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Hinreich. Potentialkriterium: Frage zu Umformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Sa 18.08.2018
Autor: Takota

Hallo,

leider komme ich bei dieser Umformung nicht weiter:

[mm] $-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}$ [/mm]

Mit der Integrabilitätsbedingung

[mm] $\frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j}$ [/mm]

D.h., man kann die Indizes beim Differentialoperator vertauschen:

[mm] $-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}$ [/mm]

Mit der Kettenregel soll dann das folgen:

[mm] $-\integral_{0}^{1}\frac{d}{dt}[t \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))]dt$ [/mm]

Kann mir bitte jemand zeigen wie man zu dieser Umformung gelangt?
Warum verschwindet das Summenszeichen und warum taucht hier [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] plötzlich auf?

LG
Takota

        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 So 19.08.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> leider komme ich bei dieser Umformung nicht weiter:
>  
> [mm]-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}[/mm]
>  
> Mit der Integrabilitätsbedingung
>  
> [mm]\frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j}[/mm]
>  
> D.h., man kann die Indizes beim Differentialoperator
> vertauschen:
>  
> [mm]-\integral_{0}^{1}{[t \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))] dt}[/mm]
>  
> Mit der Kettenregel soll dann das folgen:
>  
> [mm]-\integral_{0}^{1}\frac{d}{dt}[t \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec x - \vec x_0))]dt[/mm]
>  
> Kann mir bitte jemand zeigen wie man zu dieser Umformung
> gelangt?
>  Warum verschwindet das Summenszeichen und warum taucht
> hier [mm]$\frac{d}{dt}[/mm] plötzlich auf?
>  
> LG
>  Takota

  Wir ziehen das von hinten auf, ohne Minuszeichen und Integral. Wir setzen

$f(t):=t [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$. [/mm] Mit der Produkt und der Kettenregel leiten wir f nach t ab:

$f'(t)=t [mm] \cdot \summe_{j=1}^{n}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))\cdot (x_j- x_j_0)+v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$. [/mm]


Dan bringen wir noch

$ [mm] \frac{\partial v_j}{\partial v_i}= \frac{\partial v_i}{\partial v_j} [/mm] $

ins Spiel und sind fertig.



Bezug
                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:32 So 19.08.2018
Autor: Takota

Hallo fred,

Produktregel:

[mm] $\frac{d}{dt}f(t) [/mm] = 1 [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t\cdot(\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)) [/mm] + [mm] t\cdot \frac{d}{dt}r(t) [/mm] $

Mit:
$r(t):= [mm] v_i(\vec x_0+t\cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$ [/mm]

Darauf die Kettenregel:

[mm] $\frac{d}{dt }r(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt}v_i(\vec x_0+t\cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0))$ [/mm] = ??

[mm] v_i [/mm] ist eine skalare Komponentenfunktion wie leite ich diese jetzt nach t ab?

Als innere Ableitung müsste wohl das rauskommen: [mm] $(\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)$ [/mm]

Wie kommt man auf die äußere Ableitung, nach was leite ich bei der äußeren Ableitung ab?

Gruß
Takota



Nachtrag:

Da [mm] v_i [/mm] eine sklarwertig Funktion ist müßte man Formal bilden:

$grad [mm] (v_i) \cdot (\vec x-\vec x_0)$ [/mm] ??

Aber [mm] $\vec [/mm] x $ ist keine Funktion von t oder wie kann man das verstehen?

Bezug
                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Mo 20.08.2018
Autor: fred97

Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich weg):


$ r(t):= [mm] v_i(x_0+t\cdot [/mm] ( x -  [mm] x_0)) [/mm] $

Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm] $g:=v_i$ [/mm] und $h(t):= [mm] x_0+t\cdot [/mm] (x -  [mm] x_0)$. [/mm]

Ist [mm] x_0=(x_{10},..., x_{n0}) [/mm] und [mm] $x=(x_1,...,x_n)$, [/mm] so ist [mm] $h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))$ [/mm] mit

[mm] h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}), [/mm]

also [mm] h_j'(t)=x_j-x_{j0}. [/mm]

Somit: $r(t)=g(h(t))$ und folglich

[mm] $r'(t)=g'(h(t))\cdot [/mm] h'(t)= [mm] g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)$. [/mm]

Kommst Du damit klar ?

Bezug
                                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:42 Mo 20.08.2018
Autor: Takota


> Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> weg):
>  
>
> [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
>  
> Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
>  
> Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
>  
> [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
>  
> also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
>  
> Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
>  
> [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>  
> Kommst Du damit klar ?

Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm] $x_1, x_2,.., x_n [/mm] $ abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?

Oder müsste man nicht [mm] $g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...$ [/mm] schreiben?


Bezug
                                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mo 20.08.2018
Autor: fred97


> > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > weg):
>  >  
> >
> > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
>  >  
> > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
>  >  
> > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
>  >  
> > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
>  >  
> > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
>  >  
> > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
>  >  
> > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>  
> >  

> > Kommst Du damit klar ?
>
> Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
>  
> Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> schreiben?
>  


Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen [mm] x_1,...,x_n. [/mm]

machen wir ein eindimensionales Beispiel: $g(x)= [mm] \sin [/mm] x$ und $r(t)=g(h(t))$.

Dann ist $r'(t)=g'(h(t))h'(t)$.

Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der Variablen x.

Bezug
                                                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Mo 20.08.2018
Autor: Takota


> > > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > > weg):
>  >  >  
> > >
> > > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
>  >  >  
> > > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
>  >  >  
> > > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
>  >  >  
> > > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
>  >  >  
> > > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
>  >  >  
> > > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
>  >  >  
> > > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Kommst Du damit klar ?
> >
> > Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> > abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> > X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
>  >  
> > Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> > schreiben?
>  >  
>
>
> Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen
> [mm]x_1,...,x_n.[/mm]
>
> machen wir ein eindimensionales Beispiel: [mm]g(x)= \sin x[/mm] und
> [mm]r(t)=g(h(t))[/mm].
>  
> Dann ist [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm].
>  
> Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der
> Variablen x.

Ist dann nicht x eine Funktion von t:  $x=h(t)$ ?


Bezug
                                                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Mo 20.08.2018
Autor: fred97


> > > > Ich übernehme Deine Bezeichnungen (die Pfeile lasse ich
> > > > weg):
>  >  >  >  
> > > >
> > > > [mm]r(t):= v_i(x_0+t\cdot ( x - x_0))[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Damit es übersichtlicher bleibt setze ich [mm]g:=v_i[/mm] und
> > > > [mm]h(t):= x_0+t\cdot (x - x_0)[/mm].
>  >  >  >  
> > > > Ist [mm]x_0=(x_{10},..., x_{n0})[/mm] und [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm], so ist
> > > > [mm]h(t)=(h_1(t),...,h_n(t))[/mm] mit
>  >  >  >  
> > > > [mm]h_j(t)=x_{j0}+t(x_j-x_{j0}),[/mm]
>  >  >  >  
> > > > also [mm]h_j'(t)=x_j-x_{j0}.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Somit: [mm]r(t)=g(h(t))[/mm] und folglich
>  >  >  >  
> > > > [mm]r'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t)= g_{x_1}(h(t))h_1'(t)+...+ g_{x_n}(h(t))h_n'(t)[/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Kommst Du damit klar ?
> > >
> > > Fast. Was mich noch irritiert, ist, das g nach [mm]x_1, x_2,.., x_n[/mm]
> > > abgeleitet wird. Sind das nicht die Komponenten des Vektors
> > > X ? D.h., das X eine Funktion von t sein müsste?
>  >  >  
> > > Oder müsste man nicht [mm]g_h_1(h(t)), g_h_2(h(t))...[/mm]
> > > schreiben?
>  >  >  
> >
> >
> > Was ist denn g ? g ist eine Funktion der Variablen
> > [mm]x_1,...,x_n.[/mm]
> >
> > machen wir ein eindimensionales Beispiel: [mm]g(x)= \sin x[/mm] und
> > [mm]r(t)=g(h(t))[/mm].
>  >  
> > Dann ist [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm].
>  >  
> > Wie bildest Du g' ? So: Du differenzierst g nach der
> > Variablen x.
>
> Ist dann nicht x eine Funktion von t:  [mm]x=h(t)[/mm] ?
>  


Ja. In [mm]r'(t)=g'(h(t))h'(t)[/mm] differenzierst Du zunächst nach x und dann setzt Du für x die Funktion h(t) ein.

Bezug
                                                                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:33 Mo 20.08.2018
Autor: Takota

Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.

z.B., [mm] $h(x)=x_0+t(x-x_0)$. [/mm] Im [mm] \IR^2 [/mm] beschreibt diese Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade zwischen x un [mm] x_0. [/mm]
[mm] x_o [/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter zwischen [0,1].

Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X bestimmen, d.h., $x(t)$. Ist diese Überlegung richtig?


Bezug
                                                                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Mo 20.08.2018
Autor: fred97


> Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
>  
> z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> zwischen x un [mm]x_0.[/mm]

Dann lautet das aber:

[mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]


>  [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter
> zwischen [0,1].
>  
> Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].

Der lautet dann h(t).

>  Ist diese Überlegung richtig?

Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.

>  


Bezug
                                                                                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Mo 20.08.2018
Autor: Takota


> > Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
>  >  
> > z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> > Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> > zwischen x un [mm]x_0.[/mm]
>  
> Dann lautet das aber:
>  
> [mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]
>  
>
> >  [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter

> > zwischen [0,1].
>  >  
> > Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> > bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].
>  
> Der lautet dann h(t).
>  
> >  Ist diese Überlegung richtig?

>  
> Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.
>  >  

>Dazu hätte ich woh den ganzen Beweis aufschreiben müßen. Ich habe bei meiner Ausgangsfrage nur ein Detail zitiert. Aber Ausgangspunkt war diese Skizze mit den Vektoren [mm] x_0, [/mm] x und dem Parameter t. Mit t kann man jeden Punkt zwischen [mm] x_0 [/mm] und x bestimmen.
So kam die Funktion [mm] $V(x)=[x_0+t(x-x_0)]$, [/mm] mit Parameter [mm] $t\varepsilon [/mm] [0,1] zustande. t ist hier also nur eine Konstante.

In der Gleichung meiner Eingangsfrage wurde jetzt aber nach t abgeleitet, d.h., das jetzt x als eine Funktion von t betrachtet wird, was vorher nicht der Fall war.

Falls du anderer Meinung bist, bitte berichtigen




Bezug
                                                                                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Mo 20.08.2018
Autor: fred97


> > > Ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.
>  >  >  
> > > z.B., [mm]h(x)=x_0+t(x-x_0)[/mm]. Im [mm]\IR^2[/mm] beschreibt diese
> > > Gleichung einen Differenzenvektor, bzw., eine Gerade
> > > zwischen x un [mm]x_0.[/mm]
>  >  
> > Dann lautet das aber:
>  >  
> > [mm]h(t)=x_0+t(x-x_0)[/mm]
>  >  
> >
> > >  [mm]x_o[/mm] ist fest und x ist variabel, t ist ein Parameter

> > > zwischen [0,1].
>  >  >  
> > > Wenn ich aber jetzt t vorgebe, kann ich einen Vektor X
> > > bestimmen, d.h., [mm]x(t)[/mm].
>  >  
> > Der lautet dann h(t).
>  >  
> > >  Ist diese Überlegung richtig?

>  >  
> > Ich bin mir nicht sicher , ob ich Dir folgen kann.
>  >  >  
> >Dazu hätte ich woh den ganzen Beweis aufschreiben
> müßen. Ich habe bei meiner Ausgangsfrage nur ein Detail
> zitiert. Aber Ausgangspunkt war diese Skizze mit den
> Vektoren [mm]x_0,[/mm] x und dem Parameter t. Mit t kann man jeden
> Punkt zwischen [mm]x_0[/mm] und x bestimmen.
>  So kam die Funktion [mm]$V(x)=[x_0+t(x-x_0)]$,[/mm] mit Parameter
> [mm]$t\varepsilon[/mm] [0,1] zustande.


Nirgendwo kam die Funktion V mit der Variablen x vor ?!!

>  t ist hier also nur eine
> Konstante.

Nein.


>  
> In der Gleichung meiner Eingangsfrage wurde jetzt aber nach
> t abgeleitet, d.h., das jetzt x als eine Funktion von t
> betrachtet wird, was vorher nicht der Fall war.
>  
> Falls du anderer Meinung bist, bitte berichtigen

Bei festem x und [mm] x_0 [/mm] war

$ f(t):=t [mm] \cdot v_i(\vec x_0+t \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0)) [/mm] $ mit T [mm] \in [/mm] [0,1].

Diese Funktion wird nach t differenziert. Wie man das mit Produkt- und Kettenregel macht, habe ich Dir in meiner ersten Antwort geschrieben

>  
>
>  


Bezug
                                                                                                
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mo 20.08.2018
Autor: Takota

Hallo fred,

1) Fall

[mm] $\vec u(\vec [/mm] x):= [mm] \vec v[\vec x_0 [/mm] + t [mm] \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0]$ [/mm]  ;  $t [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]$

2) Fall

[mm] $\vec [/mm] u(t):= [mm] \vec v[\vec x_0 [/mm] + t [mm] \cdot (\vec [/mm] x - [mm] \vec x_0]$ [/mm]  ;  $t [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]$

Frage: Hängt in beiden Fällen $ [mm] \vec [/mm] x$ von t ab?

Ich meine: Im Fall 1) nein und im Fall 2) ja.

Wie siehst du das?



Bezug
                                                                                                        
Bezug
Hinreich. Potentialkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Mo 20.08.2018
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> 1) Fall
>  
> [mm]\vec u(\vec x):= \vec v[\vec x_0 + t \cdot (\vec x - \vec x_0][/mm]
>  ;  [mm]t \varepsilon [0,1][/mm]
>  
> 2) Fall
>  
> [mm]\vec u(t):= \vec v[\vec x_0 + t \cdot (\vec x - \vec x_0][/mm]  
> ;  [mm]t \varepsilon [0,1][/mm]
>  
> Frage: Hängt in beiden Fällen [mm]\vec x[/mm] von t ab?

In keinem der beiden Fällen hängt  x von t ab.

>  
> Ich meine: Im Fall 1) nein und im Fall 2) ja.
>  
> Wie siehst du das?
>  
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