Höhe einer Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Fr 22.05.2009 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Pyramide mit den Punkten
A (12/4/7)
B (4/1/2)
C (0/10/3)
D (8/13/8)
S (3/5/11)
Berechnen Sie die Höhe dieser Pyramide! |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich nicht voran.
Wie gehe ich am besten vor? Finde da im Moment leider keinen Rechenansatz.
Besten Dank...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Stelle die Ebene der Grundfläche durch die Punkte $A_$ bis $D_$ auf.
Anschließend handelt es sich um eine klassische Punkt-Ebene-Abstandsaufgabe.
Bestimme Dir einen Normalenvektor zur Ebene und damit den Lotfußpunkt $F_$ der Spitze auf der Ebene.
Die gesuchte Höhe entspricht dem Abstand von $S_$ und $F_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:18 Fr 22.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Kann es sein dass die Ebenengleichung so aussieht?
[mm] \varepsilon: \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7}+r*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+s*\vektor{8 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo drahmas!
Das kann nicht stimmen, da die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind. Damit wird gar keine Ebene aufgespannt, sondern lediglich eine Gerade beschrieben.
Was hast Du denn wie gerechnet?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Fr 22.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo Loddar,
gut, wenn ich logisch überlege, ist mir nun auch klar, dass das nur einer Gerade ist, stimmt :) ...
Ich habe zuerst die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] errechnet und anschließend mittels einem fixen Punkt [mm] \overrightarrow{A} [/mm] in die Formel
[mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}= \overrightarrow{A} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{CD}
[/mm]
eingesetzt.
Wobei [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ -3 \\ -5}
[/mm]
und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 13 \\ 8} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
Fixer Punkt = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7}
[/mm]
Ergibt: [mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}=\vektor{12 \\ 4 \\ 7}+r*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+s*\vektor{8 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
Danke und beste Grüße...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Fr 22.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast unglücklicherweise zwei "Seiten des Vierecks" als Spannvektoren der Ebene genommen, die parallel sind.
Nimm als Stützpunkt den Punkt A und als Spannvektoren die beiden Seiten, die von A abgehen, also [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{AB}. [/mm] Die sind meistens eben nicht parallel.
Dann sollte das mit der Ebene klappen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 22.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Gut, danke.
Dann sollte dabei herauskommen: [mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}=\vektor{12 \\ 4 \\ 7}+s*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+t*\vektor{-4 \\ 11 \\ 1}
[/mm]
Und wie komme ich jetzt zum Lotfußpunkt? Tappe da ziemlich im Dunkeln ehrlich gesagt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Fr 22.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimme jetzt mal einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene.
Bilde dann die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{s}+\lambda*\vec{n}, [/mm] das ist die Gerade durch die Spitze S, die die Ebene senkrecht schneidet.
Der Schnittpunkt von G und E ist der Lotfusspunkt F, die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{SF} [/mm] ist die Höhe der Pyramide.
Marius
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Achtung, wenn du so rechnest, musst du noch Beweisen, dass C Element der Ebene ist.
Ansonsten wäre die errechnete Ebene natürlich keine Grundfläche einer Viereckpyramide, aber soviel Zeit muß man imho haben. (Schließlich könnte S ja auch für Schwerpunkt stehen und sich um eine Dreieckpyramide handeln, auch wenn dass hier nicht der Fall ist.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Fr 22.05.2009 | | Autor: | isi1 |
Es könnte auch so gehen:
Kreuzprodukt aus [mm] \vec{AB}=\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}, \vec{AD}=\vektor{-4 \\ 9 \\ 1} [/mm] ist senkrecht zum Viereck ABCD
$ [mm] [\vec{AB}, \vec{AD}] [/mm] = [mm] \vektor{42 \\ 28 \\ -84} [/mm] $ der Einheitsvektor davon $ = [mm] \vektor{3/7 \\ 2/7 \\ -6/7} [/mm] $
skalar multipliziert mit $ [mm] \vec{AS} [/mm] = [mm] \vektor{-9 \\ 1 \\ 4} [/mm] $ ergibt 7
Hoffentlich stimmts jetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 24.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
also, irgendwie komme ich, im Augenblick, mit keinem der beiden Lösungswege klar. Ich hab zwar jetzt eine Ebenengleichung, weiß aber nicht wie ich da den Normalvektor bestimmen soll und, isi, verstehe ich den Zusammenhang der Multiplikation mit dem Vektor [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] nicht ganz.
Wenn mir beide Lösungswege noch einmal etwas genauer erklärt werden könnten, wärs prima....
Grüße
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hallo
den normalenvektor der Ebene bestimmst du folgendermaßen:
Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.leider blicke ich durch die ganze diskussion nichht durch,daher kann ich das nicht vorrechnen.
ich hoffe du weißt was das Kreuzprodukt ist und auch wie mans rechnet.
Nun hast du den Normalenvektor.
um die höhe der pyramide zu bestimmen musst du folgendermaßen vorgehen:
A (12/4/7)
B (4/1/2)
C (0/10/3)
D (8/13/8)
S (3/5/11)
Nun jetzt bildest du ertsmal den [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-12 \\ 6 \\ -4}=\vec{v}
[/mm]
jetzt bildest du den [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-9 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Jetzt bildest du das Kreuzprodukt aus [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS}.
[/mm]
Da kommt folgendes raus: [mm] \vektor{28 \\ 84 \\ 42 }
[/mm]
Nun rechnest du den Betrag dieses vektors aus:
das macht man so:
[mm] \left| \wurzel{28^2+84^2+42^2} \right| [/mm] =98
Nun bildest du nur den Betrag vom [mm] \vec{v}.
[/mm]
das macht man so:
[mm] \left| \wurzel{(-12)^2+6^2+(-4)^2} \right| [/mm] =14
Nun teilst du diese beiden ergebnisse:
[mm] \bruch{98}{14}=höhe
[/mm]
7 LE(LängenEinheiten)=Höhe
ich hoffe dass dir das ganze weiter hilft,ich habe alles ausführlich gerechnet,damit du es nachvollziehen kannst.ich hoffe,dass es mir gelungen ist.
MfG
Hasan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 25.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo Hasan,
danke für deine sehr verständliche Erklärung. Ich blicke jetzt so weit durch, nur ist mir beim Kreuzprodukt etwas nicht ganz klar.
Wenn ich das Kreuzprodukt von [mm] \vec{v}\times\overrightarrow{AS} [/mm] bilde, kommt bei mir [mm] \vektor{40 \\ 84 \\ 42} [/mm] raus und nicht [mm] \vektor{28 \\ 84 \\ 42}.
[/mm]
Was mache ich da falsch? Ich multipliziere [mm] \vmat{ y \vec{v} & y \overrightarrow{AB} \\ z \vec{v} & z \overrightarrow{AB} }\Rightarrow\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=40
[/mm]
Beste Grüße, Andi
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> Hallo Hasan,
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> danke für deine sehr verständliche Erklärung. Ich blicke
> jetzt so weit durch, nur ist mir beim Kreuzprodukt etwas
> nicht ganz klar.
>
> Wenn ich das Kreuzprodukt von
> [mm]\vec{v}\times\overrightarrow{AS}[/mm] bilde, kommt bei mir
> [mm]\vektor{40 \\ 84 \\ 42}[/mm] raus und nicht [mm]\vektor{28 \\ 84 \\ 42}.[/mm]
>
> Was mache ich da falsch? Ich multipliziere [mm]\vmat{ y \vec{v} & y \overrightarrow{AB} \\ z \vec{v} & z \overrightarrow{AB} }\Rightarrow\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=40[/mm]
>
> Beste Grüße, Andi
Hallo,
hier geht's nur um das kleine Determinantchen? Möglicherweise hast Du Dich bei 6*4 verrechnet.
[mm] \vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=6*4-1*(-4)= 28.\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mo 25.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke, stimmt, war ein Schreibfehler bei mir, hab (-4)*4 gerechnet...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mo 25.05.2009 | | Autor: | weduwe |
alternativ kann man mit der HNF der grundfläche arbeiten
HNF von [mm] E_{ABCD}: \frac{3x+2y-6z-2}{7}=0
[/mm]
[mm]h=d(S;E)=|\frac{9+10-66-2}{7}|=7[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Di 26.05.2009 | | Autor: | isi1 |
Es geht übrigens noch leichter, weduwe:
1. Die Längen der Seiten des Vierecks ABCD sind alle $ l = [mm] 7\cdot \sqrt{2} [/mm] $
2. Die Längen der Diagonalen (AC) und (BD) sind 14
3. Die Mittelpunkte beider Diagonalen sind M=[6,7,5], d.h. ein Quadrat
Die Abstände MA, MB, MC, MD sind demnach jeweils 7
4. Die Abstände SA, SB, SC, SD sind gleich l, d.h. SM ist senkrecht auf ABCD und 7 lang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 So 24.05.2009 | | Autor: | isi1 |
Na und, Loddar, Drahmar und Rex, seid Ihr jetzt mit meinem Vorschlag einverstanden??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 So 24.05.2009 | | Autor: | drahmas |
:) Hallo ISI,
also erst mal danke für Deine Hilfe. Rechne gerade an einer anderen Aufgabe und hatte vor diese heute Nachmittag weiter zu bearbeiten. Spätestens dann weiß ich mehr.
Andi
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