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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in Mat_{n}(K) [/mm] eine beliebige diagonalisierbare Matrix. Erfinden Sie ein geschicktes Verfahren, um [mm] A^{m} [/mm] für beliebig große m zu berechnen! |
Habe schon diverse Theorien mit Eigenwerten durchprobiert, komme aber zu keinem brauchbaren Algorithmus (der auch nur annähernd effizient wäre). Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Fr 20.04.2007 | | Autor: | alex42 |
Hi rainman_do,
Da die Matrix A diagonalisierbar ist, gibt es eine invertierbare Matrix S$ [mm] \in Mat_{n}(K) [/mm] $ so dass [mm] $A=S^{-1}*D*S$ [/mm] mit D Diagonalmatrix.
Schreibt man [mm] $A^{m} [/mm] = [mm] (S^{-1}*D*S)^{m} [/mm] = [mm] \underbrace{S^{-1}*D*S*S^{-1}*D*S*...*S^{-1}*D*S}_{m mal}$, [/mm] so fallen in
der Mitte alle [mm] $S*S^{-1}$ [/mm] heraus, es bleibt: [mm] $A^{m}=S^{-1}*D^{m}*S$. [/mm] Man muss hier also nur eine Basistransformation durchführen und kann dann die Diagonalmatrix exponenzieren.
Gruß Alex
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Erstmal danke für die schnelle Antwort, habe aber noch eine Frage da ich nicht so wirklich bewandert bin in LinAlg, wie berechne ich S?
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> Erstmal danke für die schnelle Antwort, habe aber noch eine
> Frage da ich nicht so wirklich bewandert bin in LinAlg, wie
> berechne ich S?
Hallo,
hierfür brauchst Du eine Basis aus Eigenvektoren von A.
Die Diagonalelemente in D sind ja gerade die Eigenwerte der Matrix A.
S und [mm] S^{-1} [/mm] sind die Matrizen, welche die Transformationen zwischen der kanonischen Basis und der Basis aus Eigenvektoren durchführen.
In den Spalten von [mm] S^{-1} [/mm] stehen die Eigenvektoren von A in Koordinaten der kanonischen Basis.
Gruß v. Angela
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