w+\overline{w}=2*\text{Re }w[/mm]
>
> ich schaffe es nicht mir das herzuleiten, vielleicht hast
> du einen kleinen Denkanstoss für mich?
Hallo,
eine zu w konjugiert komplexe Zahl ist ja so definiert, dass sie den gleichen Realteil, aber den entgegengesetzten Imaginärteil hat.
Es sei w=a+bi. Es ist also a=Re(w) und b=Im(w)
Nun ist [mm] \overline{w}=a-bi, [/mm] und [mm] w+\overline{w} [/mm] ist dann 2*a, also 2*Re(w).
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Das stimmt habs gerade auf Papier mal gemacht:
[mm] (a+bi)+(a-bi)=2a [/mm] also 2 mal der reelle
Teil von w, daraus sollte ich mir mal ne Karteikarte machen.
Ihr seid besser, als jeder Prof. ...
Riesendank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
> [mm]2*\text{Im }w=(w-\overline{w})/i[/mm]
> und erweitere die rechte
> Seite auch mal mit [mm]\,-i\,.[/mm]
dann bekomme ich entweder 2y oder mit -i erweitert -2y raus mit w=(x+iy).
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]2*\text{Im }w=(w-\overline{w})/i[/mm]
> > und erweitere die
> rechte
> > Seite auch mal mit [mm]\,-i\,.[/mm]
> dann bekomme ich entweder 2y oder mit -i erweitert -2y
> raus mit w=(x+iy).
>
> Ist das richtig so?
am Anfang ja: $w=x+i*y$ liefert
[mm] $$w-\overline{w}=(x+i*y)-(x-i*y)=2*i*y=2*i*\text{Im }w\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(w-\overline{w})/i=2*\text{Im }w\,.$$
[/mm]
Daraus folgt durch Erweitern mit [mm] $-i\,$ [/mm] wegen [mm] $-i^2=1$ [/mm] nun
$$2 [mm] \text{Im }w=(w-\overline{w})/i \;*(-i)/(-i)=-i*(w-\overline{w})=i*(\overline{w}-w)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Gleiches erhält man auch, wenn man bei
[mm] $$(w-\overline{w})/i=2*\text{Im }w$$
[/mm]
beide Seiten der Gleichung mit [mm] $-i^2$ [/mm] (was nur eine Umschreibung der [mm] $1\,$ [/mm] ist) multipliziert.
P.P.S.:
Ist Dir klar, dass [mm] $1/i=-i\,$ [/mm] gilt? D.h. [mm] $-i\,$ [/mm] ist das multiplikative Inverse zu [mm] $i\,.$ [/mm] Warum?
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Bestimmt mit i erweitert:
[mm] \bruch{1}{i}=\bruch{i}{i^{2}}=\bruch{i}{-1}=-i
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Fr 09.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig, aber einfacher 1/i=-i denn 1=-i*i
Gruss leduart
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Sätze 4.6 und 4.7