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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Geben Sue die Koordinaten einen Punktes D and, so dass durch die Punkte A(2/1/-1), B(18/5/-9), C(6/1/3) und D ein ebenes Parallelogramm gebildet wird.
Das Parallelogramm ABCD sei die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze im Koordinatenursprung. Untersuchen Sie, ob es sich um eine gerade Pyramide handelt und berechnen Sie die Höhe und das Volumen der Pyramide. |
Hallo!
Also, um auf den Punkt D zu kommen, kann ich doch einfach vom Punkt B(18/5/-9) in Richtung des Vektors AC (4/0/4) gehen, oder? Denn die Strecke BD muss ja parallel zu Strecke AC sein, damit ein Parallelogramm gebildet wird. Somit käme ich auf D(22/5/-5).
So, was allerdings ist damit gemeint, dass die Pyramide GERADE ist? Und wie soll man das überprüfen?
Für die Höhe könnte ich den Mittelpunkt des Parallelogramm berechnen, indem ich den Schnittpunkt der beiden Diagonalen berechnen und dann mit Hilfe dieses Punktes den Abstand zur Umsprung berechnen, oder?
Ja, und für das Volumen bräuchte ich dann noch die Grundfläche, müsste also die Höhe im Parallelogramm berechnen und die Länge der Seiten a und c.
Vielen Dank,
LG, coucou
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Hallo coucou,
> Geben Sie die Koordinaten eines Punktes D an, so dass
> durch die Punkte A(2/1/-1), B(18/5/-9), C(6/1/3) und D ein
> ebenes Parallelogramm gebildet wird.
>
> Das Parallelogramm ABCD sei die Grundfläche einer Pyramide
> mit der Spitze im Koordinatenursprung. Untersuchen Sie, ob
> es sich um eine gerade Pyramide handelt und berechnen Sie
> die Höhe und das Volumen der Pyramide.
> Hallo!
>
> Also, um auf den Punkt D zu kommen, kann ich doch einfach
> vom Punkt B(18/5/-9) in Richtung des Vektors AC (4/0/4)
> gehen, oder? Denn die Strecke BD muss ja parallel zu
> Strecke AC sein, damit ein Parallelogramm gebildet wird.
> Somit käme ich auf D(22/5/-5).
Ja, das ist eine von drei Möglichkeiten. Man erreicht jede von ihnen auf zwei unterschiedlichen "Wegen".
> So, was allerdings ist damit gemeint, dass die Pyramide
> GERADE ist? Und wie soll man das überprüfen?
Die Pyramide ist gerade, wenn das Lot der Spitze auf die Grundfläche gerade in deren Mittelpunkt liegt.
> Für die Höhe könnte ich den Mittelpunkt des
> Parallelogramm berechnen, indem ich den Schnittpunkt der
> beiden Diagonalen berechnen und dann mit Hilfe dieses
> Punktes den Abstand zur Umsprung berechnen, oder?
Nur, wenn die Pyramide gerade ist. Bei einer schiefen Pyramide musst Du den Ursprungsabstand der Ebene bestimmen, in der das Parallelogramm liegt - und damit auch die drei vorgegebenen Punkte.
> Ja, und für das Volumen bräuchte ich dann noch die
> Grundfläche, müsste also die Höhe im Parallelogramm
> berechnen und die Länge der Seiten a und c.
In Vektorschreibweise kann man die Fläche eines Parallelogramms noch viel leichter bestimmen. Kennst Du die geometrische Interpretation der verschiedenen Vektorprodukte?
> Vielen Dank,
> LG, coucou
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Danke erstmal für die Antwort. Allerdings blicke ich noch nicht so ganz durch.
Also mein Punkt D ist auf jeden Fall schon mal richtig, ja?
So, und dann:
"Die Pyramide ist gerade, wenn das Lot der Spitze auf die Grundfläche gerade in deren Mittelpunkt liegt."
Wie kann man denn das überprüfen? Einen Normalenvektor zur Ebene aufstellen und gucken, ob er durch den Ursprung geht?
Zur Höhe:
Habe ich also herausgefunden, dass die Pyramide gerade ist, kann ich meine Überlegung anweden. Ansonsten muss ich "den Ursprungsabstand der Ebene bestimmen, in der das Parallelogramm liegt". Kann ich dann also einfach einen Punkt der Ebene wählen und diese Abstandsformel benutzen?
Zum Volumen:
Nein, die "geometrische Interpretation der verschiedenen Vektorprodukte" kenne ich leider nicht.
Aber, indem ich einfach, wie beschrieben die Grundfläche des Parallelogramms berechne und dann mal 1/3 mal die Höhe der Pyramide rechne, geht es doch auch, oder?
LG,
coucou
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Hallo coucou,
> Also mein Punkt D ist auf jeden Fall schon mal richtig,
> ja?
Es ist einer von drei möglichen Punkten, und jeder davon wäre richtig. Da die Aufgabe nicht fordert, alle drei zu bestimmen, hast Du den Teil also richtig gelöst.
> So, und dann:
> "Die Pyramide ist gerade, wenn das Lot der Spitze auf die
> Grundfläche gerade in deren Mittelpunkt liegt."
> Wie kann man denn das überprüfen? Einen Normalenvektor
> zur Ebene aufstellen und gucken, ob er durch den Ursprung
> geht?
Ein Normalenvektor auf einem bestimmten Punkt der Ebene wird schon durch den Ursprung gehen, alle anderen nicht. Wenn derjenige, der durch den Ursprung geht, aber genau auf dem Mittelpunkt des Parallelogramms steht, dann ist die Pyramide gerade.
Alternativ kannst Du auch das Lot auf die Ebene fällen, wie schon gesagt.
Wo ist denn der Mittelpunkt des Parallelogramms?
Und wie lautet der (normierte) Normalenvektor der Ebene?
Beides brauchst Du in jedem Fall.
> Zur Höhe:
> Habe ich also herausgefunden, dass die Pyramide gerade
> ist, kann ich meine Überlegung anweden. Ansonsten muss ich
> "den Ursprungsabstand der Ebene bestimmen, in der das
> Parallelogramm liegt". Kann ich dann also einfach einen
> Punkt der Ebene wählen und diese Abstandsformel benutzen?
Nein, dann könntest Du ja die Höhe beliebig festlegen. In einer anderen Anfrage schriebst Du doch vorhin, dass Du weißt, wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmt. Das ist hier gefragt.
> Zum Volumen:
> Nein, die "geometrische Interpretation der verschiedenen
> Vektorprodukte" kenne ich leider nicht.
> Aber, indem ich einfach, wie beschrieben die Grundfläche
> des Parallelogramms berechne und dann mal 1/3 mal die Höhe
> der Pyramide rechne, geht es doch auch, oder?
Ja, das geht natürlich.
> LG,
> coucou
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 03.06.2010 | | Autor: | coucou |
Hallo!
"Ein Normalenvektor auf einem bestimmten Punkt der Ebene wird schon durch den Ursprung gehen, alle anderen nicht. Wenn derjenige, der durch den Ursprung geht, aber genau auf dem Mittelpunkt des Parallelogramms steht, dann ist die Pyramide gerade."
Den Mittelpunkt der Ebene habe ich bestimmt, er liegt bei (12/3/-3).
Aber wie bestimme ich denn einen Normalenvektor, der durch einen bestimmten Punkt gehen soll, in diesem Fall den Ursprung?
Ich dachte der Normalenvektor der Ebene E: -x+ 6y+z= 3 sei einfach (-1/6/1) ?
LG,
coucou
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Hallo coucou,
es ist doch egal, ob Du
1) ... erst einen allgemeinen Punkt nimmst, dann ein Vielfaches des Normalenvektors "daraufstellst" und so den Punkt (und das Vielfache) ermittelst, von dem aus Du den Ursprung erreichst. Nur wenn der Punkt Dein ermittelter Mittelpunkt (des Parallelogramms, nicht der Ebene, die hat nämlich keinen) ist, ist die Pyramide gerade.
oder
2) ... Du vom Ursprung aus eine Gerade anlegst, die genau den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor hat, und überprüfst, ob der ermittelte Mittelpunkt darauf liegt. Wenn ja...
Methode 2 ist hier wesentlich schneller. Es handelt sich um eine schiefe Pyramide.
Nun musst Du "nur" noch den Abstand der Pyramidenspitze (Ursprung) von der Ebene bestimmen.
Dazu löst Du besser erst einmal Deine andere Aufgabe, bei der es ja gerade um eine solche Abstandsbestimmung geht.
Grüße
reverend
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