Hölder Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 11.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich muss nachprüfen, ob die Hölder Ungleichung für p=3/4 und
alle Funktionen f,g (beschränkt und stetig) mit [mm] f\ge{c}>0,g\ge{c}>0 [/mm] auf [a,b] gilt.
Wenn p=3/4, dann ist q=-3
die Hölder Ungleichung sieht dann folgendermaßen aus:
[mm] \vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^p}^{1/p}\pmat{\int_a^b|g|^q}^{1/q} [/mm]
p und q eingsetzt sollte gelten:
[mm] \vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^{3/4}}^{4/3}\pmat{\int_a^b|g|^{-3}}^{-1/3} [/mm]
Aber wie prüft man so was?
Kriege das irgendwie nicht auf die Reihe!
Wäre schön wenn mir jemand helfen würde.
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Sa 11.12.2010 | | Autor: | christi |
Kann mir denn keiner helfen?
Bitte!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 11.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ich muss nachprüfen, ob die Hölder Ungleichung für
> p=3/4 und
> alle Funktionen f,g (beschränkt und stetig) mit
> [mm]f\ge{c}>0,g\ge{c}>0[/mm] auf [a,b] gilt.
Was soll [mm] $f\ge{c}>0$ [/mm] bedeuten? Soll $f$ durch eine Konstante von 0 weg verschoben sein? Oder bedeutet das $c$ in den geschweiften Klammern (siehe LaTeX-Code) etwas spezielles?
> Wenn p=3/4, dann ist q=-3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die Hölder Ungleichung sieht dann folgendermaßen aus:
> [mm]\vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^p}^{1/p}\pmat{\int_a^b|g|^q}^{1/q}[/mm]
> p und q eingsetzt sollte gelten:
> [mm]\vmat{ \int_a^bfg }\le\pmat{ \int_a^b|f|^{3/4}}^{4/3}\pmat{\int_a^b|g|^{-3}}^{-1/3}[/mm]
> Aber wie prüft man so was?
In dem du einfache (aber nicht zu einfache!) Funktionen, die die Voraussetzungen erfuellen, einsetzt und guckst ob es stimmt.
Hast du mal ein paar probiert? Und wenn ja, welche?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 11.12.2010 | | Autor: | christi |
Hallo, Felix!!
Vielen Dank für deine Antwort, das ist sehr nett von dir!!!
Ich habe die zwei Funktionen genommen: [mm] f=x^4 [/mm] und [mm] g=x^2. [/mm]
Sie sind beide auf dem Intervall [1,2] größer als 1. Dann gilt:
[mm] A=\vmat{ \int_1^2x^4x^2dx}=\vmat{ \int_1^2x^6dx}=\vmat{ [\bruch{1}{7}x^7]_1^2}=\vmat{\bruch{2^7}{7}-\bruch{1}{7}}=\vmat{\bruch{128}{7}-\bruch{1}{7}}=\bruch{127}{7}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ \int_1^2|x^4|^{3/4}}^{4/3}=\pmat{ \int_1^2x^3}^{4/3}=\pmat{ [\bruch{1}{4}x^4]_1^2}^{4/3}=\pmat{ \bruch{16}{4}-\bruch{1}{4}}^{4/3}=\pmat{ \bruch{15}{4}}^{4/3}
[/mm]
[mm] C=\pmat{ \int_1^2|x^2|^{-3}}^{-1/3}=\pmat{ \int_1^2x^{-6}}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{5}x^{-5}]_1^2}^{-1/3}=\pmat{[-\bruch{1}{160}+\bruch{1}{5}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{31}{160}}^{-1/3}=\pmat{\bruch{160}{31}}^{1/3}
[/mm]
BC=8,076
A=18,14
Das bedeutet, dass [mm] A\ge{BC} [/mm] und die Ungleichung gilt nicht.
stimmt das so?
Vielen Dank
Beste Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Sa 11.12.2010 | | Autor: | christi |
Vielen vielen Dank!!
Beste Grüße
|
|
|
|
