Ho and Lee < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Mo 02.05.2005 | | Autor: | felixx |
Hallo,
es gilt für die Berechnugn der Short Rates mittels Hoo and Lee;
[mm] dr=\Theta(t)\cdot [/mm] dt + [mm] \sigma\cdot [/mm] dW
mit [mm] \Theta(t)=F_{t}(0,t)+\sigma^{2}\cdot [/mm] t
meine Frage lautet nun wie berechnet man [mm] F_{t} [/mm] ?
[Diese Frage wurde noch in keinem anderen Forum gestellt]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 02.05.2005 | | Autor: | felixx |
stimmt folgende Formel,
[mm] F(0,t)=\frac{1}{t}\cdot ln(\frac{e^{-r\cdot T_{1}}}{e^{-r\cdot T_{2}}})
[/mm]
mit [mm] T_{2}-T_{1}=t
[/mm]
dann gilt doch
[mm] F_{t}(0,t)=-\frac{1}{t^{2}}\cdot ln(\frac{e^{-r\cdot T_{1}}}{e^{-r\cdot T_{2}}})
[/mm]
mit r Short Rate im Zeitpunkt 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Felix!
Es gilt:
[mm] $\Theta(t)= \frac{\partial f^{\*}(0,t)}{\partial T} [/mm] + [mm] \sigma^2t$,
[/mm]
wobei [mm] $\{f^{\*}(0,T);T \ge 0\}$ [/mm] die Forward Rates zu den am Markt beobachteten Bondpreisen [mm] $\{p^{\*}(0,T);T \ge 0\}$ [/mm] sind.
Du musst die Ableitung dann numerisch approximieren.
Sinn des Ganzen ist es ja das [mm] $\Theta(t)$ [/mm] den Marktdaten anzupassen, also am Markt zu schätzen. Und das kann man am besten anhand der am Markt beobachtbaren Bondpreise tun.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 02.05.2005 | | Autor: | felixx |
hallo Stefan,
vielen dank für deine Antwort, aber die von dir bezeichnete Funktion lautet doch
[mm] f*(0,t)=\frac{1}{t}\cdot ln(\frac{P(0,T_{1})}{P(0,T_{2})})
[/mm]
mit
[mm] T_{1}-T_{2}=t [/mm]
und
[mm] P(0,T_{1})=e^{-r\cdot T_{1}}, [/mm] r...Short Rate
Weiters kannst du mir bitte eine konkrete Formel angeben, damit ich von der Short Rate auf den 1 DAY EURO LIBOR umrechnen kann.
bzw. vom 1 DAY EURO LIBOR auf den 60 DAY EURO LIBOR.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Felix!
Aber deine Formel gilt nur bei einer deterministischen Short Rate...
Zu deiner anderen Frage:
Für die LIBOR-Rate für das Intervall $[S,T]$ gilt im Ho-Lee-Modell
$L(S,T) = - [mm] \frac{p(S,T)-1}{(T-S)p(S,T)}$
[/mm]
mit
$p(S,T) = [mm] e^{\ \int\limits_S^T \Theta(s)\,(s-T)\, ds + \frac{\sigma^2}{2} \cdot \frac{(T-S)^3}{3} - (T-S) \cdot r(S)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:05 Di 03.05.2005 | | Autor: | felixx |
Hallo Stefan,
vielen dank mal für deine Antwort, mich würde noch interessieren
1) Kannst du mir einen Literaturhinweis geben bezüglich dieser
Fragestellungen?
2) Wie würde f* lauten, falls der Verlauf der Short Rates stochastisch ist?
beste grüße
felixx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Felix!
Bei stochastischen Zinsen ist der Zusammenhang der folgende:
[mm] $E^Q\left[ e^{-\int\limits_0^t r(s)\, ds} \right] [/mm] = [mm] p^{\*}(0,t) [/mm] = [mm] e^{-\int\limits_0^tf^{\*}(0,s)\, ds}$,
[/mm]
wobei $Q$ das risikoneutrale Maß (Martingalmaß) ist.
Literaturangaben zu dem Thema:
generell zur stochastischen Finanzmathematik das beste Buch, macht auch viel zu Zinsen:
Tomas Björk, "Arbitrage Theory in Continuous Time", Oxford University Press
Speziell zu Zinsen:
- Jessica James/Nick Webber, "Interest Rate Modelling", Wiley (sehr gut!)
- Damiano Brigo/Fabio Mercurio, "Interest Rate Modeling: Theory and Practice", Springer (ist mir persönlich zu unmathematisch, aber viele nützliche Aussagen)
Viele Grüße
Stefan
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