Hölder anwenden < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Gedanke: Um die Hölder Ungleichung anwenden zu können muss ich aus den zwei Produkten in der Summe ein Produkt machen. Ich habe also "substituiert":
m := [mm] (x_1 y_1, [/mm] ..., [mm] x_d y_d)^T
[/mm]
Dann kann ich die Gleichung schonmal umschreiben:
[mm] \summe_{k=1}^{d} |x_k y_k z_k| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{d} |m_k z_k|
[/mm]
Nun kann ich ja die Hölder-Ungleichung anwenden und erhalte:
[mm] \summe_{k=1}^{d} |m_k z_k| \le |m|_{p+q} |z|_{r}
[/mm]
Jetzt steht die zu zeigende Ungleichung ja schon fast da - aber mir fehlt der letzte Schritt - falls das bishere überhaupt so richtig ist.
Jemand ein Tipp?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Mein Gedanke: Um die Hölder Ungleichung anwenden zu können
> muss ich aus den zwei Produkten in der Summe ein Produkt
> machen. Ich habe also "substituiert":
>
> m := [mm](x_1 y_1,[/mm] ..., [mm]x_d y_d)^T[/mm]
>
> Dann kann ich die Gleichung schonmal umschreiben:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{d} |x_k y_k z_k|[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{d} |m_k z_k|[/mm]
>
> Nun kann ich ja die Hölder-Ungleichung anwenden und
> erhalte:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{d} |m_k z_k| \le |m|_{p+q} |z|_{r}[/mm]
>
> Jetzt steht die zu zeigende Ungleichung ja schon fast da -
> aber mir fehlt der letzte Schritt - falls das bishere
> überhaupt so richtig ist.
>
> Jemand ein Tipp?
ich wuerde folgendermassen vorgehen:
du hast also: [mm] $\frac1p+\frac1q+\frac1r=1$
[/mm]
dh. aber auch [mm] $\frac1p+\frac1q=1-\frac1r=\frac{r-1}{r}$
[/mm]
du musst nun im ersten schritt zeigen, dass [mm] $x\cdot y\in L^{\frac{r}{r-1}}$ [/mm] ist. das folgt direkt aus der hoelderungleichung. danach kannst du die H-ungleichung auf $xyz$ anwenden
[mm] $\|xyz\|_{L^1}\le \|xy\|_{L^{\frac{r}{r-1}}}\|z\|_{L^r}$
[/mm]
zusammen mit dem ersten schritt bist du dann fertig.
gruss
matthias
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Hallo,
vielen Dank für deine Ausführung.
Was ist denn bei dir [mm] L^{\frac{r}{r-1}} [/mm] bzw. das [mm] L^1 [/mm] bei [mm] ||xyz||_{L^1}, [/mm] das [mm] L^{\frac{r}{r-1}} [/mm] bei [mm] ||xy||_{L^{\frac{r}{r-1}}} [/mm] und das [mm] L^r [/mm] bei [mm] ||z||_{L^r}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 01.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für deine Ausführung.
>
> Was ist denn bei dir [mm]L^{\frac{r}{r-1}}[/mm] bzw. das [mm]L^1[/mm] bei
> [mm]||xyz||_{L^1},[/mm] das [mm]L^{\frac{r}{r-1}}[/mm] bei
> [mm]||xy||_{L^{\frac{r}{r-1}}}[/mm] und das [mm]L^r[/mm] bei [mm]||z||_{L^r}?[/mm]
allgemein wird hier mit $p [mm] \in (0,\infty]$ [/mm] die Bezeichnung der ![[]](/images/popup.gif) Lp-Räume benutzt [mm] ($\leftarrow$ Anklicken, um zum Wiki-Link zu gelangen).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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Also ich habe mir jetzt den Wikipedia-Artikel ausgedruckt und versucht zu verstehen. Aber da fehlen mir total die Grundlagen. Wir haben bisher zb. lediglich die Riemannintegrale behandelt. In den Bücher Ana Rep 1 und Ana Rep 2 kann ich zu L-P Räumen leider auch keine weiteren Informationen finden. In unserem Skript steht dazu auch nix.
Könnte man die Aufgabe dann nicht auch anders angehen? Ich komme da leider nicht weiter. Stecke total fest. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matthias,
> Also ich habe mir jetzt den Wikipedia-Artikel ausgedruckt
> und versucht zu verstehen. Aber da fehlen mir total die
> Grundlagen. Wir haben bisher zb. lediglich die
> Riemannintegrale behandelt. In den Bücher Ana Rep 1 und Ana
> Rep 2 kann ich zu L-P Räumen leider auch keine weiteren
> Informationen finden. In unserem Skript steht dazu auch
> nix.
>
> Könnte man die Aufgabe dann nicht auch anders angehen? Ich
> komme da leider nicht weiter. Stecke total fest. :(
da musst Du doch gar nicht viel weiter verstehen. Ich hätte es vielleicht dazuschreiben sollen:
Die Bezeichnung [mm] $||x||_{L^p}$ [/mm] ist bei Dir nichts anderes als [mm] $|x|_p$ [/mm] in der Deinen Notation. Ich dachte, es würde Dir auch mit dem Wiki-Link klarwerden, allerdings war mir nicht bewußt, dass Du vll. mit Dingen wie Maßräumen, Zählmaß etc. noch nichts anfangen kannst.
Also:
Der Tipp von Matthias war
$ [mm] \|xyz\|_{L^1}\le \|xy\|_{L^{\frac{r}{r-1}}}\|z\|_{L^r} [/mm] $
In der Dir - momentan - nur bekannten Notation heißt das:
[mm] $|xyz|_1 \le |xy|_{\frac{r}{r-1}}|z|_{r} [/mm] $
Und das Matthias sagte, Du sollst vorher zeigen:
$x*y [mm] \in L^{\frac{r}{r-1}}$
[/mm]
heißt dann, wenn ich es mal "übersetze":
Zeige zunächst:
[mm] $|x*y|_{\frac{r}{r-1}} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
(wobei hier [mm] $x*y:=(x_1y_1,...,x_dy_d)^T$)
[/mm]
bzw. in einer "besseren" Notation zeige (in äquivalenter Weise):
[mm] $\sum_{k=1}^d |x_ky_k|^{\frac{r}{r-1}} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
(Beachte: [mm] $\|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^d |x_k|^p\right)^\frac{1}{p} [/mm] < [mm] \infty$ $\gdw$ $\|x\|_p^p=\left(\sum_{k=1}^d |x_k|^p\right)^\frac{1}{p} [/mm] < [mm] \infty$.)
[/mm]
(Wobei es da eigentlich nichts zu zeigen gibt, da dort eine endliche Summe (mit Zahlen aus [mm] $\IK$, [/mm] also kein Summand ist [mm] $\pm \infty$) [/mm] steht. Aber ich habe ja auch nur Matthias Tipp übersetzt. 
Es kann sein, dass er dachte, es gehe um den [mm] $\IK^\IN$...)
[/mm]
Also, wenn Du so willst:
[mm] $\sum_{k=1}^d |x_ky_kz_k| \le \left(\sum_{k=1}^d |x_ky_k|^\frac{r}{r-1}\right)^{\frac{r-1}{r}} \left(\sum_{k=1}^d |z_k|^r\right)^\frac{1}{r}=|xy|_\frac{r}{r-1}|z|_r$
[/mm]
folgt nach einer ersten Anwendung der Hölderungleichung.
P.S.:
Ich sehe jetzt allerdings auch nicht direkt, wie daraus dann die Behauptung folgen sollte...
Gruß,
Marcel
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Hi,
> Also ich habe mir jetzt den Wikipedia-Artikel ausgedruckt
> und versucht zu verstehen. Aber da fehlen mir total die
> Grundlagen. Wir haben bisher zb. lediglich die
> Riemannintegrale behandelt. In den Bücher Ana Rep 1 und Ana
> Rep 2 kann ich zu L-P Räumen leider auch keine weiteren
> Informationen finden. In unserem Skript steht dazu auch
> nix.
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> Könnte man die Aufgabe dann nicht auch anders angehen? Ich
> komme da leider nicht weiter. Stecke total fest. :(
Sorry, ich habe anscheinend mit meinem tip mehr verwirrung ausgeloest als geholfen. Du brauchst natuerlich fuer deine aufgabe keine integrale oder aehnliches. Was ich impliziert habe ist, dass man hoelder-arithmetik rechnen kann, egal ob die integral-raeume [mm] $L^p$, [/mm] die folgenraeume [mm] $l^p$ [/mm] oder auch nur der [mm] K^n [/mm] mit p-normen dahinterstehen. Die konkrete definition der normen brauchst du eigentlich kaum, sobald du die H-ungleichung kennst.
diese lautet doch
[mm] $|xy|_1\le|x|_p\cdot|y|_q$ [/mm] mit p und q passend. klar soweit?
jetzt schau dir nochmal meinen tip von oben an. denke dir statt [mm] $L^p$ [/mm] einfach immer nur die p-norm. du musst nun zuerst zeigen, dass [mm] $|xy|_{\frac{r}{r-1}}<\infty$ [/mm] ist. (genauer musst du eigentlich die norm gegen die p-norm von x und die q-norm von y abschaetzen, aber dazu spaeter).
dieses problem musst du nun irgendwie auf die standard h-ungleichung zurueckfuehren. es ist aber
[mm] $|xy|_{\frac{r}{r-1}}^{\frac{r}{r-1}}=\left|(xy)^{\frac{r}{r-1}}\right|_1$
[/mm]
das ist wichtig zu verstehen (das exponentieren in der norm ist summandenweise gemeint,nach bilden des betrags. schreibs dir einfach mal hin)!
du musst nun auf die beiden faktoren [mm] $|x|^{\frac{r}{r-1}}$ [/mm] und [mm] $|y|^{\frac{r}{r-1}}$ [/mm] die h-ungl. mit geeigneten exponenten anwenden, so dass rechts vom [mm] $\le$-zeichen [/mm] wieder die p- und die q-norm von x und y auftauchen... waehle also
[mm] $s:=\frac{p}{{\frac{r}{r-1}}}$ [/mm] und
[mm] $t=\frac{s}{s-1}$.
[/mm]
dann ist
[mm] $\left|(xy)^{\frac{r}{r-1}}\right|_1\le ||x|^{\frac{r}{r-1}}|_{s}\cdot ||y|^{\frac{r}{r-1}}|_{t}$.
[/mm]
du musst nun nur nachrechnen, dass auf der rechten seite eigentlich nur die p und die q-norm von x und y stehen...
Ich weiss, hoelder-arithmetik ist am anfang etwas verwirrend, aber einfacher weiss ich es auch nicht zu erklaeren...
gruss
matthias
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Hey vielen Dank euch beiden.
Nun kann ich eure Worte nachvollziehen. Habe auch mal alles aufgeschrieben und mir genau angeschaut - eigentlich ist das ja alles logisch.
Auch die Einführung der "s" und "t" Norm habe ich verstanden. Die hast du einfach so gewählt, dass die Summe aus s^-1 und t^-1 genau 1 ergibt.
Prima. Nun fehlt mir lediglich der Schritt, wie ich von euren Ausführungen auf die geforderte Ungleichung komme. Momentan fehlt da ja der Vektor z noch komplett in der Rechnung.
Wobei... das kann man bestimmt irgendwie durch die "r"-Norm zurückführen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey vielen Dank euch beiden.
>
> Nun kann ich eure Worte nachvollziehen. Habe auch mal alles
> aufgeschrieben und mir genau angeschaut - eigentlich ist
> das ja alles logisch.
>
> Auch die Einführung der "s" und "t" Norm habe ich
> verstanden. Die hast du einfach so gewählt, dass die Summe
> aus s^-1 und t^-1 genau 1 ergibt.
>
> Prima. Nun fehlt mir lediglich der Schritt, wie ich von
> euren Ausführungen auf die geforderte Ungleichung komme.
> Momentan fehlt da ja der Vektor z noch komplett in der
> Rechnung.
>
> Wobei... das kann man bestimmt irgendwie durch die "r"-Norm
> zurückführen...
ich glaube, Du guckst noch nicht genau genug hin:
1. Schritt:
[mm] $|xyz|_1 \le |xy|_{\frac{r}{r-1}}|z|_r$
[/mm]
2. Schritt:
$ [mm] \left|(xy)^{\frac{r}{r-1}}\right|_1\le ||x|^{\frac{r}{r-1}}|_{s}\cdot ||y|^{\frac{r}{r-1}}|_{t} [/mm] $
Suche mal nach einem Zusammenhang zwischen [mm] $|xy|_\frac{r}{r-1}$ [/mm] und [mm] $\left|(xy)^{\frac{r}{r-1}}\right|_1$ [/mm]
(Vielleicht schreibst Du dazu auch nochmal beides aus.)
Ich bin mir da auch auf den ersten Blick gerade nicht ganz sicher, ob hier [mm] $||x|^{\frac{r}{r-1}}|_{s}\cdot ||y|^{\frac{r}{r-1}}|_{t} [/mm] $ die $p$- und $q$- Norm von $x$ und $y$ steht oder vielleicht eine Potenz der jeweiligen Norm. Vll. guckt Matthias ja nochmal drüber, ich bin gerade etwas in Eile...
Gruß,
Marcel
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