Höhenvektor bestimmen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 09.07.2009 | | Autor: | hydro |
| Aufgabe | Die Vektoren a1(1;1;1), a2(1;-3;-1), a3(1;0;-1) legen die Kanten eines Körpers fest, dessen Seitenflächen Parallelogramme sind.
a) Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die Grundfläche durch a1,a2 gebildet wird |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe einen Lösungsweg der auch richtig ist, den ich aber nicht ganz verstehe:
Als erstes wird a2 so geändert das der Vektor a2 orthogonal zu a1 steht.
Der neue Vektor heißt dann â2.
Dann wird a3 auf â2 projiziert.
Um die Höhe auszurechnen wird dann a3 minus die Projektion gerechnet.
Ich hab mir das ganze mal schön in 3D aufgezeichnet, und kann es mir inzwischen auch gut vorstellen.
Wenn ich die Lösung nicht hätte, würde ich einfach a3 sofort auf a2 projizieren, und dann a3 minus diese Projektion rechnen.
Warum der Vektor a2 aber jetzt dahingehend geändert werden muss dass er orthogonal zu a1 und a3 ist will mir einfach nicht klar werden.
Weshalb ist dieser Schritt notwendig?
Wenn ich den Vektor a2 umbiege verändert sich doch der ganze Körper, wie kann ich dann trotzdem den korrekten Höhenvektor ausrechnen?
Würde mich über eine Antwort freuen, irgendwas hab ich da wohl nicht verstanden.
Grüße
Andi
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> Die Vektoren a1(1;1;1), a2(1;-3;1), a3(1;0;-1) legen die
> Kanten eines Körpers fest, dessen Seitenflächen
> Parallelogramme sind.
Also offenbar ein sogenannter "Spat".
> a) Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die
> Grundfläche durch a1,a2 gebildet wird
>
> Ich habe einen Lösungsweg der auch richtig ist, den ich
> aber nicht ganz verstehe:
> Als erstes wird a2 so geändert das der Vektor a2
> orthogonal zu a1 steht.
> Der neue Vektor heißt dann â2.
> Dann wird a3 auf â2 projiziert.
> Um die Höhe auszurechnen wird dann a3 minus die
> Projektion gerechnet.
>
>
> Ich hab mir das ganze mal schön in 3D aufgezeichnet, und
> kann es mir inzwischen auch gut vorstellen.
> Wenn ich die Lösung nicht hätte, würde ich einfach a3
> sofort auf a2 projizieren, und dann a3 minus diese
> Projektion rechnen.
>
> Warum der Vektor a2 aber jetzt dahingehend geändert werden
> muss dass er orthogonal zu a1 und a3 ist will mir einfach
> nicht klar werden.
> Weshalb ist dieser Schritt notwendig?
> Wenn ich den Vektor a2 umbiege verändert sich doch der
> ganze Körper, wie kann ich dann trotzdem den korrekten
> Höhenvektor ausrechnen?
Hallo Andi,
mir ist auch nicht ganz geheuer, wie da aus
dem Vektor a2 der Vektor â2 gemacht werden soll.
Man muss ja einen Vektor erzeugen, der in
der von a1 und a2 aufgespannten Ebene
bleibt. Man kann dies natürlich tun, indem
man â2=a2+t*a1 ansetzt und dann t
so bestimmt, dass tatsächlich â2*a1=0 wird.
Aber auch der weitere beschriebene Weg ist
mir nicht klar.
Ich würde die Aufgabe anders anpacken.
Am besten geht es, wenn du das Vektor-
produkt (Kreuzprodukt) von Vektoren
kennst. Das Vektorprodukt [mm] n=a1\times{a}2
[/mm]
ergibt einen Vektor, der schon die richtige
Richtung senkrecht zur Grundfläche hat.
Die Projektion von a3 auf n ergibt den
gesuchten Höhenvektor.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 09.07.2009 | | Autor: | hydro |
Ich tippe mal den Lösungsweg ab, den unser Professor an die Tafel geschrieben hat:
Als erstes haben wir geschaut ob a1 senkrecht auf a2 steht.
Beim Skalarprodukt kam -3 raus. [mm] -3\not=0
[/mm]
Dann haben wir a2 senkrecht gemacht:
â2=a2- [<a2,a1>/<a1,a1>]*a1 = (2;-2;0)
a1 steht bereits senkrecht auf a3
Projektion p= [<a3,â2> / <â2,â2>]*â2 = 1/2(1;-1;0)
Höhe h=a3-p = (0,5;0,5;-1)
Im Aufgabenteil b) wurde dann das Volumen ausgerechnet (auch hier wurde â2 verwendet):
V=|a1|*|â2|*|h|
Vektorprodukt hatten wir nicht behandelt.
Bei einer Klausuraufgabe dürften wir dieses nicht nutzen.
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> Ich tippe mal den Lösungsweg ab, den unser Professor an
> die Tafel geschrieben hat:
>
> Als erstes haben wir geschaut ob a1 senkrecht auf a2
> steht.
> Beim Skalarprodukt kam -3 raus. [mm]-3\not=0[/mm]
Nach meiner Rechnung ergibt das Skalarprodukt
aus a1 und a2 den Wert -1 und nicht -3 .
Überprüfe doch bitte die Angaben genau.
Nachher können wir uns weiter unterhalten.
> Dann haben wir a2 senkrecht gemacht:
> â2=a2- [<a2,a1>/<a1,a1>]*a1 = (2;-2;0) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das stimmt hinten und vorne nicht !!!
Der Vektor (2;-2;0) ist zwar zu a1 senkrecht,
er liegt aber keineswegs in der Ebene, in der
er liegen müsste !
> a1 steht bereits senkrecht auf a3
> Projektion p= [<a3,â2> / <â2,â2>]*â2 = 1/2(1;-1;0)
> Höhe h=a3-p = (0,5;0,5;-1)
> Im Aufgabenteil b) wurde dann das Volumen ausgerechnet
> (auch hier wurde â2 verwendet):
> V=|a1|*|â2|*|h|
>
> Vektorprodukt hatten wir nicht behandelt.
> Bei einer Klausuraufgabe dürften wir dieses nicht nutzen.
Was ist denn das für eine Uni, wo das Vektor-
produkt verboten sein soll ?
Mein Urteil: Falls deine Angaben stimmen
und dies wirklich so vorgeführt wurde, dann
ist es nichts als fertiger Unsinn !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 09.07.2009 | | Autor: | hydro |
Sorry, Sorry, Sorry, das ist jetzt peinlich, habe bei dem Vektor a2 ein Minuszeichen vergessen.
es muss heißen a2(1;-3;-1),
dann müssten die Ergebnisse auch alle korrekt sein.
Wie gesagt, das Vektorprodukt hatten wir (jedenfalls zu diesem Zeitpunkt) noch nicht. Auch in meinem Skript steht nichts davon. d.h. ich muss es wohl anders lösen, auch wenn es mit dem Vektorprodukt einfacher gehen soll.
Mir ist allerdings immer noch nicht klar geworden warum ich a2 so hinbiegen muss, da sich der Körper ja dadurch verändert.
Danke schon mal für deine Hilfe!
Grüße
Andi
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HAllo hydro,
> Sorry, Sorry, Sorry, das ist jetzt peinlich, habe bei dem
> Vektor a2 ein Minuszeichen vergessen.
> es muss heißen a2(1;-3;-1),
> dann müssten die Ergebnisse auch alle korrekt sein.Antwort
>
> Wie gesagt, das Vektorprodukt hatten wir (jedenfalls zu
> diesem Zeitpunkt) noch nicht. Auch in meinem Skript steht
> nichts davon. d.h. ich muss es wohl anders lösen, auch
> wenn es mit dem Vektorprodukt einfacher gehen soll.
>
> Mir ist allerdings immer noch nicht klar geworden warum ich
> a2 so hinbiegen muss, da sich der Körper ja dadurch
> verändert.
>
Gut, der Körper verändert sich dadurch, dessen Grundfläche aber nicht.
Um den Flächeninhalt des von a1 und a2 aufgespannten Parallelogramms zu berechnen, benötigt man ja zwei Seiten die senkrecht aufeinander stehen.
Hier wird aus dem Parallelogramm ein flächeninhaltsgleiches Rechteck gemacht.
Und der Flächeninhalt eines Rechtecks ist einfach zu berechnen.
> Danke schon mal für deine Hilfe!
>
> Grüße
> Andi
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 10.07.2009 | | Autor: | hydro |
> Gut, der Körper verändert sich dadurch, dessen
> Grundfläche aber nicht.
Wenn sich der Körper ändert, ändert sich doch auch dessen Volumen und Höhe?
> Um den Flächeninhalt des von a1 und a2 aufgespannten
> Parallelogramms zu berechnen, benötigt man ja zwei Seiten
> die senkrecht aufeinander stehen.
>
> Hier wird aus dem Parallelogramm ein
> flächeninhaltsgleiches Rechteck gemacht.
Ich hab Probleme mir das vorzustellen.
Kann man generell sagen, dass die Fläche immer gleich bleibt wenn mann 2 Vektoren senkrecht "hinbiegt"?...Obwohl, ich glaube bei einem Parallelogramm leuchtet mir dies jetzt ein.
Mein eigentliches Problem ist aber nicht die Fläche, sondern die Höhe.
Warum muss ich aus der Grundfläche ein Rechteck machen um an die Höhe zu kommen?
Wie schon erwähnt, mein erster Gedanke für an die Höhe zu gelangen war: Den Vektor a3 auf a2 zu projizieren. Die Höhe wäre dann a3 minus die Projektion.
Bei einem Parallelogramm im $ [mm] R^2 [/mm] $ würde ich jedenfalls so an die Höhe kommen, ohne ein Rechteck zu erstellen.
Grüße
Andi
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Hallo Andi,
> Mein eigentliches Problem ist aber nicht die Fläche,
> sondern die Höhe.
> Warum muss ich aus der Grundfläche ein Rechteck machen um
> an die Höhe zu kommen?
Das muss man gar nicht !
> Wie schon erwähnt, mein erster Gedanke für an die Höhe
> zu gelangen war: Den Vektor a3 auf a2 zu projizieren. Die
> Höhe wäre dann a3 minus die Projektion.
> Bei einem Parallelogramm im [mm]R^2[/mm] würde ich jedenfalls so
> an die Höhe kommen, ohne ein Rechteck zu erstellen.
Die Analogie dazu im [mm] \IR^3:
[/mm]
Du projizierst den Vektor a3 nicht auf a2,
sondern auf die von a1 und a2 aufgespannte
Ebene. Wenn du das ohne Vektorprodukt
machen musst, ist also eine Zerlegung
folgender Art gesucht:
a3=x*a1+y*a2+h
wobei der Vektor h (der gesuchte Höhenvektor !)
sowohl auf a1 als auch auf a2 senkrecht stehen
soll.
Etwas anders ausgedrückt: du suchst den
Fusspunkt des vom Endpunkt des Vektors a3
auf die von a1 und a2 aufgespannte Ebene.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 10.07.2009 | | Autor: | hydro |
> Du projizierst den Vektor a3 nicht auf a2,
> sondern auf die von a1 und a2 aufgespannte
> Ebene. [...]
Danke, das war jedenfalls ein Knackpunkt.
Versuche mir das ganze gerade mit Stiften zu bauen und nachzuvollziehen, da qualmt der Kopf ;)
Ich versuche mir gerade eine "Anleitung" herzuleiten wie ich das allgemein bei solchen Aufgaben machen soll.
Angenommen ich hab 3 Vektoren A,B,C, und ich soll die Höhe und das Volumen ausrechnen. A und B bilden die Grundfläche.
1.) Falls A und B nicht orthogonal sind, mache ich sie orthogonal da sich zwar die Form ändert, aber nicht die Grundfläche und die Höhe, ist dies zulässig.
2.) Nun mache ich C orthogonal zu A und B, wenn ich das gemacht habe ist C gleichzeitig mein Höhenvektor.
In diesem Bsp.:
1.) a2 orthogonal zu a1 machen. Ergebnis â2
2.) a3 ist bereits orthogonal zu a1. Also jetzt noch orthogonal zu â2 machen. Ergebnis: â3, welcher dann gleichzeitig der gesuchte Höhenvektor ist.
So hab ich das jedenfalls jetzt bei diesem Beispiel nochmal schnell gemacht, und das Ergebnis stimmte.
Mit dieser "Anleitung" müsste dies doch allgemein immer funktionieren, oder? (Natürlich auf $ [mm] R^3 [/mm] $ bezogen)
Grüße
Andi
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Hallo hydro,
> > Du projizierst den Vektor a3 nicht auf a2,
> > sondern auf die von a1 und a2 aufgespannte
> > Ebene. [...]
> Danke, das war jedenfalls ein Knackpunkt.
> Versuche mir das ganze gerade mit Stiften zu bauen und
> nachzuvollziehen, da qualmt der Kopf ;)
>
> Ich versuche mir gerade eine "Anleitung" herzuleiten wie
> ich das allgemein bei solchen Aufgaben machen soll.
> Angenommen ich hab 3 Vektoren A,B,C, und ich soll die
> Höhe und das Volumen ausrechnen. A und B bilden die
> Grundfläche.
> 1.) Falls A und B nicht orthogonal sind, mache ich sie
> orthogonal da sich zwar die Form ändert, aber nicht die
> Grundfläche und die Höhe, ist dies zulässig.
> 2.) Nun mache ich C orthogonal zu A und B, wenn ich das
> gemacht habe ist C gleichzeitig mein Höhenvektor.
>
> In diesem Bsp.:
> 1.) a2 orthogonal zu a1 machen. Ergebnis â2
> 2.) a3 ist bereits orthogonal zu a1. Also jetzt noch
> orthogonal zu â2 machen. Ergebnis: â3, welcher dann
> gleichzeitig der gesuchte Höhenvektor ist.
>
> So hab ich das jedenfalls jetzt bei diesem Beispiel nochmal
> schnell gemacht, und das Ergebnis stimmte.
> Mit dieser "Anleitung" müsste dies doch allgemein immer
> funktionieren, oder? (Natürlich auf [mm]R^3[/mm] bezogen)
Ja, das funktioniert auch.
>
> Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Fr 10.07.2009 | | Autor: | hydro |
> Ja, das funktioniert auch.
Super ;)
Hab mich zwar mit dieser doch relativ leichten Aufgabe ziemlich schwer getan, aber diesen Lösungsweg verstehe ich jetzt.
Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
Hier stand Quatsch sorry
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Do 09.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Al Ch.
Das Vektorprodukt ist eine Spezialitaet des [mm] R^3 [/mm] es gibt keine einfache Verallgemeinerung in den [mm] R^n [/mm] und auch da sollte man Vektoren in einen [mm] R^{n-1} [/mm] projizieren koennen.
Das Vektorprodukt einfuehren in linearer algebra, wo der [mm] R^3 [/mm] nur ein (nicht sehr glueckliches) Beispiel eines VR ist, kann zur Verwirrung fuehren.
Ich find es besser auch im [mm] R^3 [/mm] das zu tun, was man in jedem VR tun kann. des halb ist der prof wohl doch nicht so ... wie du ihn findest.
Was anderes ist die Schule, wo es nicht um allgemeine VR geht sondern gezielt um den [mm] R^3. [/mm] Und da wir in ihm leben und ein grosser teil der Physik auch, muss man auch ihn kennenlernen. aber nicht um Projektionen auszurechnen.
Gruss leduart
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> Hallo Al Ch.
> Das Vektorprodukt ist eine Spezialitaet des [mm]R^3[/mm] es gibt
> keine einfache Verallgemeinerung in den [mm]R^n[/mm] und auch da
> sollte man Vektoren in einen [mm]R^{n-1}[/mm] projizieren koennen.
> Das Vektorprodukt einfuehren in linearer algebra, wo der
> [mm]R^3[/mm] nur ein (nicht sehr glueckliches) Beispiel eines VR
> ist, kann zur Verwirrung fuehren.
> Ich find es besser auch im [mm]R^3[/mm] das zu tun, was man in
> jedem VR tun kann. des halb ist der prof wohl doch nicht so
> ... wie du ihn findest.
> Was anderes ist die Schule, wo es nicht um allgemeine VR
> geht sondern gezielt um den [mm]R^3.[/mm] Und da wir in ihm leben
> und ein grosser teil der Physik auch, muss man auch ihn
> kennenlernen. aber nicht um Projektionen auszurechnen.
> Gruss leduart
OK, so weit einverstanden. Aber meiner
Meinung nach war auch die weitere Be-
schreibung der Bestimmung des Norma-
lenvektors nicht korrekt. Vielleicht war
ja die Erklärung des Professors etwas
anders als das, was dann vom Studenten
notiert worden ist ...
Lieben Gruß, Al
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Hallo hydro,
> Die Vektoren a1(1;1;1), a2(1;-3;1), a3(1;0;-1) legen die
> Kanten eines Körpers fest, dessen Seitenflächen
> Parallelogramme sind.
>
> a) Welchen Höhenvektor hat der Körper, wenn die
> Grundfläche durch a1,a2 gebildet wird
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe einen Lösungsweg der auch richtig ist, den ich
> aber nicht ganz verstehe:
> Als erstes wird a2 so geändert das der Vektor a2
> orthogonal zu a1 steht.
> Der neue Vektor heißt dann â2.
> Dann wird a3 auf â2 projiziert.
> Um die Höhe auszurechnen wird dann a3 minus die
> Projektion gerechnet.
>
>
> Ich hab mir das ganze mal schön in 3D aufgezeichnet, und
> kann es mir inzwischen auch gut vorstellen.
> Wenn ich die Lösung nicht hätte, würde ich einfach a3
> sofort auf a2 projizieren, und dann a3 minus diese
> Projektion rechnen.
>
> Warum der Vektor a2 aber jetzt dahingehend geändert werden
> muss dass er orthogonal zu a1 und a3 ist will mir einfach
> nicht klar werden.
> Weshalb ist dieser Schritt notwendig?
Damit die Formeln für das Volumen einfach angewendet werden können.
> Wenn ich den Vektor a2 umbiege verändert sich doch der
> ganze Körper, wie kann ich dann trotzdem den korrekten
> Höhenvektor ausrechnen?
>
Die Fläche eines Parallelogramms ergibt sich zu Grundfläche mal Höhe.
Das Parallelogramm hat aber Seiten [mm]\vmat{a_{1}}, \ \vmat{a_{2}}[/mm],
die nicht senkrecht aufeinander stehen.
Die Höhe ergibt sich hier nun zu [mm]h=\vmat{a_{2}}*\vmat{\sin\left(\alpha\right)}[/mm]
,wobei [mm]\alpha[/mm], der von [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] eingeschlossene Winkel ist.
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> Würde mich über eine Antwort freuen, irgendwas hab ich da
> wohl nicht verstanden.
>
> Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
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