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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 10.06.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo,
es geht um folgende Aufgabe, wo ich schon einen Lösungsansatz habe, aber nicht sicher bin wie ich weiter fortfahre.
Gegeben ist die Kurve
[mm] x(t)=sin(2t+\pi/4) [/mm]
[mm] y(t)=\sin [/mm] t
(t [mm] \in [/mm] R) .
Finden Sie alle Parameterwerte, für die die Kurve in den zugehörigen
Punkten eine Horizontal- oder Vertikaltangente hat.
Es gibt einen Punkt P in der x-y-Ebene, in dem die Kurve zwei
Tangenten hat. Ermitteln Sie die Gleichungen beider Tangenten.
Fertigen Sie eine Skizze der Kurve an.
zu der Horizontaltangente / Vertikaltangente:
erstmal die Ableitungen von x(t) und y(t)
x'(t) [mm] =2cos(2t+\pi/4)
[/mm]
y'(t) [mm] =\cos [/mm] t
über die Formel bei der HT: y'= (y')/(x') =! 0
ergibt sich ein [mm] t1=\pi/2
[/mm]
-> x(t1)=-0,7071
-> y(t1)=1
und für die Vertikaltangente
ergibt sich ein [mm] t2=\pi/8
[/mm]
-> x(t1)= 1
-> y(t1)= 0,3827
wie mache ich nun mit dem 2. Teil weiter, bei dem es einen Punkt P gibt, indem die Kurve 2 Tangenten hat? UNd wie komme ich auf die Gleichung der Tangenten?
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Hallo pisty,
> Gegeben ist die Kurve
> [mm]x(t)=sin(2t+\pi/4)[/mm]
> [mm]y(t)=\sin[/mm] t
> (t [mm]\in[/mm] R) .
>
>
> Finden Sie alle Parameterwerte, für die die Kurve in den
> zugehörigen
> Punkten eine Horizontal- oder Vertikaltangente hat.
> Es gibt einen Punkt P in der x-y-Ebene, in dem die Kurve
> zwei
> Tangenten hat. Ermitteln Sie die Gleichungen beider
> Tangenten.
> Fertigen Sie eine Skizze der Kurve an.
>
>
>
> zu der Horizontaltangente / Vertikaltangente:
>
> erstmal die Ableitungen von x(t) und y(t)
>
>
> x'(t) [mm]=2cos(2t+\pi/4)[/mm]
> y'(t) [mm]=\cos[/mm] t
>
> über die Formel bei der HT: y'= (y')/(x') =! 0
> ergibt sich ein [mm]t1=\pi/2[/mm]
>
> -> x(t1)=-0,7071
> -> y(t1)=1
>
>
> und für die Vertikaltangente
>
> ergibt sich ein [mm]t2=\pi/8[/mm]
>
> -> x(t1)= 1
> -> y(t1)= 0,3827
>
in der Aufgabenstellung heißt es alle Parameterwerte.
Die Periodizität des cos muß schon berücksichtigt werden.
> wie mache ich nun mit dem 2. Teil weiter, bei dem es einen
> Punkt P gibt, indem die Kurve 2 Tangenten hat? UNd wie
> komme ich auf die Gleichung der Tangenten?
Es gibt offenbar gleiche Punkte, die unterschiedlichen Parametern entsprechen.
Es gibt also [mm]t_{1} \; \ne \;t_{2} [/mm] mit:
[mm]\begin{gathered}
x\left( {t_1 } \right)\; = \;x\left( {t_2 } \right) \hfill \\
y\left( {t_1 } \right)\; = \;y\left( {t_2 } \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dieses Gleichungssystem gilt es zu lösen.
Gruß
MathePower
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