www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Vektoren" - Höhe einer Pyramide
Höhe einer Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Fr 22.05.2009
Autor: drahmas

Aufgabe
Gegeben ist eine Pyramide mit den Punkten

A (12/4/7)
B (4/1/2)
C (0/10/3)
D (8/13/8)
S (3/5/11)

Berechnen Sie die Höhe dieser Pyramide!

Hallo,

bei dieser Aufgabe komme ich nicht voran.
Wie gehe ich am besten vor? Finde da im Moment leider keinen Rechenansatz.

Besten Dank...

        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Fr 22.05.2009
Autor: Loddar

Hallo drahmas!


Stelle die Ebene der Grundfläche durch die Punkte $A_$ bis $D_$ auf.

Anschließend handelt es sich um eine klassische Punkt-Ebene-Abstandsaufgabe.

Bestimme Dir einen Normalenvektor zur Ebene und damit den Lotfußpunkt $F_$ der Spitze auf der Ebene.

Die gesuchte Höhe entspricht dem Abstand von $S_$ und $F_$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:18 Fr 22.05.2009
Autor: drahmas

Kann es sein dass die Ebenengleichung so aussieht?

[mm] \varepsilon: \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7}+r*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+s*\vektor{8 \\ 3 \\ 5} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Fr 22.05.2009
Autor: Loddar

Hallo drahmas!


Das kann nicht stimmen, da die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind. Damit wird gar keine Ebene aufgespannt, sondern lediglich eine Gerade beschrieben.

Was hast Du denn wie gerechnet?


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Fr 22.05.2009
Autor: drahmas

Hallo Loddar,

gut, wenn ich logisch überlege, ist mir nun auch klar, dass das nur einer Gerade ist, stimmt :) ...

Ich habe zuerst die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] errechnet und anschließend mittels einem fixen Punkt [mm] \overrightarrow{A} [/mm] in die Formel

[mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}= \overrightarrow{A} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{CD} [/mm]

eingesetzt.

Wobei [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ -3 \\ -5} [/mm]

und [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 13 \\ 8} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 10 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 3 \\ 5} [/mm]

Fixer Punkt = [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 4 \\ 7} [/mm]

Ergibt: [mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}=\vektor{12 \\ 4 \\ 7}+r*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+s*\vektor{8 \\ 3 \\ 5} [/mm]

Danke und beste Grüße...

Bezug
                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Fr 22.05.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast unglücklicherweise zwei "Seiten des Vierecks" als Spannvektoren der Ebene genommen, die parallel sind.

Nimm als Stützpunkt den Punkt A und als Spannvektoren die beiden Seiten, die von A abgehen, also [mm] \overline{AD} [/mm] und [mm] \overline{AB}. [/mm] Die sind meistens eben nicht parallel.

Dann sollte das mit der Ebene klappen.

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Fr 22.05.2009
Autor: drahmas

Gut, danke.

Dann sollte dabei herauskommen: [mm] \varepsilon: \overrightarrow{X}=\vektor{12 \\ 4 \\ 7}+s*\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}+t*\vektor{-4 \\ 11 \\ 1} [/mm]


Und wie komme ich jetzt zum Lotfußpunkt? Tappe da ziemlich im Dunkeln ehrlich gesagt.

Bezug
                                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 22.05.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Bestimme jetzt mal einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene.
Bilde dann die Gerade [mm] g:\vec{x}=\vec{s}+\lambda*\vec{n}, [/mm] das ist die Gerade durch die Spitze S, die die Ebene senkrecht schneidet.
Der Schnittpunkt von G und E ist der Lotfusspunkt F, die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{SF} [/mm] ist die Höhe der Pyramide.

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 So 24.05.2009
Autor: Blindfisch81

Achtung, wenn du so rechnest, musst du noch Beweisen, dass C Element der Ebene ist.
Ansonsten wäre die errechnete Ebene natürlich keine Grundfläche einer Viereckpyramide, aber soviel Zeit muß man imho haben. (Schließlich könnte S ja auch für Schwerpunkt stehen und sich um eine Dreieckpyramide handeln, auch wenn dass hier nicht der Fall ist.)

Bezug
        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Fr 22.05.2009
Autor: isi1

Es könnte auch so gehen:

Kreuzprodukt aus [mm] \vec{AB}=\vektor{-8 \\ -3 \\ -5}, \vec{AD}=\vektor{-4 \\ 9 \\ 1} [/mm] ist senkrecht zum Viereck ABCD  
$ [mm] [\vec{AB}, \vec{AD}] [/mm] = [mm] \vektor{42 \\ 28 \\ -84} [/mm] $  der Einheitsvektor davon $ =  [mm] \vektor{3/7 \\ 2/7 \\ -6/7} [/mm] $
skalar multipliziert mit  $ [mm] \vec{AS} [/mm] = [mm] \vektor{-9 \\ 1 \\ 4} [/mm] $ ergibt 7

Hoffentlich stimmts jetzt?

Bezug
                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 So 24.05.2009
Autor: drahmas

Hallo,

also, irgendwie komme ich, im Augenblick, mit keinem der beiden Lösungswege klar. Ich hab zwar jetzt eine Ebenengleichung, weiß aber nicht wie ich da den Normalvektor bestimmen soll und, isi, verstehe ich den Zusammenhang der Multiplikation mit dem Vektor [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] nicht ganz.

Wenn mir beide Lösungswege noch einmal etwas genauer erklärt werden könnten, wärs prima....

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 So 24.05.2009
Autor: plutino99

hallo

den normalenvektor der Ebene bestimmst du folgendermaßen:

Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren.leider blicke ich durch die ganze diskussion nichht durch,daher kann ich das nicht vorrechnen.

ich hoffe du weißt was das Kreuzprodukt ist und auch wie mans rechnet.
Nun hast du den Normalenvektor.

um die höhe der pyramide zu bestimmen musst du folgendermaßen vorgehen:

A (12/4/7)
B (4/1/2)
C (0/10/3)
D (8/13/8)
S (3/5/11)

Nun jetzt bildest du ertsmal den [mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-12 \\ 6 \\ -4}=\vec{v} [/mm]

jetzt bildest du den [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-9 \\ 1 \\ 4} [/mm]

Jetzt bildest du das Kreuzprodukt aus [mm] \vec{v} [/mm] und  [mm] \overrightarrow{AS}. [/mm]

Da kommt folgendes raus: [mm] \vektor{28 \\ 84 \\ 42 } [/mm]

Nun rechnest du den Betrag dieses vektors aus:

das macht man so:

[mm] \left| \wurzel{28^2+84^2+42^2} \right| [/mm] =98

Nun bildest du nur den Betrag vom [mm] \vec{v}. [/mm]

das macht man so:

[mm] \left| \wurzel{(-12)^2+6^2+(-4)^2} \right| [/mm] =14

Nun teilst du diese beiden ergebnisse:

[mm] \bruch{98}{14}=höhe [/mm]
7 LE(LängenEinheiten)=Höhe

ich hoffe dass dir das ganze weiter hilft,ich habe alles ausführlich gerechnet,damit du es nachvollziehen kannst.ich hoffe,dass es mir gelungen ist.

MfG
Hasan



Bezug
                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mo 25.05.2009
Autor: drahmas

Hallo Hasan,

danke für deine sehr verständliche Erklärung. Ich blicke jetzt so weit durch, nur ist mir beim Kreuzprodukt etwas nicht ganz klar.

Wenn ich das Kreuzprodukt von [mm] \vec{v}\times\overrightarrow{AS} [/mm] bilde, kommt bei mir  [mm] \vektor{40 \\ 84 \\ 42} [/mm] raus und nicht [mm] \vektor{28 \\ 84 \\ 42}. [/mm]

Was mache ich da falsch? Ich multipliziere [mm] \vmat{ y \vec{v} & y \overrightarrow{AB} \\ z \vec{v} & z \overrightarrow{AB} }\Rightarrow\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=40 [/mm]

Beste Grüße, Andi

Bezug
                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Mo 25.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo Hasan,
>  
> danke für deine sehr verständliche Erklärung. Ich blicke
> jetzt so weit durch, nur ist mir beim Kreuzprodukt etwas
> nicht ganz klar.
>  
> Wenn ich das Kreuzprodukt von
> [mm]\vec{v}\times\overrightarrow{AS}[/mm] bilde, kommt bei mir  
> [mm]\vektor{40 \\ 84 \\ 42}[/mm] raus und nicht [mm]\vektor{28 \\ 84 \\ 42}.[/mm]
>  
> Was mache ich da falsch? Ich multipliziere [mm]\vmat{ y \vec{v} & y \overrightarrow{AB} \\ z \vec{v} & z \overrightarrow{AB} }\Rightarrow\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=40[/mm]
>  
> Beste Grüße, Andi

Hallo,

hier geht's nur um das kleine Determinantchen? Möglicherweise hast Du Dich bei 6*4 verrechnet.

[mm] \vmat{6 & 1 \\-4 & 4 }=6*4-1*(-4)= 28.\vmat{6 & 1 \\-4 & 4 } [/mm]

Gruß v. Angela




Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:05 Mo 25.05.2009
Autor: drahmas

Hallo,

danke, stimmt, war ein Schreibfehler bei mir, hab (-4)*4 gerechnet...

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 25.05.2009
Autor: weduwe

alternativ kann man mit der HNF der grundfläche arbeiten

HNF von [mm] E_{ABCD}: \frac{3x+2y-6z-2}{7}=0 [/mm]

[mm]h=d(S;E)=|\frac{9+10-66-2}{7}|=7[/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Di 26.05.2009
Autor: isi1

Es geht übrigens noch leichter, weduwe:

1. Die Längen der Seiten des Vierecks ABCD sind alle $ l = [mm] 7\cdot \sqrt{2} [/mm] $  
2. Die Längen der Diagonalen (AC) und (BD) sind 14
3. Die Mittelpunkte beider Diagonalen sind M=[6,7,5], d.h. ein Quadrat
    Die Abstände MA, MB,  MC, MD sind demnach jeweils 7
4. Die Abstände SA, SB,  SC, SD sind gleich l, d.h. SM ist senkrecht auf ABCD und 7 lang

Bezug
        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 So 24.05.2009
Autor: isi1

Na und, Loddar, Drahmar und Rex, seid Ihr jetzt mit meinem Vorschlag einverstanden??

Bezug
                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 So 24.05.2009
Autor: drahmas

:) Hallo ISI,

also erst mal danke für Deine Hilfe. Rechne gerade an einer anderen Aufgabe und hatte vor diese heute Nachmittag weiter zu bearbeiten. Spätestens dann weiß ich mehr.

Andi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de